STAT-I301 Chapitre II: Distributions de probabilités

STAT-I301 Chapitre II: Distributions de probabilités Caroline Verhoeven

Je suis aussi −x 2 1 e 2σ2 p 2πσ2 que tout le monde

Table des matières

1

Introduction

2

Probabilités

3

Variables aléatoires

4

Distribution de probabilité Variables discrètes La distribution binomiale Variables continues La distribution normale

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1. Introduction

Inférence statistique I 1

échantillonnage population µ =?

échantillon x

Statistique descriptive 2

inférence 3

Population : l’ensemble des individus qui nous intéressent Exemple : adultes souffrant de maux de dos, élèves du secondaire avec un certificat médicale pour le cours de gym

Echantillon : Partie de la population qu’on étudie vraiment Hypothèse de la biostatistique : la population est beaucoup plus grande que l’échantillon

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1. Introduction

Inférence statistique II

1

échantillonnage population µ =?

échantillon x

Statistique descriptive 2

inférence 3

Inférence statistique : Processus pour généraliser les conclusions obtenues pour l’échantillon vers la population Il faut idéalement que l’échantillon soit aléatoire simple, c.-à-d. que tous les individus de la population aient la même probabilité d’être choisi

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2. Probabilités

Expériences

Exemple 1

J’ai 1000 chanson sur mon iPod J’appuie sur le bouton “shuffle” La probabilité d’entendre ma chanson préférée est de 1/1000

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2. Probabilités

La planche de Galton Exemple 2

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2. Probabilités

L’aléatoire Expérience aléatoire : expérience avec 2 ou plusieurs possibilités et dont les résultat n’est pas connu à l’avance Exemple : Appuyer sur le bouton “shuffle” de l’iPod Tester le groupe sanguin

Evénement aleatoire : Evénement qui se réalise ou non à l’issue de l’expérience aléatoire Exemple : Ma chanson préférée est jouée par l’iPPod Le groupe sanguin O

Domaine d’echantillonage : Résultats possibles de l’expérience aléatoire Exemple : Les 1000 chansons sur l’ iPod Les groupes sanguins {O,A,B,AB}

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2. Probabilités

Probabilités : définition

La probabilité d’un événement est la proportion (idéalisée) que l’événement se produise quand on répète l’expérience encore et encore dans les mêmes conditions Remarque 3 La proportion est toujours entre 0 et 1 ⇒ la probabilité est entre 0 et 1

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3. Variables aléatoires

Variables aléatoires : Définitions et notations Une variable aléatoire est une variable dont on ne peut pas prédire la valeur avant l’expérience aléatoire Notations X , Y , Z , . . . Notation pour les valeurs de cette variable : x , y , z , . . . 2 types de variables aléatoires : Variables aléatoires discrètes : On peut énumérer toutes les valeurs possibles Exemple : Le nombre de piles pour 5 lancers d’1 pièce, le nombre de garçons dans 1 famille de 8 enfants Variables aléatoires continues : Peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle Exemple : La durée de vie réelle d’une ampoule, Le taux d’acide urique dans le sang

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4. Distribution de probabilité

1. Variables discrètes

Fonction de probabilité

Exemple 4 Nombre de garçons parmi N = 38495 familles de 8 enfants xj 0 1 2 3 4 5 6 7 8

nj 161 1152 3951 7603 10263 8498 4948 1635 284

nj′ 0,004 0,030 0,103 0,198 0,267 0,221 0,129 0,042 0,007

Vu le nombre de familles, les proportions nj′ sont une bonne approximation des probabilité πj fonction de probabilité : fonction qui attribue à chaque valeur de la variable la probabilité d’obtenir cette valeur à l’issue de l’expérience

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4. Distribution de probabilité

2. La distribution binomiale

Un jeu malhonnête Exemple 5 On lance une pièce de monnaie 10 fois. Quelle est la probabilité qu’elle tombe sur pile 1 fois, 2 fois, . . ., 10 fois ? Un des joueurs n’est pas honnête et a “faussé” la pièce telle que la probabilité de tomber sur pile à chaque lancer est de 0.3 La probabilité de tomber x fois sur piles au bour de 10 lancers correspond à une distribution binomiale

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4. Distribution de probabilité

2. La distribution binomiale

Distribution binomiale

On a une distribution biomiale quand : Le nombre de d’essais, n, est fixe Les essais sont indépendants l’un de l’autre La probabilité de succes, π, est le même dans chaque essai Probabilité d’avoir x succes, chacun avec une probabilité π, en n essais : Ã !

n x b(x;n, π) = π (1 − π)n−x , x

à !

n n! = x x!(n − x)!

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4. Distribution de probabilité

2. La distribution binomiale

Exemples de distributions binomiales I Exemple 6 On retourne à notre lancer de pièce monnaie malhonnête (Exemple 5) : 0.20 0.25 probabilité

On a n = 10, π = 0, 3

par exemple : Quelle est la probabilité d’obtenir 5 piles ? (x = 5)

0.20 0.15

Ã

!

10 b(5;10, 0, 3) = (0, 3)5 (0, 7)5 5

0.10 0.05

= 0, 103 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nombre de piles

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4. Distribution de probabilité

2. La distribution binomiale

Exemples de distributions binomiales II

Exemple 7 Nombre de garçons parmi N = 38495 familles de 8 enfants xj 0 1 2 3 4 5 6 7 8

nj 161 1152 3951 7603 10263 8498 4948 1635 284

nj′ 0,004 0,030 0,103 0,198 0,267 0,221 0,129 0,042 0,007

πj

0.004 0.031 0.109 0.219 0.273 0.219 0.109 0.031 0.004

Ici : n = 8, π ≈ 0, 5

La probabilité d’avoir 3 garçons (x = 3) b(3;8, 0, 5) =

à !

