STATISTIQUES ET PROBABILITES I) Définitions

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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STATISTIQUES ET PROBABILITES I) Définitions Définition On appelle échantillon une liste de résultats de n expériences identiques et indépendantes. Exemple On lance une pièce de monnaie 20 fois. On note à chaque fois le résultat : pile ou face. L’échantillon est {P ; P ; F ; P ; F ; F ;….}

Définition On appelle distribution des fréquences associée à un échantillon la liste des fréquences des différentes issues de cette expérience. Exemple On lance la pièce 20 fois. On obtient les résultats : 12 « pile » et 8 « face » 12 8 fréquence(pile)= fréquence(face)=  0, 6  0, 4 20 20

Définition Simuler une expérience, c’est choisir un modèle de cette expérience puis simuler ce modèle pour produire une liste de résultats qu’on assimilera à un échantillon de cette expérience. But : avoir des échantillons de grande taille. Exemple On peut simuler le lancer d’une pièce avec la calculatrice. La commande « EntAlea » permet de donner un nombre entier compris entre deux entiers à préciser de manière aléatoire. La commande « EntAlea(0,1) » permet de donner un nombre entier compris entre 0 et 1 de manière aléatoire. 0  pile On pose : 1  face Pour le lancer de 20 pièces, on peut alors obtenir l’échantillon suivant : Pour le lancer de 20 pièces, on obtient alors la distribution des fréquences suivantes :

Définition On appelle fluctuation d’échantillonnage la variation des distributions des fréquences d’un échantillon à l’autre d’une même expérience. Remarque Plus l’échantillon est grand, moins les fluctuations sont importantes.

II) Expérience aléatoire Définition Une expérience est aléatoire si on ne peut prévoir à l’avance le résultat. Exemple Lancé d’un dé, d’une pièce

Définition Une éventualité est un de ces résultats possibles. Exemple Au lancer de dé : 1

Définition L’univers, noté E, est l’ensemble de toutes les éventualités. Exemple Au lancer de dé E={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 }

Définition Un événement A est un sous ensemble de E. Exemple A : « Faire 1 ou 3 »

Définition L’événement Ā, appelé complémentaire de A, est l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A. Exemple A : « Faire 1 ou 3 » Ā : « Faire 2, 4, 5 ou 6 »

Définitions A, B deux événements. A  B , appelé « A union B » est l’ensemble des éventualités qui sont dans A ou dans B ( ou non exclusif c'està-dire dans A ou B ou les deux). A  B , appelé « A inter B » est l’ensemble des éventualités qui sont dans A et dans B. Exemples A : « Faire 1 ou 3 » B : « Faire plus de 4 » C : « Faire moins de 4 » A  B : « Faire 1, 3, 4, 5 ou 6 » A  B : Ø événement impossible A  C : « Faire 1, 2, 3 ou 4 » A  C : « Faire 1 ou 3 »

III) Loi de probabilité Voir activité informatique : Lancer d’un dé Définition On note E  x1; x2 ;...; xr  (différentes éventualités) Exemple E={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}

Propriété de la « loi des grands nombres » Dans une suite de n expériences identiques et indépendantes, les fréquences f i des éventualités xi tendent vers une valeur pi quand n augmente. Définition La valeur pi est appelée probabilité d’obtenir l’éventualité xi . Exemples Au lancer de dé, la fréquence d’apparition du 1 tend vers On dit que la probabilité d’obtenir 1 est

1 6

1 1 .ou P(« Obtenir 1 ») = . 6 6

Au lancer d’une pièce, P(« Obtenir face ») =

1 . 2

Définition On appelle loi de probabilité P associée à l’expérience aléatoire la donnée des valeurs p1 ,..., pr Exemple Lancer d’un dé xi

pi

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

xi

1

2

pi

1 2

1 2

Somme des pi 1

Somme des pi 1

Lancer d’une pièce

Propriétés Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les probabilités vaut 1.

IV) Probabilité d’un événement Définition A un événement. La probabilité que A se réalise, notée P(A), est la somme des probabilités des éventualités qui sont dans A. Exemples 1 1 2 1    6 6 6 3 1 1 1 3 1 P(« obtenir plus de 4 »)= P4  P5  P6      6 6 6 6 2

P(« obtenir un 2 ou un 3 »)= P2  P3 

Propriété P(Ā)=1-P(A) P( A  B )=P(A)+P(B)-P( A  B )

V) Equiprobabilité Définition On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque toutes les éventualités xi ont la même probabilité. On parle aussi de loi équirépartie. Exemple dé non pipé ; pièces équilibrées ; tirage au hasard…

Propriété P( A) 

Quand la loi est équirépartie :

nombre d'éléments de A nombre d'éléments de E

Exemples On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes  loi équirépartie 4 1 P(« tirer un roi »)=  32 8

P(« tirer un cœur »)=

8 1  32 4

VI) Dénombrement 1) Arbre Exemple Une agence de voyage propose un circuit découverte des grandes capitales européennes : Paris en France, Londres en Angleterre, Madrid en Espagne et Bruxelles en Belgique. On appelle P, L, M, B ces 4 capitales. Pour définir un circuit , on suppose que chaque site est visité, mais ne l’est qu’une fois. On tient aussi compte de l’ordre des visites. Par exemple : P, L, M,B est différent de L, P, B, M. 1) Pour trouver le nombre de circuits différents, on fera un arbre. 2) Combien y a-t-il de circuits commençant par Paris ? 3) Combien y a-t-il de circuits où les visites de Madrid et Londres ne se suivent pas immédiatement ?

2) Tableau Exemple 2 lancers successifs d’une pièce P(« au moins une fois pile »)=

3 4

1er lancer 2eme lancer

P

F

P F

PP FP

PF FF

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