Statistiek Deel 1 Beschrijvende statistiek

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

Statistiek 4 examenvragen: - tabel aanvullen met spreidings- en centrummaten - poisson- en binomiale verdeling

Deel 1 Beschrijvende statistiek 1 Soorten variabelen Kwalitatief: geen getallen - ordinaal: ordening (rangschikbaar) - nominaal: geen ordening Kwantitatief: getallen - discreet: in stapjes - continu: kommagetallen - ratio: natuurlijk nulpunt - interval: geen natuurlijk nulpunt

2 Grafieken (relatieve) frequenties: histogram cumulatieve (relatieve) frequenties: cumulatief frequentiepolygoon of ogief ! Bliksemschichtje bij assen die niet vanaf 0 beginnen.

2.1 Kwantitatief discrete variabele -

histogram of staafdiagram: staafjes raken elkaar niet ogief: snijden op x-as, midden van de klasse, verbinding met punten in lijnen

2.2 Kwantitatief continu ratio variabele -

ogief: punt op rechterklassegrens stengel-bladdiagram

2.3 Kwalitatief nominale variabele -

strookdiagram in relatieve frequentie in percentage cirkel- taart- of schijfdiagram in relatieve frequentie in percentage

Jolien De Veirman

1/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

3 Centrummaten voor discrete gegroepeerde gegevens 3.1 Rekenkundig gemiddelde 3.1.1 Ongewogen gemiddelde Som van Xi waarden (soms . Fi), delen door n (of door de som van Fi) 3.1.2 Gewogen gemiddelde Som van Xi . Wi gedeeld door de som van Wi waarbij W= wegingsfactor

3.2 Mediaan Middelste waarneming of rekenkundig gemiddelde van de 2 middelste waarnemingen 3.2.1 Mediaan bij continue gegroepeerde gegevens Linkerklassegrens + aantal waarnemingen kleiner dan de mediaan . klassenbreedte aantal waarnemingen kleiner dan de mediaan + aantal waarnemingen groter dan de mediaan Opmerking: Indien n = even
mediaan tussen 2 getallen
links en rechts meetellen voor het aantal waarnemingen Indien n = oneven
mediaan is 1 getal
mediaan niet meetellen

3.3 Modus Meest voorkomende waarneming. 2 modussen “bestaan niet”.

3.4 Kwartielen Q1: 25% crf, helft van MED Q3: 75% crf, heft van MED

Jolien De Veirman

2/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

4 Spreidingsmaten 4.1 Variatiebreedte Grootste – kleinste waarneming Rechtergrens grootste klasse – linkergrens kleinste klasse

4.2 Interkwartielafstand (IQR) Q3 – Q1

4.3 Gemiddelde afwijking (gemiddelde absolute fout) Absolute som van Xi – rekenkundig gemiddelde, gedeeld door n 1 n ∑ xi − x . fi n i =1

4.4 Standaardafwijking Vergelijking met het gemiddelde in hoeverre deze van het gemiddelde afwijkt

σ=

Opm:

(

)

2 1 n x − x . fi ∑ i =1 i n

[x − σ , x + σ ] = 70%waarne min gen [x − 2σ , x + 2σ ] = 95%waarne min gen

4.5 Variantie Standaardafwijking zonder vierkantswortel

4.6 Variatiecoëfficiënt Spreidingsvergelijking met een verschillend gemiddelde

σ

x

4.7 Boxplot Xmin, Xmax, MED, Q1, Q3, onderaan as

Jolien De Veirman

3/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

5 Verband tussen kwalitatieve ordinale verbanden 5.1 Spearman rangcorrelatie coëfficiënt 6∑i =1 d i n

rs = 1 −

2

n3 − n

Di = rang 1 - rang 2

-1

- 0,7

- 1 tot – 0,7 1 tot 0,7 - 0,3 tot 0,3

- 0,3

0

0,3

0,7

1

perfect omgekeerd verband perfect verband geen verband

Bij exaeco voor rangschikken van kwalitatieve nominale gegevens: Neem de gemiddelde waarde van wat er nog overblijft.

6 Verband tussen kwantitatieve variabelen 6.1 Rangcorrelatie coëfficiënt

∑ (x n

r=

i =1

∑ (x

)(

− x . yi − y

) ∑ (y 2

n

i =1

i

i

−x .

n

i =1

i

) −y

)

2

X: gegevens kolom 1 Y: gegevens kolom 2 Uitkomst: zie as hierboven Weergave: puntenwolk of Scatterdiagram

Jolien De Veirman

4/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

6.2 Puntenwolk

Jolien De Veirman

5/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

6.3 Regressielijn Rechte die het beste door de puntenwolk gaat

∑ (x − x )(. y − y ) m= ∑ (x − x ) n

i =1

i

i

2

n

i =1

i

q = y − mx y = mx + q

6.3.1 Voorspelling op basis van de regressielijn Het missende cijfer (x) ingeven in de formule y = mx + q

6.4 Seizoenspatroon Formule van de regressierechte + gemiddelde vd som vd positieve(Yi – Ykansberekening) Ykansberekening = voor iedere x-waarde, regressierechte opnieuw berekenen.

