Sur la distribution des zéros du polynôme dérivé d`un polynôme

Sur la distribution des zéros du polynôme dérivé d'un polynôme aléatoire Basé sur l'article de R. Pemantle et I. Rivin (cf [1])

Sous la direction de Bénédicte Haas

Paul Dario

Henri Elad-Altman 17 Juin 2013

1

Table des matières 1 Introduction

3

2 Trois résultats sur les points critiques des polynômes

3

3 Espace de mesures et distance de Prokhorov

5

3.1 3.2

Distance de Prokhorov et convergence étroite . . . . . . . . . . . Métrisabilité de la convergence étroite . . . . . . . . . . . . . . .

5 6

4 Mesure empirique associée aux racines d'un polynôme aléatoire 8 4.1 4.2 4.3

Dénition de la mesure empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racines du polynôme dérivé d'un polynôme aléatoire - Régularité de la mesure empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence étroite de Z(fn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 9

5 Comportement asymptotique des racines du polynôme dérivé 10 5.1 5.2 5.3

Mesure réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesure atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas où est l'énergie d'ordre 1 est nie . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 11

6 Etude d'une mesure d'énergie innie : cas de la mesure uniforme sur le cercle unité 18

2

1 Introduction Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 2. Comme C est algébriquement clos, P 0 possède n − 1 racines, appelées points critiques de P . Gauss remarqua que, si des charges sont placées, dans le plan complexe, au niveau des racines de P , alors les positions d'équilibre du champ électrostatique créé correspondent aux points critiques de P . Cette remarque a conduit à la preuve du théorème de Gauss-Lucas, que nous énonçons et démontrons à la section 2. Nous y présentons aussi deux ranements. Le c÷ur de notre étude porte sur le comportement probabiliste des points critiques de polynômes : soit µ une mesure de probabilité sur C, et {Xn : n ≥ 1} des variables aléatoires IID de loi µ. On pose, pour tout n ≥ 2 et tout z ∈ C n Y fn (z) = (z − Xi ) i=1

On se pose alors la question suivante : les zéros de fn0 convergent-ils lorsque n → ∞ ? Dans quel sens ? Pour répondre à cette question, il faudra d'abord introduire (dans la section 3), la distance de Prokhorov, ainsi que la convergence étroite de mesures de probabilités. Dans la section 4, nous dénissons la mesure empirique des zéros de fn et de fn0 , et nous assurons qu'il s'agit bien de variables aléatoires dans l'espace des mesures de probabilité sur C. Une réponse partielle à la question ci-dessus est donnée à la section 5, dans trois cas : lorsque µ est réelle, lorsqu'elle est atomique, et lorsqu'elle est d'énergie d'ordre 1 nie. Dans ces trois cas, la mesure empirique des zéros de fn0 converge en probabilité vers µ. Lorsque µ est uniforme sur le cercle unité, par contre, cette convergence n'a plus lieu a priori. Cependant, les zéros de fn0 convergent alors vers le cercle unité en probabilité : ce sera l'objet de la section 6.

2 Trois résultats sur les points critiques des polynômes Voici un résultat, déterministe, sur la position des points critiques d'un polynôme complexe.

Résultat 1

(Théorème de Gauss-Lucas). Soit P un polynôme à coecients dans C, non constant. Alors les racines de P 0 s'écrivent comme des combinaisons convexes des racines de P

Démonstration. Soit P = c

Qn

i=1 (X

− zi ). Alors : n

X 1 P0 = P X − zi i=1 Soit z une racine de P 0 . Si z est racine de P , il n'y a rien à démontrer. Sinon,

3

P 0 (z) = 0 et donc : P (z) n X i=1

1 =0 z − zi

⇒ ⇒ ⇒

n X z − zi =0 |z − zi |2 i=1 n X z − zi =0 |z − zi |2 i=1 n n X X 1 zi −1 ( ) =z 2 |z − z | |z − zi |2 i i=1 i=1

Les deux résultats suivants sont des ranements du précédent, dans des cas particuliers.

Résultat 2 (Théorème de Marden). Soit P un polynôme complexe de degré 3 dont les racines z1 , z2 , z3 ne sont pas alignées. Alors il existe une unique ellipse inscrite dans le triangle de sommets z1 , z2 , z3 , et tangente aux cotés du triangle en leurs milieux. Les foyers de cette ellipse sont les racines de P 0 .

Résultat 3

(Théorème de Jensen). Soit P un polynôme à coecients réels, non constant. Soit x1 , · · · , xr les racines réelles, deux-à-deux distinctes, de P, et z1 , · · · , zs deux-à-deux distincts tels que ∀i, =(zi ) > 0 et z1 , z1 , · · · , zs , zs sont les racines non réelles de P. Alors :

{z | z ∈ / R, P 0 (z) = 0} ⊂

[

B(

0. S'il existe j ≤ s tel que z = zj , alors z ∈ B( 0. Il existe une suite (xj )j∈N telle que : [ C= Bj j∈N

où Bj désigne ouverte de centre xj et de rayon 2 .  S la boule  Comme Bj forme une famille croissante pour l'inclusion, qui ren≥1 1≤j≤n  S  Bj ≥ 1 − . En couvre l'espace tout entier, il existe N ≥ 1 tel que µ 1≤j≤N

vertu du point (iii) du Théorème 0, pour tout ensemble I ⊂ {0, 1, · · · , N } , on a: [  [  Bj ≤ µ Bj lim sup µn n→∞

