TD 3 Loi de variables aléatoires discrètes

L2 MIASHS 51EE07MT Probabilités & Statistiques

Université Paris Diderot 2016 - 2017

TD 3

Loi de variables aléatoires discrètes

Sauf mention explicite, l’espace probabilisé sous-jacent est noté de façon générique (Ω, A , P). Exercice 1. Soit (A, B,C ) ∈ A 3 un triplet d’événements tels que 5 4 3 3 1 P(A ∩ B) = P(B ∩ C ) = , P(A ∩ C ) = et P(A ∩ B ∩ C ) = . P(A) = , P(B) = P(C ) = 2 12 12 12 12 Déterminer la loi sous P de X = 1 A + 1B + 1C . Exercice 2. Soient (A, B) ∈ A 2 un couple P-indépendant d’événemements tel que P(A) = P(B). Déterminer les lois sous P des variables aléatoires Y = 1 A − 1B et Z = 1 A 1B . Exercice 3. Soit X une variable aléatoire de loi Bin(8, 43 ) sous P. Calculer P({X Ê 4}) et la fonction de répartition de X . Exercice 4. Le nombre X de livres achetés par un client qui entre dans une librairie dépend du hasard et satisfait : P({0 É X É 1}) =

8 , 12

P({1 É X É 2}) =

7 , 12

P({0 É X < 3}) =

10 , 12

P({X = 3}) = P({X Ê 4}).

Calculer P({X = i }) pour i ∈ {0, 1, 2, 3}. Exercice 5. Soient (k, n) ∈ N2 tel que k É n. Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On en tire k simultanément. Si X désigne le numéro minimal obtenu, déterminer sa loi. Exercice 6. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On fait deux tirages indépendants avec remise. Si X représente le plus grand numéro obtenu sur les deux boules tirées, chercher la loi de X sous P. On refait l’expérience, les deux tirages étant maintenant sans replacement. Quelle est la loi de X sous P ? Exercice 7. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ de loi géométrique de paramètre p. Déterminer les lois sous P de U = X 2 , V = X + 3 et Y = inf{X , M}, où M ∈ N∗ . Exercice 8. On dispose de 5 dés distinguables que l’on lance ensemble. Lorsqu’un dé tombe sur un as, on l’élimine. Chercher la probabilité pour qu’à l’instant n ∈ N∗ , tous les dés sont éliminés. Exercice 9. Soient p ∈ ]0, 1[ et r ∈ N∗ . On joue à pile ou face avec une pièce ayant une probabilité p de tomber sur Pile et 1 − p de tomber sur Face. Les tirages sont indépendants. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir r Pile. Déterminer la loi de X sous P, aussi appelée la loi Binomiale négative de paramètre (r, p). Justifier l’adjectif négative. En utilisant une variable aléatoire de loi binomiale de paramètre (n, p), montrer que à ! à ! ∞ s −1 rX −1 n X r s−r p (1 − p) = p i (1 − p)n−i r − 1 i s>n i=0 Exercice 10. Calculer les espérances et les variances des lois classiques suivantes : 1. loi uniforme UN sur N∗N où N ∈ N∗ , 2. loi de Dirac δa en a ∈ Rd 3. loi de Bernoulli bp de paramètre p ∈ ]0, 1[, 4. loi binômiale Bin(n, p) où (n, p) ∈ N × [0, 1], 5. loi multinômiale Mult(n, a) de paramètre n ∈ N et a ∈ [0, 1]m tel que

P

aj = 1 P avec n É 1É j Ém N j

1|eq j Ém m

6. loi hypergéométrique H(n, N) de paramètres n ∈ N et N = (N j )1É j Ém ∈ N 7. loi de Poisson(θ) de paramètre θ ∈ R∗+ 8. loi géométrique G(a) de paramètre a ∈ [0, 1]

9. loi binômiale négative (ou loi de Pascal) de paramètre (n, p) où (n, p) ∈ N × [0, 1] 10. loi de Zipf (ou de Pareto discrète) Zs de paramètre s ∈ ]1, +∞[. Exercice 11. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que : X X EP (X ) = P({X Ê n}) = P({X > n}). n∈N∗

n∈N

Application : calculer l’espérance d’une variable aléatoire de loi géométrique. 1

