TD 13 : Probabilités sur un univers fini

ECE 1

TD 13 : Probabilités sur un univers fini Exercice 1. Soit n ∈ N∗ . On lance n fois une pièce. Pour chaque i ∈ [[1 ; n]], on note Pi l’événement : « on obtient pile au ie`me tirage ». Exprimer en fonction des Pi (i ∈ [[1 ; n]]), les événements suivants : 1. « On obtient pile au 3ème lancer » 2. « On obtient face au 2ème lancer » 3. « On obtient pile aux trois premiers lancers et face au 4ème lancer » 4. « On obtient pile au n lancers » 5. « On obtient le premier face au 7ème lancer » 6. « On obtient au moins un face dans les n lancers » Exercice 2. On compose au hasard un numéro de téléphone de 10 chiffres. Quelle est la probabilité que tous les chiffres soient distincts ? Que le nombre obtenu soit divisible par 2 ? Exercice 3. Le problème des anniversaires. On considère un groupe de n personnes (n ∈ N∗ avec n ≤ 365). Quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour ? Exercice 4. Une urne contient 5 boules blanches et 10 boules noires. 1. On tire au hasard successivement et avec remise 2 boules de l’urne. (a) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche et une boule noire dans cet ordre ? (b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche et une boule noire dans un ordre quelconque ? 2. Mêmes questions dans le cas de tirages sans remise. 3. On tire simultanément 5 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 boules blanches et 3 boules noires ? Exercice 5. On tire trois cartes simultanément d’un jeu de 32 cartes. 1. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un As ? 2. Quelle est la probabilité d’avoir 3 cartes de la même hauteur ? 3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux couleurs différentes ? 4. Quelle est la probabilité d’avoir un roi et deux dames ? 5. Refaire les questions précédentes dans le cas où l’on tire les cartes successivement et sans remise. Exercice 6. 1. On tire, l’une après l’autre, avec remise et au hasard 3 boules d’une urne qui contient 4 boules rouges, 5 blanches et 7 jaunes. Donner la probabilité des évènements suivants : (a) A « obtenir un tirage unicolore » (b) B « obtenir un tirage tricolore » (c) C « obtenir un tirage bicolore » 2. On tire, l’une après l’autre, avec remise et au hasard n boules de cette urne (n ≥ 3). Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge ? 2 boules rouges exactement ? Lycée Jean Calvin, Noyon

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Probabilités sur un univers fini

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Exercice 7. On jette deux fois de suite un dé truqué fonctionnant de la manière suivante : • Le chiffre 6 a deux fois plus de chances d’apparaitre que le chiffre 1. • Le chiffre 1 a deux fois plus de chances d’apparaitre que tous les autres chiffres (sauf 6). Déterminer la probabilité d’obtenir un double 6. Exercice 8. Soit n ∈ N∗ . On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer successivement n fois un dé (équilibré) et à noter les n résultats obtenus (dans l’ordre). 1. Décrire l’univers Ω associé à cette expérience aléatoire. Déterminer le cardinal de Ω. 2. (a) Calculer la probabilité de l’évènement A « on obtient uniquement le nombre 1 » (b) Calculer la probabilité de l’évènement B « on obtient n fois le même nombre » 3. (a) Calculer la probabilité de l’évènement C « on obtient au moins un 6 ». (b) Montrer que cette probabilité est supérieure ou égale à 0.9 si et seulement si n≥

ln(10) ln(6) − ln(5)

Exercice 9. On considère une expérience aléatoire E et Ω son univers des possibles. On note E, F deux évènements de cette expérience. 1. Montrer que P (E ∪ F ) ≤ P (E) + P (F ). 2. Soit G un évènement. Montrer que P (E ∪ F ∪ G) ≤ P (E) + P (F ) + P (G). 3. Écrire cette inégalité pour E, F et G et en déduire que si E, F et G sont équiprobables de probabilité 2 p et si P (E ∩ F ∩ G) = 0 alors p ≤ · 3

Lycée Jean Calvin, Noyon

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