De même :

lim sup µn

 [

n→∞

j∈I

j∈I

Bj

c 

 [ c  ≤µ Bj

0≤j≤N

0≤j≤N

où pour toute partie X de C, X désigne C \ X . Il existe donc un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 , on a : [  [  ∀I ⊂ {0, 1, · · · , N }, µn Bj ≤ µ Bj +  c

j∈I

et

µn

 [

Bj

c 

j∈I

 [ c  Bj ≤µ +  ≤ 2

0≤j≤N

0≤j≤N

Soit alors F ⊂ C un fermé. Notons : I := {j ≤ N, Bj ∩ F 6= ∅}. Pour n ≥ n0 :

µn (F )

≤

  S    S c  µn F ∩ Bj + µn F ∩ Bj 0≤j≤N

≤

µn

S

0≤j≤N



Bj + 2

j∈I

≤

S  µ Bj + 3 j∈I

Or :

S

Bj ⊂ F  . Donc, pour n ≥ n0 :

j∈I

µn (F ) ≤ µ(F  ) + 3 ≤ µ(F 3 ) + 3 On a donc : |µn − µ|P −→ 0. n→+∞

7

4 Mesure empirique associée aux racines d'un polynôme aléatoire Grâce à la section 3, nous pouvons à présent préciser le sens de la question "l'ensemble des points critiques converge-t-il ?". Une façon commode de se représenter l'ensemble des points critiques d'un polynôme est de considérer la mesure empirique associée.

4.1 Dénition de la mesure empirique Soit µ une mesure de probabilité sur C, (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires complexes I.I.D. de loi µ. Notons fn le polynôme (X − X1 ) · · · (X − Xn ).

Dénition 3

(mesure empirique des racines de f ). Soit f : C −→ C un polynôme de degré n ≥ 1, de racines z1 , · · · , zn comptées P avec multiplicités. On n dénit la mesure empirique des racines de f : Z(f ) = n1 j=1 δzj .

Exemple.

pour tout n ≥ 2, Z(fn ) =

1 n

Pn

j=1 δXj .

Grâce à la remarque suivant la Proposition 1, on en déduit que Z(fn ) dépend continûment des Xj , et est donc bien une variable aléatoire à valeurs dans P(C). Il nous reste à nous assurer que Z(fn0 ) dénit également une variable aléatoire. Nous allons avoir besoin du Théorème de Rouché, que l'on rappelle sans le redémontrer :

Théorème 2 (de Rouché). Soit f, g des fonctions holomorphes sur un voisinage d'un disque fermé B . On suppose que f ne s'annule pas sur le cercle ∂B et que |g(u)| < |f (u)| pour tout u ∈ ∂B . Alors f et f + g ont le même nombre de zéros (comptés avec multiplicité) dans B .

4.2 Racines du polynôme dérivé d'un polynôme aléatoire - Régularité de la mesure empirique Théorème 3. Pour tout n ≥ 2, Z(fn0 ) est une variable aléatoire à valeurs dans P(C).

Démonstration. Commençons par prouver le lemme suivant :

Lemme 1. Soit, pour n ≥ 1 , An l'ensemble des polynômes de C[X] de degré n, et de coecient dominant égal à n + 1 (ie les dérivées des polynômes unitaires de degré n + 1) muni de la topologie induite par celle de Cn [X]. Alors : Z : An −→ (P(C), | · |p ) est continue. g

7−→

Z(g)

Démonstration. Soit g ∈ An , et une suite (gp ) dans An telle que gp −→ g p→∞

pour la topologie induite par Cn [X] (ie gp −→ g coecient par coecient). Pour montrer que Z(gp ) −→ Z(g) pour la distance de Prokhorov, il sut, par p→∞

le Théorème 1, d'établir la convergence étroite de Z(gp ) vers Z(g). Soit donc Ω ⊂ C un ouvert. Notons z1 , · · · , zk les diérentes racines de g qui sont dans Ω, 8

m1 , · · · , mk leurs multiplicités respectives, on a donc m1 +· · ·+mk = nZ(g)(Ω). Soit δ > 0 tel que les boules ouvertes B(zj , δ) sont toutes contenues dans Ω, et deux à deux disjointes. Comme gp −→ g coecient par coecient, gp converge p→∞

vers g uniformément sur tout compact de C. Donc il existe un rang P ∈ N tel que, pour tout p ≥ P , et tout j ∈ {1, · · · , k}, on ait |gp − g| < |g| sur le cercle ∂B(zj , δ) ; alors, selon le Théorème de Rouché, gp a exactement mj zéros dans B(zj , δ). Comme les B(zj , δ) sont deux-à-deux disjointes, gp a donc au moins m racines dans Ω, i.e Z(gp )(Ω) ≥ Z(g)(Ω). Donc lim inf Z(gp )(Ω) ≥ Z(g)(Ω). Par p→∞

le point (ii) du Théorème 0, Z(gp ) converge vers Z(g) étroitement, donc pour la distance de Prokhorov (Théorème 1). Donc Z est bien continue. Maintenant, notons D : Cn+1 [X] → Cn [X] l'opérateur de dérivation et