7 Verband tussen nominale variabelen of tussen nominale en ordinale variabelen Bvb verband opleidingsniveau en supermarkt

7.1 Verwachte frequenties Eij (kolomtotaal . rijtotaal) / volledig totaal

7.2 Chi-kwadraat test

χ

² obs

=∑

(f

− eij )

²

ij

eij

Waarbij Fij = waargenomen (gegeven) frequenties

7.3 Vrijheidsgraad of degree of freedom (df) (aantal kolommen – 1) . (aantal rijen -1)

7.4 Kritieke waarden

² χ krit

In gegeven tabel bij 5% rechteroverschrijdingskans kijken, per berekende vrijheidsgraad. Kritieke waarden kleiner dan chi obs
verband met 5% foutkans

Jolien De Veirman

6/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

Deel 2: Kansberekening 1 Regel van Laplace Kans (P) = aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

1.1 Complementaire gebeurtenissen P (niet A) = 1 – P(A)

1.2 Productregel Als A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn, dan is P(A en B) = P(A).P(B) Vb. Kans om lotto te winnen (6 juiste kruisjes uit 42) 6/42 . 5/41 . 4/40 . 3/39 . 2/38 . 1/37 = 0,00000019 (1 / 5245786) Vb. Kans dat persoon 30 jaar lang wekelijks lotto speelt ooit zou winnen? 52 . 30 deelnames = 1560 deelnames 1. Kans om bij 1 deelname te winnen: 1 / 5245786 2. Kans om bij 1 deelname niet te winnen: 1 – (1 / 5245786) = 5245785 / 5245786 3. Kans om bij 1560 deelnames niet te winnen: (5245785 / 5245786)1560 4. Kans om ooit te winnen bij 1560 deelnames: 1 – (5245785 / 5245786) 1560

2 Discrete kansverdelingen De kansverdeling van een discrete variabele x is een tabel die voor elke mogelijke waarde k van X aangeeft wat de kans is dat X precies gelijk is aan k. k P (X=k)

0 x/n

2.1 Verwachtingswaarde

µ = E[ X ] = ∑k =0 k .P( X = k ) n

Vb. Hoeveel keer kruis gooi je gemiddeld met 2 munten? µ = E [ X ] = 0 . 1/4 + 1 . 2/4 + 2 . 1/4 = 1 Jolien De Veirman

7/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

2.2 Standaardafwijking σ=

∑ (k − µ ) ).P( X = k ) 2

Hoe groter, hoe gevaarlijker de kans.

2.3 Binomiale verdeling X is het aantal successen van een veranderlijke x, bij het n keer herhalen van een experiment met een vaste kans p op een succes bij elk experiment Als X ~ Bin (n, p) dan P( X = k ) =

n! p k (1 − p ) n − k k!(n − k )!

2.4 Poisson verdeling Telt het aantal keer iets gebeurt (per tijdseenheid) als je weet dat het gemiddeld aantal keer (per tijdseenheid) gelijk is aan µ . Als X ~Pois (

µ

)

dan P( X = k ) =

µ k e−µ k!

3 Continue kansverdelingen 3.1 Normale verdeling (heeft veel invloeden) De normale verdeling met gemiddelde Als X ~ N ( µ , σ ) X −µ dan (= Z) ~ N (0,1)

µ

en standaardafwijking σ .

σ

P (Z < a): rechtstreeks aflezen in tabel P (Z > a): 1 – P (Z < a) P (a < Z < b): P (Z < b) – P (Z < a)

Jolien De Veirman

8/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

4 Verdelingen benaderen met andere verdelingen 4.1 Possion ipv Bin als Als of

n ≥ 30 n.p ≤ 5 n (1 – p) ≤ 5

dan

Bin (n , p) ≈ P (n . p)

dan

Bin (n,p) ≈ N (n. p, n. p(1 − p) )

4.2 Normaal ipv Bin als Als En

n ≥ 30 N.p>5 n (1 – 5) > 5

4.3 Vuistregeltjes rechtstreeks uit tabel P(x ≤ a) P(x ≥a) 1–P(x ≤ a) P(x=a) P ( x ≤ a ) – P ( x ≤ a -1 ) P (a ≤ x ≤ b ) P ( x ≤ b ) – P ( x ≤ a - 1 )

5 Kansen over het gemiddelde Populatie (N)

Steekproef (n)

σ

X s

µ

Gemiddelde Standaardafwijking

5.1 σ bekend Als X ~ N ( µ , σ )

dan X ~ N ( µ ,

σ n

)

5.2 σ onbekend (maar wordt geschat door steekproef s) Als X ~ N ( µ , σ ) dan X ~

Jolien De Veirman

tn − 1 ( X − µ ) s

n

9/10

Samenvatting statistiek

Academiejaar 2006-2007

6 Betrouwbaarheidsintervallen over het gemiddelde 6.1 σ bekend

 σ σ  X − z x + z ;   α α n n 2 2   % zekerheid 90 95 99

tabel normale verdeling 1,64 1,96 2,57

6.2 σ onbekend (met steekproefstandaardafwijking s)

 s s  1 ; 1 X − t − x + t −   n α n α n n 2 2  

Jolien De Veirman

10/10