Exercice 12. Soit p ∈ ]0, 1[. N est muni de la σ-algèbre P (N) et l’on note P la mesure de probabilités sur P (N) telle que P({n}) = (1 − p)p n pour tout n ∈ N. Pour tout n ∈ N on note Q(n) et R(n) respectivement le quotient et le reste dans la division de n par 3. Déterminer les lois sous P des variables aléatoires Q et R. Exercice 13. Soit X une v.a.r. dont la loi sous P est la loi de Poisson de paramètre λ ∈ R∗+ . Déterminer la loi de Z sous P et calculer sa P-moyenne lorsque Z = X ! (resp. Z = (1 + X )−1 ). Exercice 14. Soit n ∈ N∗ . Déterminer la loi sous P d’une variable aléatoire X à valeurs dans N∗n si P({X = i }) est proportionnel à i pour tout i ∈ N∗n . Exercice 15. Un jeu consiste à lancer une pièce jusqu’à obtenir Pile, la probabilité d’obtenir Pile étant notée p ∈ ]0, 1[, et, si k ∈ N∗ désigne le nombre de lancers nécessaires, à lancer ensuite k fois un dé équilibré. La partie est gagnante si exactement un 6 a été obtenu. Calculer la probabilité de gagner à ce jeu. Comment truquer la pièce pour avoir le maximum de chances de gagner ? Indication : on pourra introduire les variables aléatoires X i , Y j , S n et T telles que X i est le résultat du i -ème lancer de pièce à valeurs dans {0, 1}, Y j est le résultat du j -ème lancer de dé à valeurs dans N∗6 , S n est le nombre de 6 obtenus après n lancers du dé et T = inf{n ∈ N∗ | X n = 1}. Exercice 16. Un joueur joue à Pile ou Face contre une banque avec une pièce ayant une probabilité p ∈ ]0, 1[ de tomber sur Pile. La règle du jeu est la suivante : le joueur mise une somme a au départ et tant que la pièce tombe sur Face, il perd et mise de nouveau λ fois la mise précédente ; quand la pièce tombe sur Pile, il gagne λ fois la mise précédente et s’arrête. Quelle est la mise au k e coup ? Quelle est la somme sur le tapis au k e coup ? Calculer l’espérance du gain. Comment choisir les paramètres p et λ pour que le gain moyen soit positif ? Exercice 17. Dans un jeu de Pile ou Face, où les lancers sont supposés indépendants et la pièce possède la probabilité p ∈ ]0, 1[ de tomber sur Pile, on s’intéresse aux deux variables aléatoires suivantes : T1 le nombre de lancers nécessaires pour obtenir une fois Pile et T2 le nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux fois Pile. 1. Quelle est la loi de T1 ? Quelle est celle de T2 ? 2. Calculer P({T1 = k, T2 = h}) et P({T2 = h|T1 = k}) pour tout couple (h, k) ∈ N∗2 . Les variables T1 et T2 sont-elles indépendantes ? 3. Calculer P({T2 − T1 = h} | {T1 = k}) et P({T2 − T1 = h}) pour tout couple (h, k) ∈ N∗2 . Les v.a. T2 − T1 et T1 sont-elles indépendantes ? Exercice 18. Soit r ∈ N∗ . Un trousseau contenant r clés ne comprend qu’une seule clé pouvant ouvrir une porte donnée. Une personne tente d’ouvrir cette porte en essayant tour à tour les diverses clés du trousseau jusqu’à ce qu’elle tombe sur la bonne. On note X le nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de X dans les cas suivants : 1. La personne n’essaie jamais d’ouvrir avec une clé qu’elle a déjà essayée en vain ; 2. La personne n’a pas de mémoire et ne tient jamais compte des essais précédents ; 3. La personne n’a qu’une mémoire limitée et fait chaque essai avec n’importe quelle clé autre que celle qu’elle vient d’essayer immédiatement en vain.

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