F :

Cn+1 −→ (z1 , · · · , zn+1 ) 7−→

Cn+1 [X] Qn+1 i=1 (X − zi )

D et F sont continues car respectivement linéaire et polynômiale sur des C-espaces vectoriels de dimension nie. Donc Z ◦ D ◦ F : Cn+1 → P(C) est 0 continue, donc mesurable. Donc, Z(fn+1 ) = Z ◦ D ◦ F (X1 , · · · , Xn+1 ) est bien une variable aléatoire à valeurs dans P(C). Ainsi, Z(fn ) et Z(fn0 ) sont bien des variables aléatoires, et on peut étudier leur éventuelle convergence.

4.3 Convergence étroite de Z(fn ) Proposition 2. On a p.s : Z(fn ) n→+∞ −→ µ. (e)

Corollaire 1. Par le Théorème 1, on en déduit que, |Z(fn ) − µ|P

p.s

−→ 0 .

n→∞

Démonstration. On utilise sans le redémontrer le lemme suivant :

Lemme 2. Soient (µn )n≥1 et µ des mesures de probabilités sur C. Soit Cc (C)

le sous-ensemble de Cb (C) constitué des fonctions continues à support compact. Soit H une partie de (Cb (C), k · k∞ ), telle que Cc (C) ⊂ H . Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) La suite (µn )n≥1 converge étroitement vers µ (ii)

Z ∀ϕ ∈ H,

Z ϕ dµn −→

n→∞

ϕ dµ

Prouvons maintenant la Proposition 2. Il existe H ⊂ Cb (C) dénombrable, tel que Cc (C) ⊂ H . Si ϕ ∈ H , la loi forte des grands nombres appliquée aux variables aléatoires ϕ(Xi ) assure que : n

1X p.s ϕ(Xi ) −→ E[ϕ(X1 )] n→∞ n i=1

9

et donc :

Z

p.s

Z

ϕ dZ(fn ) −→

ϕ dµ

n→∞

Comme H est dénombrable, on obtient, en intersectant un ensemble dénombrable d'événements presque sûrs : Z Z p.s ∀ϕ ∈ H, ϕ dZ(fn ) −→ ϕ dµ n→∞

D'après le lemme précédent, p.s. : (e)

Z(fn ) −→ µ n→+∞

5 Comportement asymptotique des racines du polynôme dérivé Question : Les zéros de fn0 sont-ils stochastiquement proches des zéros de fn ,

i.e. la variable aléatoire Z(fn0 ) converge-t-elle vers la mesure µ en probabilité ? La réponse est oui dans les deux cas particuliers ci-dessous, et la convergence est même p.s.

5.1 Mesure réelle Supposons que µ est une mesure réelle (i.e µ(C \ R) = 0 ). Sous cette condition, on peut considérer que fn et fn0 sont des polynômes réels scindés sur R et que toutes les mesures qui interviennent sont réelles. On note alors F , Fn et Fn0 les fonctions de répartiton respectives de µ, Z(fn ) et Z(fn0 ). On constate que, si l'on note Y1 ≤ · · · ≤ Yn les racines de fn (ordonnées et comptées avec 0 multiplicité), et Y10 , · · · , Yn−1 celles de fn0 , alors, selon le Lemme de Rolle :

∀i ∈ {1, · · · , n − 1}, Yi ≤ Yi0 ≤ Yi+1 D'où

∀n ≥ 2, nFn − 1 ≤ (n − 1)Fn0 ≤ nFn

et Fn0 - Fn converge simplement vers 0. Or, d'après la Proposition 2, p.s, Z(fn ) converge étroitement vers µ, donc (Théorème 0) Fn converge vers F en tout point de continuité de F , donc Fn0 également. Donc, selon le Théorème 0, p.s, Z(fn0 ) converge étroitement vers µ. D'où le résultat.

5.2 Mesure atomique P∞ Supposons que µ est une mesure de probabilité atomique, ie : µ = k=1 pk δak où pk ∈]0, 1[, ak ∈ C, et δx désigne la mesure de Dirac au point x. Montrons (e)

que, dans ce cas également, Z(fn0 ) −→ µ p.s. n→∞ Soit k ≥ 1 xé. Selon la loi des grands nombres forte, p.s. : n

1X 1X =a −→ P(X1 = ak ) = pk n j=1 j k n→∞ 10

ie, la multiplicité de ak comme racine de fn est npk + ◦(n), donc sa multiplicité comme racine de fn0 est npk − 1 + ◦(n) = npk + ◦(n). Donc, p.s :

Z(fn0 )({ak }) −→ pk = µ({ak }) n→∞

Comme les ak sont en nombre dénombrable, p.s., pour tout k ≥ 1, Z(fn0 )({ak }) −→

n→∞

µ({ak }). On suppose cette condition vériée dans la suite. Soit Ω ⊂ C un ouvert : X Z(fn0 )(Ω) ≥ Z(fn0 )({ak }) k:ak ∈Ω

En utilisant le Lemme de Fatou on obtient l'inégalité : X X lim inf Z(fn0 )({ak }) ≥ µ({ak }) n→∞

k:ak ∈Ω

k:ak ∈Ω

Et donc :

lim inf Z(fn0 )(Ω) ≥ n→∞

X

µ({ak }) = µ(Ω)

k:ak ∈Ω

Le point (ii) du Théorème 0 permet de conclure.

