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T ES/L

EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE

Rappel Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale N( ;²) lorsque 𝑍 =

𝑋−



suit la loi centrée réduite N(0;1).

La courbe de 𝑓 est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥 =  Exercice 1 Une assurance s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2013. On note X la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût. L'étude des années précédentes montre que X suit la loi normale de moyenne 1130 et d'écart type 180. Quelle est la probabilité qu'en 2013 un sinistre pris au hasard coûte entre 850 et 1700 euros ? Exercice 2 Une usine fabrique des puzzles de 512 pièces. Pour tester la conformité des puzzles, le service qualité de l'entreprise prélève au hasard un puzzle de 512 pièces. On appelle X la variable aléatoire qui à un puzzle donné associe le nombre de pièces non conforme. On estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'écart type 3. 1) Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 12 pièces non conformes dans le puzzle. 2) Déterminer le réel 𝑥0 tel que 𝑝(𝑋 > 𝑥0 ) = 0,01. En déduire le plus petit entier k tel que la probabilité que le puzzle comporte plus de k pièces non conformes soit inférieure à 0,01. Exercice 3 On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par la société Toutdeloi sont distribuées normalement avec une moyenne de 250g et d'un écart type de 10g. On considère qu'un bloc n'est pas rentable si sa masse est plus grande ou égale à 265g. Calculer le pourcentage de blocs non rentables fabriqués par cette société. Exercice 4 La sélection chez les vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir » (*) La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race Française Frisonne Pis Noir peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne  =6000 et d'écart type =400. La fonction 𝑔 désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1) Afin de gérer au mieux son quota laitier, en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres de lait par an. b) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an. c) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres de lait par an. 2) Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître : a) La production maximale prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau. b) La production minimale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau.

Exercice 5 Réglage d'une machine d'embouteillage dans une coopérative (*) Sur une chaîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut être modélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne μ et d’écart-type  = 2. La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d'un litre. 1)

a) À quelle valeur de la moyenne μ doit-on régler la machine pour respecter cette législation? b) La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors, dans ces conditions, la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage?

2) Le directeur de la coopérative veut qu'il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent au risque de ne plus suivre la législation. a) Quelle est alors la valeur de μ? b) Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d'un litre? 3) Déterminer μ et σ afin qu’il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de de bouteilles qui débordent.

1%

Exercice 6 Durée de vie d’un appareil (*) La durée de vie d'un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 1) Quelles sont les valeurs de  et ² ? 2) Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours ?

Exercice 7 Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids d’une plaquette de 125 g suit une loi normale d’espérance 𝜇 = 125 et d’écart type  = 0,5. La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre 𝜇 − 3 et 𝜇 + 3. 1) Calculer la probabilité qu’une plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme. 2) Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d’alerte 𝜇 − ℎ et 𝜇 + ℎ tels que 𝑃 (𝜇 − ℎ ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + ℎ ) = 0,99. Ces poids d’alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. Déterminer ces poids d’alerte. (*) Tiré des documents ressources de Terminale

Exercice 8 Pondichery 2013 (S) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique μ et l'écart type σ de la variable aléatoire X. 2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

𝑋−𝜇 𝜎

par la loi normale centrée

Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z 110) < 0,01. On détermine d'abord la valeur 𝑧 de la loi normale centrée réduite, telle que 𝑃(𝑍 > 𝑧) = 0,01 ou 𝑃(𝑍 < 𝑧) = 0,99. On trouve, à la calculatrice à l’aide de FracNormale() ou InvN, 𝑧 ≈ 2,33. 𝑋−𝜇 110−𝜇 Comme 𝑍 = 2 , on obtient 2,33 = 2 On trouve ≈ 105,34 .

b) Quelle est dans les conditions de la question a) la probabilité que la bouteille contienne moins d'un litre? Avec cette valeur de μ , on obtient 𝑃(𝑋 < 100) ≈ 0,0038, ce qui est plus élevé que dans le cas précédent. 3) Déterminer μ et σ afin qu’il y ait moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui débordent. On cherche donc à déterminer les valeurs de μ et de σ de sorte que : 𝑃(𝑋 < 100) < 0,001 et 𝑃(𝑋 > 110) < 0,01. Les deux contraintes sur les probabilités fournissent les deux conditions suivantes. On détermine d'abord la valeur 𝑧sup de la loi normale centrée réduite telle que 𝑃(𝑍 > 𝑧𝑠𝑢𝑝 ) = 0,01 c'est-à-dire que 𝑃(𝑍 < 𝑧𝑠𝑢𝑝 ) = 0,99 On trouve avec la calculatrice 𝑧𝑠𝑢𝑝 ≈ 2,33. On détermine ensuite la valeur 𝑧𝑖𝑛𝑓 telle que 𝑃(𝑍 < 𝑧𝑖𝑛𝑓 ) = 0,001. On trouve 𝑧𝑖𝑛𝑓 ≈ −3,09. Les deux contraintes se traduisent donc par les deux inégalités suivantes : 110− 100− ≥ 2,33 et ≤ −3,09   On obtient donc un domaine de solutions et une discussion pourra être menée quant aux choix pertinents que le directeur de coopérative pourrait faire. Exercice 5 Durée de vie d’un appareil (*) La durée de vie d'un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5% de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 1) Quelles sont les valeurs de  et ² ? On note X la variable durée de vie. Les spécifications se traduisent par : 𝑝(120 ≤ 𝑋 ≤ 200) = 0,8 et 𝑝(𝑋 < 120) = 0,05 Alors 𝑝(𝑋 ≤ 200) = 0,8 + 0,05 et 𝑝(𝑋 < 120) = 0,05 Donc 𝑝(𝑋 ≤ 200) = 0,85 et En notant toujours 𝑍 = 𝑝 (𝑍 ≤

