Systèmes d`équations et régionnement du plan

1L spé math - 1ES Durée : 45 min

Corrigé du D.S. de Mathématiques n°4

Jeudi 9 avril 2015 Calculatrice autorisée

Le barème est donné sur 20 points à titre indicatif. EXERCICE 1. (7 points) Soit f la fonction définie par f (x) = Error! 1. Quel est l’ensemble de définition Df de la fonction f ? f (x) existe si et seulement si 2x + 2  0 c’est-à-dire si x   1. Donc Df = IR {1} = ]  ;  1[ ] 1 ; + [ 2. Étude des variations de f : a. La fonction est dérivable sur Df. Montrer que f ' (x) = Error! pour tout x  Df f = Error! donc f '= Error! avec u (x) =  x² + 3x  12 donc u' (x) =  2x + 3 v (x) = 2x + 2 donc v' (x) = 2 f ' (x) = Error! f ' (x) = Error!

donc f ' (x) = Error!

b. En déduire les variations de f puis donner le tableau de variations de f sur Df. On étudie le signe de f ' (x) :  Étude du signe de  2x2  4 x + 30 : 

donc le polynôme a deux racines : x2 = Error! = Error! =  5

x1 = Error! = Error! = 3 De plus, a < 0 et  > 0, donc  Étude du signe de (2x + 2)2 : (2x + 2)2 > 0 sur Df

x

–

Signe de  2x2  4 x + 30 Signe de (2x + 2)2

–

Signe de f ' (x)

–

Variations de f

+

–5 | 0 | | | | | 0 | 6,5

+ + +

1 || || || || || |||| || |||| || || || || ||

+ + +

3 | 0 | | | | | 0 |  1,5

+  + 

EXERCICE 2. (7 points) Une usine de jouets fabrique des ours en peluche, on admet que la probabilité qu’un ours échoue au test de conformité concernant les exigences de sécurité est de 4%. On prélève un lot de 100 ours dans la production et on suppose que le stock est suffisamment grand pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise de 100 ours. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 ours en peluche, associe le nombre d’ours non conformes. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier et préciser les paramètres de cette loi. Le test de conformité pour un ours choisi au hasard dans le stock, constitue une épreuve de Bernoulli, de probabilité de succès : « l’ours échoue au test », égale à 0,04. Le stock étant suffisamment grand pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise de 100 ours, on répète 100 expériences de Bernoulli, identiques et indépendantes, donc le nombre d’ours non conformes, X, suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,04. 2. Calculer les probabilités des évènements suivants arrondies au millième. a. le lot contient exactement 5 ours non conformes. p(X = 5) = ( 100;5 ) × p5 × (1 − p)95 = ( 100;5 ) × 0,045 × 0,9695  0,160 b. le lot contient au moins un ours non conforme. p(X  1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0,96100  0,983 3. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpréter ce résultat. E(X) = np = 100 × 0,04 = 4 En moyenne, il y a 4 ours non conformes dans un lot de 100 ours.

EXERCICE 3. (6 points) Un laboratoire pharmaceutique fabrique un vaccin contre la grippe dont la demande est en augmentation. Au mois de septembre 2014, il fabriquait 12000 doses par mois. Il a décidé d’augmenter la fabrication de 1500 doses chaque mois par rapport au mois précédent. On note un le nombre de vaccins, en milliers, fabriqués le n-ième mois suivant septembre 2014 et on pose u0 = 12. 1. Montrer que u1 = 13,5. La fabrication augmente de 1500 doses, soit 1,5 millier de doses, par rapport au mois précédent, donc u1 = 12 + 1,5 = 13,5 2. Exprimer un + 1 en fonction de un. Quelle est la nature de la suite (un) ? Chaque mois la fabrication augmente de 1500 doses, soit 1,5 millier de doses, par rapport au mois précédent, donc un + 1 = un + 1,5 Par conséquent (un) est une suite arithmétique. 3. Exprimer un en fonction de n. (un) est une suite arithmétique de raison 1,5 et de terme initial u0 = 12, d’où : un = u0 + n  1,5 Donc

un = 12 + 1,5 n

4. Calculer le nombre de vaccins fabriqués en mars 2015. Vous utiliserez la suite (un) pour justifier votre résultat. La fabrication de mars 2015 correspond à u6 : u6 = u0 + 6  1,5 = 12 + 9 = 21

La fabrication de mars 2015 a été de 21 000 doses.

5. À partir de quelle date la quantité de vaccins fabriqués chaque mois aura-t-elle doublée par rapport à la production initiale ? Mettre le problème en équation puis le résoudre. On cherche n, tel que : un = 2 u0 , soit : 12 + 1,5 n = 24 1,5 n = 24 – 12 12;1 n= =8 5 La quantité fabriquée aura doublé au mois de mai 2015.