5.3 Cas où est l'énergie d'ordre 1 est nie Dans la suite, nous allons montrer que la réponse à notre question reste armative pour une grande classe de mesures de probabilité. Cela fera l'objet du Théorème 4.

Dénition 4.

Soit µ une mesure nie sur C. L'énergie d'ordre 1 de µ est : Z Z 1 dµ(z)dµ(w) ∈ [0, +∞] ε(µ) := |z − w|

Si cette quantité est nie, selon le Théorème de Fubini, la fonction Vµ dénie par Z 1 Vµ (z) := dµ(w) z−w est bien dénie µ-p.p et est dans L1 (µ).

Exemple. Soit λ la mesure de Lebesgue dénie sur C et K un compact d'intérieur non vide de C, alors la mesure λK dénie par : ∀A ∈ B(C), λK (A) =

λ(A ∩ K) λ(K)

vérie :

ε(λK ) < +∞

Théorème 4. Reprenant les notations ci-dessus, on considère Z(fn0 ). Supposons que µ soit d'énergie d'ordre 1 nie et que :

µ, Z(fn ) et

µ{z : Vµ (z) = 0} = 0

Alors Z(fn0 ) converge en probabilité vers µ (pour la distance de Prokhorov) lorsque n −→ ∞. 11

La démonstration de ce Théorème se fait en plusieurs étapes. Nous allons établir l'existence d'un C > 0 tel que, asymptotiquement, les boules de centre Xj et de rayon C n sont deux-à-deux disjointes, et contiennent (presque) chacune exactement une racine de fn0 . Ceci donnera une estimation de la distance de Prokhorov entre les mesures empiriques associées à fn et à fn0 .

Lemme 3. Si ε(µ) < +∞, on a les propriétés : (i) t · P(|X2 − X1 | ≤ 1t ) −→ 0 t→+∞

(ii) ∀C > 0, P[ min |Xj − Xn+1 | ≤ 1≤j≤n

C −→ n ] n→+∞

0

Démonstration. (i) Le fait que ε(µ) < +∞ entraîne que : Z

+∞

 P

0

 1 ≥ u du < +∞ |X2 − X1 |

Donc :

 t·P

1 ≥ 2t |X2 − X1 |



2t



 1 ≥ u du −→ 0 t→∞ |X2 − X1 |

=

P

S

≤

Pn

Z ≤

P t

D'où le résultat. (ii) On a :

P min |Xj − Xn+1 | ≤ 1≤j≤n

C n




1≤j≤n

|Xj − Xn+1 | ≤

P |Xj − Xn+1 | ≤
n · P |X2 − X1 | ≤ C n j=1

≤

C n

C n







puisque les Xj sont indépendantes et de même loi. On conclut en constatant, grâce à (i), que la dernière expression tend vers 0 lorsque n −→ ∞.

Remarque. En particulier, on constate que la probabilité que fn ait une racine double tend vers 0 lorsque n −→ ∞.

Notations. On a déjà déni Vµ (z) := n ≥ 1 et z ∈ C \ {X1 , · · · , Xn } : Z Vµ,n (z) :=

Z

dµ(w) . De même, on pose, pour tout (z − w) n

dZ(fn )(w) 1X 1 = (z − w) n j=1 (z − Xj )

On note également, pour n ≥ 1 et C > 0 xés.

B := B Xn+1 , la boule ouverte de centre Xn+1 et de rayon 12

C
n C . n

Lemme 4. ∀C > 0, ∀ > 0, P(Sn ≥ n) −→ 0 n→+∞

où Sn := sup{|Vµ,n (z)| |z ∈ B \ {X1 , · · · , Xn }} . 0

Démonstration. Il sut de démontrer l'armation suivante : E(Sn 1Gn ) où Gn := { min |Xj − Xn+1 | > 1≤j≤n

2C n }.

=

n→+∞

◦(n)

En eet, on aura alors

P(Sn ≥ n) ≤ P({Sn ≥ n} ∩ Gn ) + P(Gcn ) ≤

1 E(Sn 1Gn ) + P(Gcn ) n

en utilisant l'inégalité de Markov. Le premier terme tend vers 0 par l'armation ci-dessus, et le deuxième également selon la deuxième partie du Lemme 3, d'où le résultat. Il reste à démontrer l'armation ci-dessus. On a : n

0 |Vµ,n (z)| = |

n

1 1X 1 1X | ≤ 2 n j=1 (z − Xj ) n j=1 |z − Xj |2

Or, pour tout z ∈ B , et 1 ≤ j ≤ n, sachant l'événement Gn , on a :

|z − Xn+1 | ≤

C n

≤ 12 |Xj − Xn+1 |, d'où, en utilisant l'inégalité triangulaire : |z − Xj | ≥

1 |Xn+1 − Xj | 2

Par conséquent : n

Sn 1Gn ≤

n

1X 4 1X 4 2C 1 ≤ 1 G n n j=1 |Xj − Xn+1 |2 n j=1 |Xj − Xn+1 |2 |Xj −Xn+1 |≥ n

2C puisque l'événement Gn est inclus dans l'événement |Xj − Xn+1 | ≥ . n En prenant l'espérance, il vient alors :  E(Sn 1Gn ) ≤ E

