Synthèse : lois usuelles 1 Loi Binômiale Ck Ck 2 Loi de

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Mathématiques

Synthèse : lois usuelles 1

Loi Binômiale

Formulaire Une succession de n épreuves indépendantes (tirage avec remise) ou un tirage sans remise d’un échantillon de taille n dans une grande population de taille N avec n très petit devant N , avec la même probabilité p de succès : dans ce cas la variable aléatoire X qui mesure le nombre k de succès suit une Loi Binômiale de paramètres n et p. On note : X B(n, p). La probabilité d’obtenir k succès lors de ces n épreuves (0 6 k 6 n) est donnée par : k k n p (1

P (X = k) =C

n−k

− p)

  n k ou P (X = k) = p (1 − p)n−k k

Si la variable X suit une Loi Binomiale de paramètres n et p, on admet que : E(X) = np V (X) = np(1 − p) = npq √ σX = npq

Remarque k

La Loi Binômiale est difficile à utiliser quand n est grand (le calcul des nombres du type Cn est délicat sur calculatrice dès que n est trop grand). On utilise alors dans les conditions ci-après la Loi de Poisson.

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Loi de Poisson

Conditions ❶ Dans les cas où les conditions de la Loi Binômiale sont réunies : répétitions indépendantes d’une même épreuve succès-échec et où la probabilité du cas favorable est faible. ❷ Si n est grand, p petit voisin de 0 et np pas trop grand (loi des événements rares) : si n > 50 et p 6 0, 1 et np 6 5 (conditions admises qui peuvent varier selon les secteurs d’activité) ❸ Dans le cas d’une distribution statistique d’une variable X ayant ses valeurs faibles avec des fréquences élevées et vérifiant E(X) = V (X).

Formulaire Quand on peut approcher la loi B(n, p) par la loi P(λ), le paramètre λ est défini par : λ = n × p = np . pour tout k ∈ N

λk −λ e k! E(x) = λ

P (X = k) =

V (X) = λ √ σX = λ On note : X suit la loi P(λ) ou X

P(λ). La Loi de Poisson est tabulée. 1

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Synthèse : lois usuelles 3

Loi Normale

La Loi Binomiale et la Loi de Poisson sont des lois discrètes : la variable aléatoire étudiée X ne prend que des valeurs isolées (entières) et en nombre fini. Dans le cas où X prend toute valeur d’un intervalle ou de R, on dit que X est une Variable Aléatoire Continue. Si X est une variable aléatoire d’espérance m (sa moyenne) et d’écart-type σ, X suit une Loi Normale de paramètres m et σ. On note : X N (m, σ).

Propriétés On introduit une nouvelle variable aléatoire T définie par : T =

X −m σ

Cette variable T est dite centrée et réduite. T suit alors la Loi Normale N (0, 1) de paramètres m = 0 et σ = 1, cette loi est tabulée. P(T 6 t) = Π(t) P(T 6 −t) = 1 − Π(t) P(a 6 T 6 b) = Π(b) − Π(a) P(−t 6 T 6 t) = Π(t) − Π(−t) = 2 Π(t) − 1 P(T > t) = 1 − P(T 6 t) = 1 − Π(t)

Approximation d’une Loi Binômiale Une Loi Binômiale B(n, p) peut être remplacée ("approximée") par la Loi Normale N (m, σ) dans les conditions ci dessous : m=n×p p σ = n × p × (1 − p)

n est grand et p pas trop petit n > 50 et p > 0, 1 et np(1 − p) > 3 Remarque Les conditions d’approximation ci-dessus sont celles du BTS Hôtellerie 2005 (corrigé) mais d’autres auteurs ou secteurs d’activité donnent : n > 30 et 0, 2 < p < 0, 8 et np > 15 et n(1 − p) > 15.

Approximation d’une Loi de Poisson Dans le cas où λ = np > 20, on peut remplacer P(λ) par N (m, σ) avec : m = λ et σ =

Probabilités

√ λ.

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