TD 4 – Borel-Cantelli, loi des grands nombres et quelques autres 1

Processus aléatoires

ENS Paris, 2013/2014 Bastien Mallein Bureau V2

TD 4 – Borel-Cantelli, loi des grands nombres et quelques autres 27 février 2014

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Quelques rappels sur Borel-Cantelli

Exercice 1 (Série aux différences). Soit P (Xn ) une suite de P variables aléatoires réelles. Montrer que s’il existe une suite (an ) de réels positifs telle que an < +∞ et P(|Xn+1 − Xn | > an ) < +∞, alors la suite (Xn ) converge presque sûrement. Exercice 2 (Limite de Xn /n). Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. Montrer que Xn →0 n

p.s. ⇐⇒ E(|X1 |) < +∞.

Montrer également que si E(|X1 |) = +∞, en posant Sn = X1 + · · · + Xn , lim sup n→+∞

|Sn | = +∞. n

Exercice 3. Soit (Xn ) une suite i.i.d. de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites, on pose Sn = X1 + · · · + Xn . 2 √1 e−a /2 . a 2π   1 que E {XX12≥a}

1. Montrer que P(X1 ≥ a) ∼a→+∞

Indication : On pourra utiliser = o(P(X1 ≥ a)). √ √ 2. Déterminer la loi de Sn / n. En déduire que si (an ) est une suite de réels positifs telle que an / n → +∞, √ alors Sn /an → 0 en probabilité. Peut-on conclure pour la convergence p.s. ? Montrer que pour an = n log n la convergence a lieu presque sûrement. 3. Montrer que lim sup √ n→+∞

2

Xn |Xn | = lim sup √ =1 2 log n 2 log n n→+∞

p.s.

Quelques identités en loi

Exercice 4 (Une loi des grands nombres ?). On rappelle qu’une loi de Cauchy a pour densité rapport à la mesure de Lebesgue. 1. Soit U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [− π2 , π2 ]. Calculer la loi de tan U . 2. Que vaut E(tan U ) ? 1

1 π(1+x2 )

par

3. Soit Y une variable aléatoire réelle dont la loi est 12 e−|y| dy. Calculer la fonction caractéristique de la loi de Y définie par   ΨY ξ 7→ E eiξY . 4. Soit X, X 0 deux variables aléatoires réelles indépendantes de loi de Cauchy et λ, µ ∈ R. Calculer la densité de la loi de λX + µX 0 , et celle de XX 0 . 5. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de loi de Cauchy. Calculer la limite (en loi), quand n → +∞, de X1 + X2 + · · · + Xn . n Exercice 5 (Loi des records). Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et positives de même fonction de répartition F supposée continue. On pose N = inf{n ∈ N : Xn > X0 } et Y = XN . 1. Calculer la loi de N et son espérance. 2. Calculer la loi jointe de (Y, N ), en déduire la fonction de répartition de Y et celle de F (Y ).

3

Variations sur la loi des grands nombres

Exercice 6 (Somme de variables aléatoires pas indépendantes). Soit (λn , n ≥ 1) une suite strictement croissante d’entiers, U une variable aléatoire de loi uniforme, et Xn = cos(2πλn U ). On pose Sn = X1 +· · ·+Xn . 1. Montrer que P( Snn > ) ≤ C n−1 puis que Sn2 /n2 → 0 p.s. S 2. Montrer que maxn2 ≤m