2  2 1 |X1 −Xn+1 | C ≥n |X1 − Xn+1 | 2

(on a utilisé le fait que les variables aléatoires Xj sont I.I.D.). Remarquons l'inégalité suivante, valable pour toute variable aléatoire réelle positive W et tout réel positif t : Z t 2 E(W 1W ≤t ) ≤ 2sP(W ≥ s) ds 0

En eet on a, pour tout t ≥ 0, W 2 1W ≤t ≤ en prenant l'espérance et en appliquant Fubini.

13

Z 0

t

2s1W ≥s ds, d'où le résultat

En appliquant l'inégalité précédente avec W = obtient :

Z E(Sn 1Gn ) ≤

n C

2 n et t = , on |X1 − Xn+1 | C

2sP |X1 − Xn+1 | ≤

0

2
ds = ◦(n) s

puisque l'intégrande tend vers 0 lorsque s → +∞ en vertu de la partie (i) du Lemme 3.

Corollaire 2. Notons : VC n := inf{|Vµ,n (u)| |u ∈ B \ {X1 , · · · , Xn }}

Alors :

|Vµ,n (Xn+1 )| − V C n −→ 0 en probabilité. n→+∞

Démonstration. Notant B := B \ {X1 , · · · , Xn }, on a : 0

0

0 ≤ |Vµ,n (Xn+1 )| − V C n ≤ sup |Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ,n (u)| ≤ sup |Vµ,n (u)| u∈B 0

u∈B 0

C n

en utilisant l'inégalité des accroissements nis. Donc, pour tout  > 0,

P |Vµ,n (Xn+1 )| − V C ≤ P Sn ≥ n −→ 0 n ≥ n→+∞ C selon le Lemme 4. Donc |Vµ,n (Xn+1 )| − V C n tend vers 0 en probabilité lorsque n → ∞.

Lemme 5. Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 ) −→ 0 n→+∞

en probabilité Démonstration. Il sut de montrer que : Z

dZ(fn )(z) − Xn+1 − z

Z

dµ(z) −→ 0 Xn+1 − z n→+∞

en probabilité. Comme l'intégrande n'est pas borné sur C, on ne peut pas appliquer directement la convergence étroite. On va donc tronquer l'intégrande, en posant, pour tout K > 0, et tous z, w ∈ C distincts :

ΦK,z (w) :=

1 |z − w|
1 z − w max |z − w|, K

Ainsi, ΦK,z (w) est bornée par K , et coïncide avec

1 ≤ K . On pose également : |z − w| VµK (z) := K Vµ,n (z) :=

Z

Z

1 en tout w tel que z−w

ΦK,z (w) dµ(w)

ΦK,z (w) dZ(fn )(w) 14

et

εK (µ) :=

Z Z

1 −1 1 dµ(z)dµ(w) |z − w| |z−w| ≥K

On a, pour tout n ≥ 1 :


E |VµK (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 )| ≤ εK (µ) En eet :

|VµK (Xn+1 )

Z

− Vµ (Xn+1 )|

= ≤ ≤


1 − ΦK,z (Xn+1 ) dµ(z)| z − Xn+1 1 − ΦK,z (Xn+1 )| dµ(z) | z − Xn+1 Z 1 1|z−Xn+1 |−1 ≥K dµ(z) |z − Xn+1 | | Z

et, en prenant l'espérance, on obtient bien l'inégalité annoncée. De même, pour tout n ≥ 1 :
K E |Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ,n (Xn+1 )| ≤ εK (µ) Soit  > 0 Selon le Théorème de convergence dominée, εK (µ) −→ 0. Donc il K→+∞

existe un K > 0 tel que εK (µ) < 2 . D'où, pour tout n ≥ 1


P |VµK (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 | ≥ )

De même :

≤

1 E

≤

1 K  ε (µ)

≤




|VµK (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 )| (i)

(ii)


K P |Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ,n (Xn+1 | ≥ ) ≤ 

K Il reste à montrer que Vµ,n (Xn+1 ) − VµK (Xn+1 ) −→ 0 en probabilité. Soit n→∞

(Ω, A, P) l'espace de probabilité de travail. On a : Z Z K K K,Xn+1 Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 ) = Φ (w)dZ(fn )(w) − ΦK,Xn+1 (w)dµ(w) Or, pour tout z , ΦK,z est continue, bornée par 2K . Comme, p.s., Z(fn ) converge vers µ étroitement (Proposition 2), on a : Z Z K,z ∀z ∈ C, Φ (w)dZ(fn )(w) −→ ΦK,z (w)dµ(w) p.s n→∞

