TD 6. Indépendance de variables aléatoires

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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École des Mines de Nancy Denis Villemonais, [email protected]

Année 2015-2016

FICM 1A – Probabilités TD 6. Indépendance de variables aléatoires

Exercice 1. (*) Soient A1 , A2 , . . . , An des événements d’un espace de probabilités (Ω, F, P) et X1 , . . . , Xn les variables aléatoires à valeurs dans {0, 1}, définies par ( 1 si ω ∈ Ai Xi (ω) = 1Ai (ω) = 0 sinon. Montrer que les événements A1 , . . . , An sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires X1 , . . . , Xn sont indépendantes.

Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires exponentielles indépendantes de paramètres respectifs λX > 0 et λY > 0. 1. Donner la loi du couple (X, Y ). 2. Donner la loi de T = inf(X, Y ).

Exercice 3. Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Xi est de loi gaussienne de moyenne mi ∈ R et de variance σi2 ≥ 0. Montrer que, pour toute famille a1 , . . . , an ∈ R, la variable aléatoire Y = a1 X 1 + · · · + an X n est une variable aléatoire gaussienne, dont on donnera la moyenne et la variance.

Exercice 4. Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de loi absolument continue dont la densité f est donnée sur R2 par √   3 1 2 2 exp − (4x + 2xy + y ) , ∀(x, y) ∈ R2 . f (x, y) = 2π 2 1. Déterminer la loi de X et celle de Y . Aide : On se souviendra avec profit que, pour tout m ∈ R et tout σ > 0, (x−m)2 1 √ e− 2σ2 , 2πσ

est la densité d’une variable d’une loi gaussienne N (m, σ). 1

2. Les variables aléatoires réelles X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 5. Soient X et Y deux v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. On pose U = inf(X, Y ) et V = sup(X, Y ). 1. Calculer la loi de X + Y . 2. (a) Calculer la fonction de répartition de V et en déduire que cette v.a. admet une densité que l’on explicitera. (b) Même question pour la variable U . 3. Montrer que T = U/V suit une loi uniforme sur [0, 1]. Aide : On pourra montrer que, pour tout t ∈]0, 1[, P({U ≤ tV } ∩ {X ≤ Y }) = P(X ≤ tY ).

Exercice 6. Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, de fonction caractéristique ϕ. Soit Y une variable aléatoire réelle de loi P(λ), où λ > 0. Nous supposons que les variables aléatoires Y et Xn , n ∈ N, sont mutuellement indépendantes. Posons Z=

Y X

Xn ,

n=1

avec la convention

P0

n=1

Xn = 0 (on admettra que Z est mesurable).

1. Déterminer la fonction caractéristique de Z. 2. Supposons que, pour tout n ≥ 0, Xn admet des moments de tout ordre (c’est-à-dire que X p est intégrable pour tout p ∈ N). (a) Soit p ∈ N. Est-ce que Z admet un moment d’ordre p ? (b) Déterminer, si elle existe, la variance de Z, c’est-à-dire Var(Z) = E(Z 2 ) − E(Z)2 . Exercice 7. (*) Soit (Yn )n∈N une suite de variables aléatoires à valeurs dans N, indépendantes et de même loi. 1. Montrer que ∞ X

P(Yn ≥ n) = E(Y0 ) + 1.

n=0

2. En déduire que la suite (Yn /n)n∈N est bornée par 1 à partir d’un certain rang avec probabilité 1 si et seulement si E(Y0 ) < ∞. Aide : on pourra définir les événements An = {Yn /n ≥ 1}, ∀n ∈ N. 3. Soit c > 0. Montrer que la suite (Yn /n)n∈N est bornée par c à partir d’un certain rang avec probabilité 1 si et seulement si E(Y0 ) < ∞. Aide : on pourra s’intéreeser à la suite de variables aléatoire indépendantes et de même loi (bYn /c + 1c/n)n∈N . 4. Montrer que la suite (Yn /n)n∈N tend vers 0 presque sûrement si et seulement si elle est bornée à partir d’un certain rang avec probabilité 1. 2

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