TD 8 : Modes de convergence - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie UE LM345 – Probabilités élémentaires

Licence de Mathématiques L3 Année 2014–15

TD 8 : Modes de convergence 1. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Déterminer pour chacune des convergences suivantes à quelle condition sur la suite (An )n≥1 elle a lieu. a. La suite (1An )n≥1 converge en probabilité vers 0. b. La suite (1An )n≥1 converge dans L2 vers 0. c. La suite (1An )n≥1 converge presque sûrement vers 0. 2. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn )n≥1 prend une infinité de fois la valeur 1 et une infinité de fois la valeur 0. 3. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n ≥ 1 on ait 1 1 P(Xn = −1) = 1 − 2 et P(Xn = n2 − 1) = 2 . n n a. Montrer que la suite (Xn )n≥1 converge vers −1 en probabilité. b. Montrer que la suite (Xn )n≥1 converge presque sûrement vers −1. Cette convergence a-t-elle lieu dans L1 ? 4. Soit (θn )n≥1 une suite de réels strictement positifs telle que limn→+∞ θn = +∞. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n ≥ 1, Xn suive la loi exponentielle de paramètre θn . a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn )n≥1 . Quelle hypothèse n’a-t-on pas utilisée ? b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1 . c. Étudier, dans le cas où θn = n puis dans le cas où θn = log n, la convergence presque sûre de la suite (Xn )n≥1 . 5. Soit (an )n≥1 une suite de réels. Soit c un réel. a. Montrer que lim sup an > c si et seulement s’il existe un réel c0 > c tel qu’on ait an > c0 pour une infinité de n. b. Montrer que lim sup an < c si et seulement s’il existe un réel c0 < c tel que an < c0 pour n assez grand. 1

6. Soit (Xn )n≥1  une suite de variables  aléatoires de loi exponentielle E(1). Xn > 1 = 0. a.Montrer que P lim sup log n On suppose désormais  X1 , X2 , . . . indépendantes.  Xn b. Montrer que P lim sup < 1 = 0. Montrer que ce résultat peut être faux log n sans l’hypothèse d’indépendance. Xn c. Montrer que lim sup log est presque sûrement égale à une constante que l’on détern minera. d. Montrer que lim inf Xn est presque sûrement égale à 0. 7. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et toutes de carré intégrable. a. Montrer que pour tout n ≥ 1 et tout a ∈ R, on a E[(Xn − a)2 ] = (E[Xn ] − a)2 + Var(Xn ). b. En déduire que la suite (Xn )n≥1 converge en moyenne quadratique vers une constante a si et seulement si on a les convergences lim E[Xn ] = a et lim Var(Xn ) = 0.

n→∞

n→∞

8. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Soient X, X1 , X2 , . . . : (Ω, F , P) → R des variables aléatoires réelles. On suppose que la suite (Xn )n≥1 converge en probabilité vers X. a. Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers 1 ≤ n1 < n2 < . . . telle que pour tout k ≥ 1 on ait   1 1 P |Xnk − X| > ≤ k. k 2 b. Pour tout k ≥ 1, on pose Yk = Xnk (on dit que la suite (Yk )k≥1 est extraite de la suite (Xn )n≥1 ). Montrer que la suite (Yk )k≥1 converge presque sûrement vers X. On a montré que d’une convergence en probabilité on pouvait extraire une convergence presque sûre.

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