R Donc, pour z ∈ C, la suite de variable aléatoire ( ΦK,z (w)dZ(fn )(w))n≥1 dénie R sur (Ω, A, P) est bornée et converge presque sûrement vers ΦK,z (w)dµ(w). Par le Théorème de convergence dominée, la convergence a lieu dans L1 (Ω, A, P). Donc : Z Z ∀z ∈ C, E[ | ΦK,z (w)dZ(fn )(w) − ΦK,z (w)dµ(w)| ] −→ 0 n→∞

15

De plus, en utilisant le fait que les (Xn )n≥1 sont indépendantes, on obtient la relation : K E[ |Vµ,n (Xn+1 ) − VµK (Xn+1 )| ] = Z Z Z E[ | ΦK,z (w)dZ(fn )(w) − ΦK,z (w)dµ(w)| ]dµ(z)

L'intégrande est borné par 2K et converge vers 0 pour tous z ∈ C, donc converge vers 0 µ − p.p. Par conséquent, en appliquant une deuxième fois le Théorème de convergence dominée,on obtient : Z Z Z E[ | ΦK,z (w)dZ(fn )(w) − ΦK,z (w)dµ(w)| ]dµ(z) −→ 0 n→∞

Donc :

K E(|Vµ,n (Xn+1 ) − VµK (Xn+1 )|) −→ 0 n→∞

Donc que :

K Vµ,n (Xn+1 )

−

VµK (Xn+1 )

−→ 0 en probabilité. Donc il existe N ∈ N tel

n→∞


K ∀n ≥ N, P |Vµ,n (Xn+1 ) − VµK (Xn+1 )| ≥  ≤ 

(iii)

Finalement, les inégalités (i), (ii) et (iii) donnent, par inégalité triangulaire :
∀n ≥ N, P |Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 )| ≥ 3 ≤ 3 Donc Vµ,n (Xn+1 ) − Vµ (Xn+1 ) −→ 0 en probabilité. n→∞

Preuve du Théorème 4. Soit n ≥ 2. On suppose d'abord que V C n > 0 trons que fn+1 a alors un unique zéro dans B := B Xn+1 ,

Pour w ∈ B on a

|

C
. n

1 ; monC

n X fn0 (w) n 1 |=| | = n|Vµ,n (w)| ≥ nV C n (Xn+1 ) > fn (w) w − X C j j=1

En particulier, pour tout z ∈ ∂B :

|

fn (z) C |< = |z − Xn+1 | fn0 (z) n

fn (z) a un unique zéro an+1 fn0 (z) f 0 (z) f 0 (z) 1 est l'unique zéro sur B de : n + = n+1 , donc fn (z) z − Xn+1 fn+1 (z)

Selon le Théorème de Rouché, z → z − Xn+1 + dans B i.e an+1 0 de fn+1 .

Montrons, nalement, la convergence en probabilité de Z(fn0 ) lorsque n → ∞. Soit δ > 0. Comme µ({z | Vµ (z) = 0}) = 0, il existe un C > 0 tel que

P |Vµ (Xn+1 )| ≤

16

2
δ ≤ C 2

Or : V C n − |Vµ (Xn+1 )| −→ 0 en probabilité (Corollaire 2 et Lemme 5). Donc il n→∞ existe n0 ∈ N tel que, pour tout n ≥ n0 :

P VC n ≤

1
≤δ C

Selon le 1er point, pour tout n ≥ n0 ,


0 P fn+1 a un unique zéro dans B ≥ 1 − δ
Or, pour 1 ≤ j ≤ n + 1, en notant B Xj , C n la boule ouverte de centre Xj et C de rayon , on a : n 0 P fn+1 a un unique zéro dans B Xn+1 ,

C

C

0 = P fn+1 a un unique zéro dans B Xj , n n

puisque les (Xi )(1≤i≤n+1) ont même loi. On en déduit que :

∀j ≤ n + 1 , P(Hn,j ) ≤ δ 0 où Hn,j désigne le complémentaire de l'événement {fn+1 a un unique zéro sur B(Xj , C n )}.

Pour j ≤ n + 1, on dénit la variable aléatoire Yj de la façon suivante : 0  Yj est l'unique zéro de fn+1 sur B(Xj , C n ) si celui-ci est bien déni, et si,

de plus, min|Xi − Xj | > i6=j

2C n

 Yj := ∆ dans le cas contraire, où ∆ est un symbole formel. Soit Jn := {1 ≤ j ≤ n + 1 | Yj = ∆} et In := {1, 2, · · · , n + 1} \ Jn . Pour n ≥ n0 , et 1 ≤ j ≤ n + 1 :

P(Yj = ∆) ≤ P(Hn,j ) + P min|Xi − Xj | ≤ i6=j

2C
≤ δ + α(n) n

où α(n) → 0 lorsque n → ∞ (deuxième point du Lemme 3) D'où :

E(Card(Jn )) =

n+1 X

P(Yk = ∆) ≤ (n + 1)δ + (n + 1)α(n)

k=1 0 Montrons que P |Z(fn+1 ) − Z(fn+1 )|P ≥ 2δ




−→ 0.

n→+∞

Soit A ⊂ C un borélien. Pour tout j ≤ n + 1, si Xj ∈ A, alors, soit Yj = ∆, soit C Yj ∈ A n . D'où :

