Stochastik - Universität Koblenz · Landau

¨ KOBLENZ LANDAU UNIVERSITAT ¨ MATHEMATIK INSTITUT FUR Dr. Dominik Faas

Stochastik Wintersemester 2010/2011 ¨ Ubungsblatt 9

Aufgabe 35

Abgabetermin: 24.01.2011

(2+(2+2+2)+(1.5+2+1.5)=13

10+3∗ Punkte)

(a) In einer Lostrommel befinden sich 2 rote, 4 blaue, 6 gr¨ une und 8 weiße Kugeln. Bei einem Spiel bezahlt man zun¨ achst 50 Cent und darf dann zwei Kugeln (ohne Zur¨ ucklegen) ziehen. Sind sie gleichfarbig gewinnt man einen Preis und zwar

bei 2 weißen Kugeln 1 Euro

bei 2 gr¨ unen Kugeln 2 Euro

bei 2 blauen Kugeln 5 Euro

bei 2 roten Kugeln 26 Euro

Die ZV Z beschreibt den Gewinn bei diesem Spiel. Erstellen sie ein Stabdiagramm zu Z und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von Z. Berechnen Sie E(Z) und V (Z). (b) Begr¨unden Sie in diesem Aufgabenteil Ihre Antworten mit Hilfe der Formeln aus 2.30. • A und B spielen regelm¨ aßig Tennis. Dabei gewinnt A einen Satz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%. Die ZV X beschreibt die Anzahl der von A gewonnenen S¨atze, wenn 20 S¨ atze gespielt wurden. Bestimmen Sie E(X) und V (X). Die ZV Y beschreibt die Anzahl der gewonnenen Matches nach 10 gespielten Matches. Bestimmen Sie E(Y ) und V (Y ). Dabei besteht ein Match aus 2 Gewinns¨atzen. Es gewinnt also derjenige, der zuerst 2 S¨ atze gewonnen hat.

• Bei einer Lotterie gibt es 1000 Lose, darunter gibt es 50 Gewinne. Jemand kauft 100 Lose. Die ZV X beschreibt die Anzahl seiner Gewinne, die ZV Y beschreibt die Anzahl der Gewinne unter den verbliebenen Losen. Bestimmen Sie Erwartungswerte und Varianzen von X, Y und X + Y . (Achten Sie dabei darauf, wie X und Y zusammenh¨ angen.) • Ein W¨ urfel wird solange geworfen bis eine 6 f¨allt. Die ZV X beschreibt die Anzahl der ben¨ otigten W¨ urfe. Bestimmen Sie E(X) und V (X). Die ZV Y beschreibt die Anzahl der geworfenen 1en. Bestimmen Sie E(Y ) und V (Y ). (c) Bei diesem Aufgabenteil sollten Sie die interessierende ZV als Summe von einfachereren ZV darstellen. Dann k¨ onnen Sie Erwartungswerte bzw. Varianzen dieser ZV bestimmen und dann E(Z) bzw. V (Z) mit Hilfe der Regeln aus 2.28 berechnen. Achten Sie darauf, ob die betrachteten ZV unabh¨ angig sind.

• Beim Lotto werden aus den Kugeln mit den Zahlen 1-49 genau 6 Kugeln (ohne Zur¨ ucklegen) gezogen. Die ZV Z beschreibt die Summe der gezogenen Zahlen. Bestimmen Sie E(Z).

• In einer Lostrommel befinden sich 4 schwarze, 4 weiße und 2 rote Kugeln. Man zieht nun 5 Kugeln und erh¨ alt dann f¨ ur jede gezogene schwarze Kugel 1 Euro, f¨ ur jede gezogene weiße Kugel 2 Euro und f¨ ur jede gezogene rote Kugel 10 Euro. Die ZV Z beschreibt den Gesamtgewinn. Bestimmen Sie E(Z) f¨ ur die F¨alle ’mit Zur¨ ucklegen’ und ’ohne Zur¨ ucklegen’. Bestimmen Sie weiterhin V (Z) in einem der beiden F¨ alle. (Achtung: Einer der beiden F¨alle hat eine kurze L¨osung, der andere ist sehr aufwendig) • Ein W¨ urfel wird solange geworfen bis eine 6 f¨allt. Die ZV Z beschreibt die Zahl der insgesamt erzielten Augensumme. Bestimmen Sie E(Z).

Aufgabe 36

(1+1.5+1.5=4 Punkte)

(a) Skizzieren Sie die Funktion f : R → R, f (t) =

  

2t 3 3−t 3

, falls t ∈ [0, 1] , falls t ∈]1, 3] , sonst

  0

und begr¨ unden sie, dass f eine Dichtefunktion auf R ist. (b) Wir betrachten eine ZV Z mit Dichtefunktion f . (alternativ: wir betrachten den W-Raum (R, B(R), Pf ) und die ZV Z : R → R, Z(ω) = ω)

Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F von Z. (c) Berechnen Sie: P (Z ≥ 1) ,

P (Z > 3)

und P (2 ≤ Z ≤ 3)

Aufgabe 37∗

(1.5∗ +1.5∗ +2∗ =5∗ Punkte)

Sei (Ω, M, P ) ein beliebiger W-Raum und Z : Ω → R eine ZV. Beweisen Sie die folgenden Regeln f¨ ur die Verteilungsfunktion F = FZ : R → R von Z (siehe Seite 43 im Skript). • F¨ ur alle y ∈ R gilt: lim F (x) = F (y) x↓y

Hinweis: Es gen¨ ugt zu zeigen, dass f¨ ur jede streng monoton fallende Folge (xn )n∈N mit lim xn = y auch lim F (xn ) = F (y) gilt. Dazu sollte man (neben der Definition der n→∞ n→∞ Verteilungsfunktion) die Rechenregeln f¨ ur W-Maße (siehe Seite 31 im Skript) beachten.

• F¨ ur alle y ∈ R gilt: lim F (x) = F (y) − P (Z = y) x↑y

Hinweis: Es gen¨ ugt zu zeigen, dass f¨ ur jede streng monoton wachsende Folge (xn )n∈N mit lim xn = y auch lim F (xn ) = F (y) − P (Z = y) gilt. n→∞

• Es gilt:

n→∞

lim F (x) = 0 und lim F (x) = 1 x→∞

x→−∞

Hinweis: Es gen¨ ugt zu zeigen, dass f¨ ur jede streng monoton fallende Folge (xn )n∈N mit lim xn = −∞ auch lim F (xn ) = 0 gilt, bzw. dass f¨ ur jede streng monoton wachsende n→∞ n→∞ Folge (xn )n∈N mit lim xn = ∞ auch lim F (xn ) = 1 gilt. n→∞

n→∞

¨ Diese Ubungsbl¨ atter finden sie auch unter http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material