Tableau des lois discrètes usuelles.

Tableau des lois discrètes usuelles. Nom Uniforme sur {1, 2, ..., n} Binomiale B (n, p)

Loi de probabilité Espérance Variance P (X = k) = 1/n (n + 1)/2 (n2 − 1)/12 k ∈ {1, 2, . . . , n} n−k P (X = k) = Cnk pk (1 − p) np np (1 − p) k ∈ {0, 1, . . . , n} n−k k n P (X = k) = CN CN −N1 /CN 1 ¡ ¢ −n Hypergéométrique ¡ ¢ (nN1 )/N n NN1 1 − NN1 N k compris entre N1 N −1 H N, n, N max (0, n − (N − N1 )) et min (N1 , n) k−r r−1 r Pascal P (X = k) = Ck−1 p (1 − p) r/p r (1 − p)/p2 P (r, p) k ∈ {r, r + 1, . . .} Poisson P (X = k) = e−λ λk /k! λ λ P (λ) k∈N Loi de Bernoulli : Binomiale B (1, p) = B (p). Loi Géométrique : Pascal P (1, p) = G (p). Tirages dans une urne. On considère une population de N individus à deux catégories, avec N1 individus de catégorie 1 et N2 individus de catégorie 2 (N1 + N2 = N ). Si on effectue des tirages avec remise dans la population : ¡ ¢ - le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus en n tirages suit la loi Binomiale B n, NN1 ¡ ¢ - le nombre de tirages nécessaires pour obtenir r individus de catégorie 1 suit la loi de Pascal P r, NN1 . des tirages sans remise dans la population : le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus suit la loi Hypergéométrique ¢ ¡Si on effectue H N, n, NN1 . Répétition d’expériences. On répète, dans les mêmes conditions, une même expérience aléatoire au cours de laquelle un événement A a une probabilité p d’être réalisé : - le nombre de réalisations de A en n expériences suit la loi Binomiale B (n, p) ; - le nombre d’expériences nécessaires pour obtenir r réalisations de A suit la loi de Pascal P (r, p).

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Tableau des lois à densités usuelles. Nom Uniforme sur [a, b] Normale N (µ, σ) Chi-deux χ2 (n) Student S (n) Fisher F (n1 , n2 ) Exponentielle Exp (θ) Cauchy C (µ, λ) Gamma G (a, p) Beta B (p, q)

Densité de probabilité ½ 1 b−a si x ∈ [a, b] f (x) = 0 si x ∈ / [a, b] 1 x−µ 2 1 f (x) = √ e− 2 ( σ )  σ− x2πn−2  e 2x 2 ¡ n ¢ si x > 0 n f (x) = 2 Γ 2 2  0 si x ≤ 0 ´− 12 (n+1) ³ 2 1 + xn f (x) = √ ¡1 n¢ nβ 2 , 2  n1 n2 n1 2 2  n1 n2 x 2 −1 si x > 0 1 n n f (x) = β 1 , 2 (n x+n2 ) 2 (n1 +n2 )  (2 2) 1 0 si x ≤ 0 ½ −θx θe si x ≥ 0 f (x) = 0 si x < 0 λ ´ f (x) = ³ 2 π λ2 + (x − µ) ½ ap p−1 −ax e si x > 0 Γ(p) x f (x) = 0 si x ≤ 0 ( q−1 1 p−1 (1 − x) si x ∈ [0, 1] β(p,q) x f (x) = 0 si x ∈ / [0, 1]

Espérance a+b 2

Variance 2 (b − a) 12

µ

σ2

n

2n

0 si n ≥ 2 n2 n2 − 2 si n2 ≥ 3 1 θ

p a p p+q

2

n n−2 si n ≥ 3 2n22 (n1 +n2 −2) n1 (n2 −2)2 (n2 −4)

si n2 ≥ 5 1 θ2

p a2 pq (p+q)2 (p+q+1)