8 (0, 5)3 (0, 5)5 3

= 0, 219

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4. Distribution de probabilité

3. Variables continues

Tableau de fréquences Exemple 8 Nombres aléatoires continus nombre 184.0286 187.3946 178.3470 175.7662 179.4007 177.8262 182.3469 182.7644 185.0921 173.8282

nj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nombre 181.1581 185.6901 175.7819 178.7683 179.6735 179.6033 175.4822 178.9815 172.0980 181.4440

nj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nombre 175.0512 176.5793 182.4888 183.3151 182.4265 187.6758 180.1794 169.7284 179.6067 177.8535

nj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nombre 186.6979 173.5403 187.4425 175.7290 177.0225 176.9676 176.8623 180.6628 176.5917 180.2790

nj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

nombre 181.4475 179.6354 177.2676 173.9934 179.2517 173.2632 182.6770 187.9647 174.8772 178.1606

nj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 mesures ⇒ nj′ = 1/10 30 mesures ⇒ nj′ = 1/30 50 mesures ⇒ nj′ = 1/50

Beaucoup de mesures ⇒ nj′ → 0

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4. Distribution de probabilité

3. Variables continues

Probabilité d’une variable continue

La proportion de la mesure devient de plus en plus petite quand on a de plus en plus de mesures ⇒ La proportion → 0 quand on a beaucoup de mesure

⇒ La probabilité d’obtenir une mesure spécifique est 0

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4. Distribution de probabilité

3. Variables continues

Histogramme Exemple 9 100000 mesures aléatoires yj′

yj′

yj′

0,08

0,08

0,08

0,06

0,06

0,06

0,04

0,04

0,04

0,02

0,02

0,02

150 160 170 180 190 200 210

6 classes, Ij = 10

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f (x) 0,08

150 160 170 180 190 200 210

30 classes, Ij = 2

150 160 170 180 190 200 210

60 classes, Ij = 1

0,06 0,04

Ij → dx

0,02

f : densité de probabilité 160 170 180 190 200 210 x Caroline Verhoeven

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4. Distribution de probabilité

3. Variables continues

Densité de probabilité I

Approximation ′

Plus fine

Densité

′

yj

yj

0,08

0,08

0,06

0,06

0,04

0,04

0,04

0,02

0,02

0,02

150 160 170 180 190 200 210

Proportion des sujets de mesures 178 à 192

0,08

0,06

150 160 170 180 190 200 210

Proportion de sujets de mesures 178 à 192

160

170

180

190

200

210

P(178 ≤< X ≤ 192)

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4. Distribution de probabilité

3. Variables continues

Densité de probabilité II

Si X suit une loi avec densité de probabilité f : P(X ≤ a) =

Za

P(X < ∞) =

f (x)dx

−∞ Z ∞

−∞

P(a ≤ X ≤ b) =

f (x)dx = 1

Zb a

f (x)dx = P(X ≤ b) − P(X ≤ a)

P(a ≤ X ) = 1 − P(X ≤ a)

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4. Distribution de probabilité

4. La distribution normale

Distribution normale I Une distribution continue très importante est la distribution normale. Elle est définie par sa fonction de densité de probabilité (x −µ)2 1 − e 2σ2 f (x) = p 2πσ

µ correspond à la moyenne pour la population σ correspond à la déviation standard de la population 0,08 0,06

µ = 180, σ = 5 µ = 190, σ = 5

0,04

µ = 180, σ = 10

0,02 170 180 190 200 210

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4. Distribution de probabilité

4. La distribution normale

Distribution normale II Soit X une variable aléatoire continue, si X suit la distribution normale de paramêtre µ, σ, on notera X ∼ N(µ, σ2 ) Nous avons que P(a ≤ X ≤ b) =

Zb a

p

1

2πσ

e

−

(x −µ)2 2σ2

dx

En particulier : 1.0 0.8

F (x) = P(X ≤ x) =

Zx

−∞

p

1

2πσ

e

(x ′ −µ)2 − 2σ2

F (x)

0.6

dx’

0.4 0.2 160 170 180 190 200 210

x

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4. Distribution de probabilité

4. La distribution normale

Propriétés de la normale La distribution normale est unimodale La distribution normale est symétrique : médiane=mode=moyenne La normale et la déviation standard : P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0, 68 P(µ − 1, 96σ ≤ X ≤ µ + 1, 96σ) = 0, 95 P(µ − 2, 58σ ≤ X ≤ µ + 2, 58σ) = 0, 99

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4. Distribution de probabilité

4. La distribution normale

La distribution normale centrée réduite I

BProblème ! Il n’y a pas moyen de calculer l’intégrale Zb a

p

1 2πσ

e

−

(x −µ)2 2σ2

dx

On peut utiliser des logiciels ou des tables Des tables pour chaque µ et σ.... NON

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4. Distribution de probabilité

4. La distribution normale

La distribution normale centrée réduite II X a une moyenne µ ⇒ Y = aX + b a une moyenne aµ + b X a une déviation standard σ ⇒ Y = aX + b a une déviation standard |a|σ X ∼ N(µ, σ2 ), alors : Z=

X −µ

a comme moyenne 0

σ X −µ Z= a comme déviation standard 1 σ X −µ ∼ N(0, 1) ⇒ Z= σ

La fonction de la loi normale centrée réduite a comme fonction de densité 2 1 ϕ(z) = p e−z /2 2π et on note Zz Φ(z) = P(Z ≤ z) = ϕ(z ′ )dz ′ −∞

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