SUPPLÉMENT DU CHAPITRE 9 Les autres distributions de

SUPPLÉMENT DU CHAPITRE 9 Les autres distributions de probabilité usuelles À l’exception de la distribution normale, dont il a été question à la section 8.1 « Les statistiques descriptives », nous présentons dans cette partie un résumé de quelques autres distributions de probabilité fréquemment utilisées en analyse statistique, notamment la distribution binomiale, la distribution de Poisson et la distribution exponentielle.

S.9.1 La distribution binomiale La distribution binomiale est le résultat d’une expérience binomiale qui se caractérise par : 1) un nombre fixe d’essais, n ; 2) deux conséquences pour chaque essai, libellées respectivement « succès » et « échec » ; 3) une probabilité de succès égale à p et une probabilité d’échec égale à 1 – p ; 4) l’indépendance entre les essais (le résultat d’un essai n’influence pas celui d’un autre). La fonction de la distribution de probabilité associée à la variable aléatoire binomiale qui représente le nombre de succès s’écrit comme suit : P(X = x) =

n! px(1 – p)n – x pour, x = 0, 1, 2, 3, …, n x!(n – x)!

-----------------------------

(S.9.1)

où p est la probabilité d’obtenir un succès, n le nombre d’essais, et x le nombre de succès. Par exemple, pour une expérience où p = 0 et n = 10, les probabilités qu’il y ait zéro, un ou deux succès sont respectivement : P(X = 0) =

10! (0,2)0(1 – 0,2)10 – 0 = 0,1074 0!(10 – 0)!

--------------------------------

© 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

P(X = 1) =

10! (0,2)1(1 – 0,2)10 – 1 = 0,2684 1!(10 – 1)!

--------------------------------

P(X = 2) =

10! (0,2)2(1 – 0,2)10 – 2 = 0,3020 2!(10 – 2)!

--------------------------------

Ces probabilités peuvent être obtenues par la table D (disponible sur le site www.chene liere.ca), qui fournit cependant les probabilités cumulatives. Par exemple, selon les calculs qui viennent d’être présentés, la table D donne P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,6778. La moyenne, la variance et l’écart type de la distribution binomiale sont :
= np

(S.9.2)

2 = np(1 – p)

(S.9.3)

 = 冪 np(1 – p)

(S.9.4)

Chapitre 9

Supplément

2

La distribution binomiale tend vers la forme normale lorsque n  ou que p = 0,5. Voici un exemple de l’utilisation de cette distribution dans le contrôle de la qualité. Exemple S.9.1 : Un processus fabrique une composante avec un taux de défectuosité de 10 %. Si l’on prélève 10 unités pour en vérifier la qualité, quelle est la probabilité d’avoir 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 unités défectueuses ? Quel est le nombre moyen d’unités défectueuses ?

La probabilité peut être calculée à l’aide de la formule (S.9.1) avec p = 0,05, n = 5 et x variant de 0 à 5 ; les résultats sont présentés au tableau S.9.1. Tableau S.9.1 Les probabilités de la distribution binomiale X

10!/x!(10 – x)!

(0,1)x (0,9)10 – x

P(X)

0

1

0,3486784

0,3487

1

10

0,0387420

0,3874

2

45

0,0043046

0,1937

3

120

0,0004782

0,0574

4

210

0,0000531

0,0112

5

252

0,0000059

0,0015

6

210

0,0000006

0,0001

7

120

0,0000000

0,0000

8

45

0,0000000

0,0000

9

10

0,0000000

0,0000

10

1

0,0000000

0,0000

Les probabilités sont aussi fournies par la table D (disponible sur le site www.cheneliere.ca). Le nombre moyen d’unités défectueuses est donné par :
= np = 10(0,1) = 1 La distribution de probabilité binomiale est présentée graphiquement à la figure S.9.1 Figure S.9.1 La distribution du nombre d’unités défectueuses

P(X = x)

© 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

0,4

0,2

0

0

2

4

6

8

10

X Nombre d’unités défectueuses

Chapitre 9

Supplément

3

S.9.2 La distribution de Poisson La distribution de Poisson est le résultat d’une expérience décrivant le nombre de réalisations d’un événement dans un intervalle de temps, que l’on peut appeler nombre de succès comme dans le cas d’une expérience binomiale. Il s’agit par exemple du nombre d’appels enregistrés dans un central téléphonique pendant cinq minutes, du nombre d’unités défectueuses observées dans une usine durant une journée, du nombre d’accidents de travail survenus dans une semaine, etc. L’expérience de Poisson se caractérise par ce qui suit : 1) le nombre de succès survenus dans une période de temps est indépendant de celui observé dans une autre période ; 2) la probabilité de l’avènement d’un succès est proportionnelle à l’étendue de la période de temps ; 3) la probabilité du succès est la même pour des périodes de temps qui sont égales ; 4) la probabilité d’obtenir plus d’un succès dans une période de temps tend vers zéro à mesure que la période devient petite. La fonction de distribution de probabilité de la variable aléatoire Poisson, x, est : P(X = x) =

e- x pour x = 0, 1, 2, 3, ... x!