Z(fn+1 )(A) ≤

C n 1 C 0 Z(fn+1 )(A n ) + Card(Jn ) + n+1 n+1 n

De même : 0 Z(fn+1 )(A) ≤

C 1 n+1 C Z(fn+1 )(A n ) + Card(Jn ) + n n n

17

Or :       Card(Jn ) 3δ Card(Jn ) δ 2 δ n+1 P > =P −δ > ≤ + α(n) −→ 0 n→+∞ n 2 n 2 δ n n (la dernière inégalité provient du Lemme de Markov). Soit n1 ≥ n0 tel que 1 C δ + < . Alors, pour tout n ≥ n1 : n1 n1 2  
Card(Jn ) 3δ 0 P |Z(fn+1 ) − Z(fn+1 )|P ≥ 2δ ≤ P > −→ 0 n 2 n→+∞ D'autre part, selon la Proposition 2, |Z(fn+1 ) − µ|P babilité. D'où :

−→ 0 p.s. donc en pro-

n→+∞




0 0 P |Z(fn+1 )−µ|P ≥ 4δ ≤ P |Z(fn+1 )−Z(fn+1 )|P ≥ 2δ +P |Z(fn+1 )−µ|P ≥ 2δ Et donc :

0 ) − µ|P ≥ 4δ P |Z(fn+1




−→ 0

n→+∞

La convergence en probabilité de Z(fn0 ) vers µ est établie.

6 Etude d'une mesure d'énergie innie : cas de la mesure uniforme sur le cercle unité Un exemple de mesure de probabilité ne rentrant dans aucun des trois cas étudiés ci-dessus est la mesure de Lebesgue sur le cercle unité.

Dénition 5.

ω dénie par :

On appelle mesure de Lebesgue sur le cercle unité U la mesure

∀A ⊆ U borélienne, ω(A) = 2λ({ru | (r, u) ∈ [0, 1[×A}) où λ désigne la mesure de Lebesgue sur C.

Proposition 3. La mesure de probabilité

1 ω est d'énergie d'ordre 1 innie. 2π

Démonstration. On a : Z

ε(ω)

1 dω(z)dω(u) |z − u|  Z Z 2π 1 dθ dω(u) | exp(iθ) − u| U 0  Z Z 2π 1 dθ dω(u) | exp(iθ) − 1| U 0

=

U2

= = Or :

| exp(iθ) − 1| ∼ θ θ→0

Donc :

Z 0

2π

1 dθ = +∞ | exp(iθ) − 1| 18

et donc :

ε(ω) = ε(

1 ω) = +∞ 2π

Par conséquent le Théorème 4 ne s'applique pas lorsque les Xn ont pour loi ω/2π , i.e lorsque les racines de fn sont choisies uniformément sur le cercle unité. Cependant, on a le résultat suivant :

Proposition 4. : Supposons que les Xn ont pour loi ω/2π, alors Z(fn0 ) converge vers le cercle unité en probabilité. Plus précisément, Z(fn0 )(U) −→ 1 en proban→∞ bilité.

Selon le Théorème de Gauss-Lucas, les racines de fn0 sont toutes dans le disque fermé B(0, 1). Par conséquent, il sut d'étudier les fn0 restreintes à B(0, 1). Commençons par les remarques suivantes :

Remarques.

1. Pour tout ρ ∈]0, 1[, notons Bρ le disque euclidien ouvert de centre 0 et de rayon ρ. Muni de la métrique usuelle, celui-ci forme un espace métrique séparable. Alors, de même que pour P(C), on peut munir P(Bρ ) de la distance de Prokhorov. La séparabilité étant préservée, la Proposition 1 et les Théorèmes 0 et 1 restent valables lorsque l'on remplace C par Bρ . 2. Soit g une fonction analytique sur B(0, 1), non identiquement nulle. Comme les zéros de g sont isolés sur B(0, 1), ils sont en nombre ni dans tout compact de B(0, 1). En particulier, pour tout ρ ∈]0, 1[, la fonction g|Bρ possède un nombre ni de zéro, comptés avec multiplicités, qu'on notera N (g, ρ). De même que pour un polynôme, on peut considérer Z(g|Bρ ), la mesure empirique associée aux zéros de g|Bρ (comptés avec multiplicité). C'est un élément de P (Bρ ), qu'on notera dans la suite Zρ (g).

Dénition 6.

1. Soit (aj )j≥0 une suite de variables aléatoires complexes, P+∞ j telle que, p.s., le rayon de convergence de g(z) := j=0 aj z est supérieur ou égal à 1, et g est non identiquement nulle. On dit que l'ensemble (discret) des zéros de g forme un processus aléatoire sur B(0, 1). 2. Soit n ≥ 1. Pour tous z1 , · · · , zn ∈ B(0, 1) deux-à-deux distincts, et tout  > 0 tel que les disques B(zj , ) soient deux-à-deux disjoints, on note p (z1 , · · · , zn ) la probabilité que g ait un zéro dans chaque disque B(zj , ). On appelle intensité jointe en z1 , · · · , zn du processus associé aux zéros de g , la valeur : p (z1 , · · · , zn ) p(z1 , · · · , zn ) := lim →0 π n 2n lorsqu'elle existe.