200−



𝑋−



𝑝(𝑋 < 120) = 0,05

la variable centrée réduite, on obtient :

) = 0,85

et

𝑝 (𝑍 ≤

120−



) = 0,05

On trouve, à la calculatrice à l’aide de FracNormale() ou InvN, 𝑧 ≈ 1,04. et 𝑧 ≈ −1,65. 𝑋−𝜇 𝑋−𝜇 𝑍= 2 et 𝑍= 2 1,04 =

200−𝜇



 = 200 − 1,04 Par la résolution du système, {

 = 200 − 1,04 0 = 80 − 2,69  = 200 − 1,04 80 {  = 2,69

Alors {

120−𝜇

et

−1,65 =

et

 = 120 + 1,65

 = 200 − 1,04  = 120 + 1,65



 = 200 − 1,04 ×

{

=

 = 169,07 {  ≈ 29,74

8000 269

8000 269

On obtient donc  = 𝟏𝟔𝟗 et ² ≈ 𝟐𝟗, 𝟕𝟒² ≈ 𝟖𝟖𝟒 2) Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours ? En utilisant la calculatrice, on obtient : 𝑃(200 ≤ 𝑋 ≤ 230) ≈ 0,13 Exercice 7 Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la variable aléatoire égale au poids d’une plaquette de 125 g suit une loi normale d’espérance 𝜇 = 125 et d’écart type  = 0,5. La plaquette est jugée conforme lorsque son poids est compris entre 𝜇 − 3 et 𝜇 + 3. 1) Calculer la probabilité qu’une plaquette prélevée aléatoirement au hasard en fin de chaîne soit non conforme. La probabilité qu’une plaque soit conforme est égale à 𝑃 (𝜇 − 3 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 3) ≈ 0,997 Donc la probabilité qu’une plaquette ne soit pas conforme vaut environ 0,003. 2) Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d’alerte 𝜇 − ℎ et 𝜇 + ℎ tels que 𝑃 (𝜇 − ℎ ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + ℎ ) = 0,99. Ces poids d’alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. Déterminer ces poids d’alerte. Afin de pouvoir utiliser la calculatrice, il faut déterminer 𝑃(𝑋 ≤  + ℎ). On a 𝑃(𝑋 ≤  + ℎ) = 𝑃(𝑋 ≤ ) + 𝑃( ≤ 𝑋 ≤  + ℎ) Or 𝑃(𝑋 ≤ ) = 0,5 (Rappel la courbe de la fonction densité est symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑥 = ) 1

Et 𝑃( ≤ 𝑋 ≤  + ℎ) = 2 𝑃( − ℎ ≤ 𝑋 ≤  + ℎ) =

0,99 2

= 0,495

Alors 𝑃(𝑋 ≤  + ℎ) = 0,5 + 0,495 = 0,995 Avec la calculatrice, comme 𝑋 suit la loi normale N(125 ;0,5²), on trouve  + ℎ = 126,29 Alors ℎ = 126,29 −  = 126,29 − 125 = 1,29 Donc  + ℎ = 125 − 1,29 = 123,71 D’où les poids d’alerte sont 123,71 et 126,29 Grâce à des échantillons prélevés en fin de chaîne, ces poids d’alerte permettent de déceler l’existence d’anomalies de fonctionnement avant le dépassement des normes 𝜇 − 3 et 𝜇 + 3 (*) Tiré des documents ressources de Terminale

Exercice 8 Pondichery 2013 (S) Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p=0,05. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique μ et l'écart type σ de la variable aléatoire X. La situation revient à répéter 220 fois de façon indépendante une expérience de Bernoulli dont la probabilité du succès (le salarié est malade) vaut 0,05. Donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de salariés malades suit une loi binomiale B(220 ;0,05) (n=220 et p=0,05). En utilisant les formules du cours on a : 𝜇 = 𝑛𝑝 = 220 × 0,05 = 11 𝜎 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) = √11(1 − 0,05) ≈ 3,23 2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

𝑋−𝜇 𝜎

par la loi normale centrée

Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement Z