statistique libre - Jean Alain Monfort

STATISTIQUE LIBRE (G1, G5) A l'opposé d'une statistique exhaustive, une statistique libre exprime l'indépendance (au sens mathématique) par rapport au paramètre : une telle statistique n'apporte aucune information sur ce paramètre. (i) La définition d'une statistique libre peut s'effectuer à partir d'un modèle statistique fondamental (W , T, P) (forme non paramétrée) ou (W , T, (Pq)q Î Q) (forme paramétrée), ou encore à partir d'un modèle image tq le modèle (X, B, PX) (forme non paramétrée) ou (X, B, (PqX)q Î Q) (forme paramétrée). (ii) Soit (W , T, (Pq)q Î Q) un modèle statistique de base sous forme paramétrée, X : W a X une variable aléatoire (ou échantillon), ((X, B), (PqX)q Î Q) le modèle image du précédent par X, (S, E) un espace mesurable auxiliaire et s : X a S une application mesurable définissant la statistique S = s (X). Pour tout q Î Q, on note PqS = s (PqX) la loi de S, ie de façon équivalente : (a) soit l'image de Pq par S = s o X, ie : PqS = S (Pq) = (s o X) (Pq) = Pqs o X ; (b) soit l’image de la loi de probabilité PqX par s, ie : PqS = s (PqX). On dit alors que s (resp S) est une statistique libre, ou statistique ancillaire, ssi sa loi PqS ne dépend pas de q, " q Î Q. (iii) Dans le cas d'un modèle image non explicitement paramétré ((X, B), PX), on dit que s (resp S) est une statistique libre, ou statistique ancillaire, pr à la famille des lp PX ssi il existe une mesure de probabilité Q définie sur E et tq : (1)

PS = Q,

" PX Î P X,

où l'on note PS la loi de S, ie la mesure de probabilité S (P) = s (PX) = Ps o X. Ainsi, la loi de S est indépendante de PX, quelle que soit PX Î PX, donc quelle que soit P Î P, où P est la famille des probabilités définies sur T. (iv) Une statistique libre vérifie certaines propriétés, notamment en relation avec les la notion de statistique exhaustive, ie : (a) si s (resp S) est libre et si t : X a S (resp T : W a S) est exhaustive et complète, alors S et T sont indépendantes (en probabilité), " q Î Q (cf indépendance stochastique) ; (b) si t : X a S (resp T : W a S) est une statistique exhaustive, si s (resp S) est une statistique indépendante de t (resp de T) et si la famille (PqX)q Î Q) est constituée de lois (ie de mesures de probabilité définies sur B) non étrangères entre elles deux à deux (ie il n'existe pas de couple (q' , q") Î Q2 tq Pq'X ^ Pq"X), alors la statistique s (resp S) est libre (cf mesures

étrangères). (v) Ainsi, contrairement à la notion d'exhaustivité, celle de liberté signifie pour une statistique qu'elle n'apporte aucune information sur la « vraie » lp qui génère le phénomène aléatoire observé (ou sur le paramètre d'intérêt qui indicie sa loi). On peut définir des notions moins strictes de liberté, eg la liberté (en) moyenne (cf statistique libre en moyenne).