Théorème 5. Soit (Yj )j≥0 une suite de variables aléatoires P I.I.D., jde loi gaussienne centrée sur C (de densité π1 e−zz ). Posons G(z) = ∞ j=0 Yj z . Alors : P+∞ j (i) p.s., le rayon de convergence de j=0 Yj z est supérieur ou égal à 1, et G est non identiquement nulle (ii) en tous points z1 , . . . , zn ∈ B(0, 1), l'intensité jointe du processus associé aux zéros de G existe et vaut : p(z1 , · · · , zn ) = π −n det(M ) 19

où M est la matrice n × n dont le coecient en position (i, j) vaut

1 (1 − zi zj )2

Démonstration. (i) p.s., Y0 est non nulle (car sa loi n'a pas d'atome), P donc G est non identiquement nulle. D'autre part le rayon de convergence de vaut : 1

+∞ j=0

Yj z j

1

lim sup |Yj | j j→∞

Or, pour tout  > 0, on a :



1 P |Yj | j ≥ 1 +  = exp −(1 + )2j
1 Par conséquent la série de terme général P |Yj | j ≥ 1 +  converge. D'après le lemme de Borel-Cantelli, il vient :
1 P lim sup{|Yj | j ≥ 1 + } = 0 j→∞

1

Donc lim sup |Yj | j ≤ 1 p.s. j→∞

Le (ii) est admis (cf [4] pour la démonstration).

Corollaire 3. Pour tout ρ ∈]0, 1[, p.s., G ne s'annule pas sur le cercle ∂Bρ . Démonstration. Soit  > 0. On peut recouvrir ∂Bρ par un nombre N := b πρ  c+1

 de boules de rayon , centrées en des points z1 , · · · , zN ∈ ∂Bρ . Alors :  N
X p (zj ) P G a un zéro sur ∂Bρ ≤ j=1

Or, la loi des Yj sur C étant invariante par rotation de centre 0, les probabilités p (zj ) sont deux-à-deux égales. Donc :


P G a un zéro sur ∂Bρ ≤ N × p (z1 ) =

πρ (1 + ◦(1)) (1 − ρ2 )2

lorsque  → 0, en vertu du Théorème 5. En particulier le membre de gauche est nul.

Proposition 5. Soit 0 < ρ < 1. On a : 1.

Zρ (fn0 ) −→ Zρ (G) n→∞

en loi, pour la distance de Prokhorov sur Bρ . 2.

N (fn0 , ρ) −→ N (G, ρ) n→∞

en loi. Démonstration. On admet cette proposition (cf [1], Proposition 4.2)

20

Démonstration de la Proposition 4. Pour montrer que Z(fn0 )(U) −→ 1 en probabilité, il sut de montrer que, pour tout ρ ∈]0, 1[ :

n→∞

(Proba)

Z(fn0 )(Bρ ) −→ 0 n→∞

Soit ρ ∈]0, 1[. Selon la Proposition 5, (loi)

N (fn0 , ρ) −→ N (G, ρ) n→∞

D'où, pour tout n ≥ 1 , en appliquant le Théorème 0 :

P N (G, ρ) ≥ ln(n) ≥ lim sup P N (fp0 , ρ) ≥ ln(n) p→∞

≥

lim sup P(N (fp0 , ρ) ≥ ln(p)) p→∞

En prenant la lim sup par rapport à n il vient :

0 = lim sup P(N (G, ρ) ≥ ln(n)) ≥ lim sup P(N (fp0 , ρ) ≥ ln(p)) n→∞

p→∞

Par conséquent P(N (fp0 , ρ) ≥ ln(p)) −→ 0, donc il existe ϕ une extraction p→∞


0 telle que, pour tout p ≥ 1, P N fϕ(p) , ρ ≥ ln ϕ(p) ≤ 1/2p , de sorte que la


0 série de terme général P N fϕ(p) , ρ ≥ ln ϕ(p) converge. Selon le lemme de Borel-Cantelli, il vient :
0 P lim sup{N (fϕ(p) , ρ) ≥ ln(ϕ(p))} = 0 p→∞



0 0 Donc, p.s., on a : N fϕ(p) , ρ = ◦ ϕ(p) lorsque p −→ ∞, donc Z(fϕ(p) )(Bρ ) −→

p→∞

0.

Ainsi, de toute sous-suite de Z(fn0 )(Bρ ), on peut extraire une sous-suite qui converge vers 0 p.s. Donc Z(fn0 )(Bρ ) −→ 0 en probabilité. n→∞

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Références [1] Robin Pemantle, Igor Rivin. The distribution of zeros of the derivative of a random polynomial, arXiv :1109.5975 [2] Kenneth Falconer, Fractal geometry, John Wiley & Sons Inc., Hoboken, NJ, second edition, 2003. Mathematical foundations and applications. [3] John Ben Hough, Manjunath Krishnapur, Yuval Peres, Balint Virag, Zeros of Gaussian Analytic Functions and Determinantal Point Processes, American Mathematical Society, vol. 51 [4] Yuval Peres and Balint Virag, Zeros of the i.i.d. Gaussian power series : a conformally invariant determinantal process, Acta Math., 194 : 135, 2005. [5] Illustration du Théorème de Marden : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3% A9or%C3%A8me_de_Marden

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