Studiengang: PT/LOT/PVHT (BA)

Studiengang: PT/LOT/PVHT (BA) Analysis II

Semester: SS 09 Serie: 3

Thema: Mehrfachintegrale 1. Aufgabe Skizzieren Sie den Integrationsbereich D und berechnen Sie das Doppelintegral

ZZ

f (x; y) dA

D

a) b) c)

2

2

f (x; y) = x + y , f (x; y) = x ¡ y, f (x; y) = x + y

D begrenzt durch: y = x; x = 1; y = 0 D begrenzt durch: y = x; y = 2 ¡ x; y = 0 D begrenzt durch: y = x; y = x ¡ 2; y = 0;

y =1

2. Aufgabe Skizzieren Sie den Integrationsbereich und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge p 2 2 1+ 1¡y 1 x 1 Z Z Z Z a) f (x; y) dydx b) f (x; y) dxdy p 0 0 0 2 1¡

1¡y

3. Aufgabe

Überprüfen Sie durch Berechnung: Dreht man einen ebenen Bereich um den Winkel '; so werden die Schwerpunktkoordinaten ebenfalls um den Winkel ' gedreht.

Hinweis: Eine Drehung entspricht einer Variablentransformation der Form µ ¶ µ ¶µ ¶ x cos ' ¡sin ' u = y sin ' cos ' v 4. Aufgabe Berechnen Sie den Schwerpunkt der von der Kardioide r(') = 1 + cos '; begrenzten Fläche

0 · ' < 2¼

5. Aufgabe Eine kreisförmig gebogene Leiterschleife vom Radius R wird senkrecht von einem Magnetfeld durch‡utet, dessen magnetische Flußdichte B nach der Gleichung 2 B (r) = B0 ¢ e¡r ; r ¸ 0 in radialer Richtung nach außen hin abnimmt. Bestimmen Sie den magnetischen Fluß © durch die Leiterschleife mittels des Doppelintegrals RR © = BdA D

6. Aufgabe Berechnen Sie folgendes Doppelintergral ZZ ¡ 2 ¢ x ¡ y 2 dxdy; D

wobei D den skizzierten Kreissektor mit dem Radius R darstellt.

7. Aufgabe Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der von den folgenden Flächen begrenzt wird: a) x = 0 , x = 4 , y = 0 , y = x + 2 , z = 2x + y + 1; z = 4x + 2y + 3 b) z = 0 , z = 3 ¡ x ¡ y , x2 + y 2 = 1 8. Aufgabe Berechnen Sie

Z ZZ D

¡

¢ x2 + y 2 + z2 dxdydz;

wobei das Gebiet D den Durchschnitt des Kreiskegels x2 + y 2 · z2 und der Halbkugel x2 + y 2 + z 2 · R2 (z ¸ 0) darstellt. 9. Aufgabe Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer massiven, homogenen Kugel mit dem Radius R bezüglich einer Drehachse, die durch den Mittelpunkt geht. Lösungen: 1

2

a)

1 3

a)

Z1 Z1 0

b)

p

2 3

c) 4

f (x; y) dxdy

b)

y

0

4) xS = 5=6; 7)a)

Z2

424 3

yS = 0

b) 3¼

p 2x¡x Z 2

f (x; y) dydx

0

2

5) © = B0 ¼(1 ¡ e¡R ) p 2¡ 2 5 8) ¼R 5

6)¡

R4 4

2 9) I = mges R2 5