T ES Lois de probabilités

Lois de probabilités

I.

Loi de probabilité

1) Exemple

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1. L'expérience consiste à extraire au hasard une boule de l'urne et à noter son numéro. L’univers de cette expérience est formé de l'ensemble des 10 boules. On s'intéresse aux 4 événements suivants qui forment une partition de : 1 A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 », dont la probabilité est ; 10 2 A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 », dont la probabilité est ; 10 3 A3 : « la boule extraite porte le numéro 2 », dont la probabilité est ; 10 4 A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 », dont la probabilité est . 10 Remarques : L’ensemble de ces résultats suffit à décrire l'expérience. On peut établir le tableau suivant : Valeurs possibles de l'expérience

10

5

2

1

Probabilité correspondante

1 10

2 10

3 10

4 10

Il y a intérêt à garder le même dénominateur pour toutes les fractions et à ne pas 2 simplifier des fractions telles que pour des commodités de calcul. 10

2) Définition

Définir la loi de probabilité d'une expérience aléatoire, c'est : faire une partition de l'univers avec les événements constitués par les différentes issues possibles de l'expérience : x1, ...,xn, déterminer les probabilités de chacun de ces événements p1, …, pn, consigner ces résultats dans un tableau tel que celui-ci : Valeurs possibles de l'expérience

x1

x2

…

xn

Probabilité correspondante

p1

p2

…

pn

Remarque : Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une partition de , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!

II. Espérance mathématique 1) Définition

Soit une expérience dont les issues possibles sont des nombres réels : x1, ..., xn avec les probabilités respectives p1, p2, … ,pn. L’espérance mathématique de cette loi, notée E, est égale à n

i 1

xi pi

x1 p1

x2 p2

... xn

pn .

Ce nombre représente le résultat moyen de l'expérience réalisée.

2) Exemple

Avec le jeu présenté au dessus, on peut poursuivre le tableau précédent ainsi 10 10 6 4 xi pi xi pi = 3 E= 10 10 10 10 On en déduit que ce jeu rapporte en moyenne 3 € par partie au joueur.

III. Variance, écart type

Remarque : L’espérance mathématique donne une indication simple sur une expérience. Cependant, des expériences aux résultats différents, peuvent avoir la même espérance mathématique. En statistique, la dispersion se mesure par la variance qui est la moyenne pondérée de la série ( x x ) 2 . En probabilité, la variance se calcule de manière analogue.

1) Définitions

Soit une expérience dont l'espérance mathématique est notée E. La variance de cette expérience, notée V, est égale à: V p1 (x1 E) 2 p2 (x2 E) 2 ... pn (xn E) 2 . On appelle écart type de cette même expérience, le nombre

V.

Ce nombre s'exprime dans la même unité que les xi. On démontre que la variance d'une expérience peut aussi se calculer à l'aide de la formule de la propriété suivante, en général plus simple à utiliser.

2) Propriété V

p1

x1 2

p2

x2 2

... pn

xn 2

E2 .

Exemple : Le tableau précédent peut être complété de la façon suivante : 100 50 12 4 xi 2 pi (xi pi ) xi 10 10 10 10 166 7,6 2,76 . On en déduit que V = 32 = 7,6 et donc que 10 Ceci signifie que chaque résultat s'écarte en moyenne de 2,76 de E.

IV. Schéma de Bernoulli, loi binomiale 1) Epreuve de Bernoulli

166 10

Définition : Une expérience qui ne comporte que deux issues possibles (succès ou échec) est appelée épreuve de Bernoulli. Exemples : Le jet d'une pièce de monnaie bien équilibrée constitue l'exemple le plus simple d'épreuve de Bernoulli : la probabilité du succès (« pile » par exemple) est 0,5 et celle de l'échec (« face » par conséquent) est également 0,5. Mais le jet d'un dé classique peut également constituer un exemple d'épreuve de Bernoulli, si l'on décide par exemple qu'un succès consiste à obtenir le 6 et que par 1 conséquent un échec consiste à ne pas obtenir le 6. La probabilité du succès est et 6 5 celle de l'échec est . 6 Remarque : Si dans une épreuve de Bernoulli la probabilité du succès est p, la probabilité de l'échec est 1 -p.

2) Schéma de Bernoulli

Définition : On appelle schéma de Bernoulli, une expérience qui consiste à répéter plusieurs fois et de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli. Exemples : Si l'on jette trois fois la même pièce de monnaie, on est en présence d'un schéma de Bernoulli à 3 épreuves. Une urne contient 3 boules noires et 5 blanches. Une expérience consiste à extraire trois boules de cette urne et à noter leur couleur. - Si le tirage des trois boules se fait avec remise, on est bien en présence d'un schéma de Bernoulli à 3 épreuves, la probabilité d'un succès (obtenir une boule 5 3 blanche par exemple) étant et celle de l'échec (obtenir une boule noire) étant . 8 8 - Si par contre le tirage se fait sans remise, nous ne sommes plus en présence d'un schéma de Bernoulli puisque les épreuves ne sont plus indépendantes les unes des autres.

3) Loi binomiale

Définition : On appelle loi binomiale, la loi de probabilité correspondant à un schéma de Bernoulli. Cette loi est souvent notée B(n, p), la lettre B rappelant le mot « binomial », le nombre n étant le nombre d'épreuves et le nombre p étant la probabilité d'un succès lors d'une épreuve. Remarque : Un schéma de Bernoulli s'illustre par un arbre dans lequel : de chaque nœud partent deux branches ; toutes les branches menant à un succès portent la même probabilité p toutes les branches menant à un échec portent la même probabilité 1 - p.