T ES Lois de densité - Playmaths

Lois à densité I.

Variable aléatoire à densité

1) Variable aléatoire

Définition : Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers  et à valeurs dans Ë. On la note X. Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1. On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu. Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète. Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue. Exemples 1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 1]. 2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20].

2) Fonction densité

Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité. Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la forme d’un tableau. Valeurs possibles de l'expérience Numéro sorti n

10

5

2

1

Probabilité correspondante P(X=n)

1 10

2 10

3 10

4 10

Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une partition de  , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!

1

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Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée fonction densité. Définition : Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I. On lui associe une fonction f continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et positive sur I telle que :  l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1.  si J  I, la probabilité de l'événement ( X  J ) est égale à l'aire située sous la courbe sur l'intervalle J. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X. Si I = [a ; b], on a donc

b

 f(t)dt = 1 a

3) Probabilité

Définition : Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f. Si I = [a ; b] et J = [ ;  ] un intervalle de I, P( X  J) =



 f(t)dt 

Elle est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)}

Remarque : d’après cette définition, P(X = ) =



 f(t)dt = 0. 

Conséquence : P( X ≤  ) = P( X <  ) Exemple : Démontrer que La fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur [0 ;1].

Ex 3-4-5-7 p.253

4) Espérance mathématique

Rappel : Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par E(X) =

n

 xi pi   xi p(X  xi ) i1

Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3

2

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Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à

b

a t f(t) dt

II. Loi uniforme 1) Définition :

Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] lorsque sa fonction de densité est constante sur [ a ; b ].

Propriété : Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors,  x I , f(x) = longueurde J longueurde I

1  et P( X  J ) = = ba ba

démonstration : Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1, donc f(x)  (b-a) = 1 …   P( X  J ) =  f( t)dt = … =  ba Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h). Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30. X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte) d'arrivée de l'usager. On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est uniformément répartie) sur [0 ; 30] On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager. 1) Quelle est la fonction de densité de X ? 2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus : a) moins de 5 mn ? b) plus de 10 mn ? c) exactement 2 mn ? 1 f(x) = … 30 1 a) P(Y10) = P(X  ] 0 ; 5]) + P(X  ]15 ; 20]) = … = 3 c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0

3

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2) Espérance

Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a ; b] est donnée par a b E(X)  2 Dem : E(X) =

b

b

t

a t f(t) dt = a b  a dt

=…=

a b 2

Ex 12 à 16 p.254

III Loi normale 1) Loi normale centrée réduite

Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa densité f est définie sur Ë par : f(x) 

1 2

e



x2 2

.

On note : X suit la loi N(0 ;1) Rque : f(x) = f(-x), la courbe représentative de la densité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est généralement désignée par « courbe en cloche ».

Propriété ( admise ) : Si une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite, alors P( -1,96 ≤ X ≤ 1,96 ) = 0,95.

2) Loi normale

Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance  et d’écart-type  X signifie que la variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite.  On note : X suit la loi N( ;2 ) 4

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Rques :   est un nombre réel strictement positif.  Si X suit la loi normale N( ;2 ) alors la densité de probabilité de X est la fonction définie sur Ë par f(x) = 

1

1  x      2   e

2

.  2 La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à la droite d’équation x = .

Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale N( ;2 ). P( X ☻ [- ; +])  0,68 P( X ☻ [-2 ; +2])  0,95 P( X ☻ [-3 ; +3]) 0,997.

Ex 17-18-19 p.255 Pb p.259-260

5

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