(S.9.5)

------------------

où  est le nombre moyen de succès observés pendant la période de temps, et e la base du logarithme népérien (≈ 2,71828). Par exemple, si le nombre moyen de bris mécaniques dans un atelier est de 2,5 par semaine, quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas de bris mécaniques dans une semaine choisie aléatoirement ? Sachant que  = 2,5, en remplaçant x = 0 dans l’équation (S.9.5), nous obtenons : P(X = 0) =

e-x e-2,52,50 (2,71828)-2,5(1) = -------------------------- = ----------------------------------------------- = 0,082 x! 0! 1

----------------

Cette probabilité est aussi obtenue par la table E (disponible sur le site www.cheneliere.ca). Lorsque p est petit et que n est grand, la distribution de Poisson tend vers la distribution binomiale. Exemple S.9.2 : Dans un cycle de production, le taux de défectuosité est estimé à 5 %. Si on prélève un échantillon de taille 20, quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas plus de 3 unités défectueuses ?

La probabilité qu’il y ait au maximum 3 unités défectueuses s’écrit comme suit :

© 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

P(X  3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) Ces probabilités peuvent être obtenues par la table E ou calculées à l’aide de l’équation (S.9.5) avec  = 0,05  20 = 1,0 et x variant de 0 à 3 (voir le tableau S.9.2). Tableau S.9.2 La probabilité de la distribution de Poisson X

e-1

(1)x/x!

P(X)

0

0,367879

1,000000

0,3679

1

0,367879

1,000000

0,3679

2

0,367879

0,500000

0,1839

3

0,367879

0,166667

0,0613

Chapitre 9

Supplément

4

Ainsi, la probabilité qu’il y ait au plus 3 unités défectueuses est P(X  3) = 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 + 0,0613 = 0,981, ce qui signifie que la probabilité qu’il y ait au moins 4 unités défectueuses est égale à P(X  4) = 1 – P(X  3) = 1 – 0,981 = 0,019. La figure S.9.2 montre le graphique de la distribution de Poisson. Figure S.9.2 La distribution de Poisson

P(X = x) 0,4

0,2

0

0

2

4

6

8

10

X Nombre d’unités défectueuses

S.9.3 La distribution exponentielle La distribution exponentielle, contrairement aux distributions binomiale et de Poisson, est une distribution continue. Une variable aléatoire x, qui représente le temps ou l’espace entre deux succès consécutifs, est distribuée selon la forme exponentielle si sa fonction de densité est définie de la façon suivante : f(x) = e-x, x  0

(S.9.6)

où  est le paramètre de la distribution et e ≈ 2,71828. La moyenne et l’écart type d’une distribution exponentielle sont identiques, c’est-à-dire
=  = 1/. Quelques formes de probabilités cumulatives pour une variable exponentielle x sont : © 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

P(X < x) = 1 – e-x P(X > x) =

e-x

P(x1 < X < x2) = e-x1 – e-x2

(S.9.7) (S.9.8) (S.9.9)

Exemple S.9.3 : Si le temps moyen entre deux bris d’une machine est établi à 800 heures, quelle est la probabilité que le temps séparant deux bris soit de 600 heures ou moins ? entre 600 et 800 heures ?

Nous avons une distribution exponentielle avec moyenne µ = 800 ou  = 1/µ = 1/800 = 0,00125. La probabilité que l’intervalle de temps entre deux bris consécutifs soit de 600 heures ou moins se calcule ainsi : P(X < 600) = 1 – e-x = 1 – e-600/800 = 1 – 0,47236 = 0,52764

Chapitre 9

Supplément

Et la probabilité que le temps entre deux bris soit compris entre 600 et 800 heures est de : P(600 < X < 800) = e-600/800 – e-800/800 = 0,47236 – 0,36787 = 0,10448 On peut voir la courbe de la distribution exponentielle à la figure S.9.3. Figure S.9.3 La courbe de la distribution exponentielle

0,002

0,00125 0,001 P(600  X  800)

0

© 2006 Les Éditions de la Chenelière inc.

100

200

300

400

500

600

700

800

X

5