TD - cepharm

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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UO/UFR-SDS/PCM1/PH1

Année académique 2012-2013

Travaux Dirigés Prof : M. GAMA Exercice 1 : On choisit deux boules au hasard dans une urne contenant 8 blanches, 4 noires et 2 oranges. Supposons que l'on reçoive 2 euros pour chaque boule noire tirée et que l'on perde 1 euro pour chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par X. Quelles sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associées à ces valeurs ? Quelle est l'espérance de X ? Exercice 2 : On lance un dé équilibré. Soit X le résultat obtenu. 1. Quelle est la loi de X ? Quelle est la fonction de répartition de X ? 2. Calculez l'espérance et la variance de X. 3. Quelle est la loi de X + 2 ? Même question pour𝑋 2 . 4. Calculez l'espérance et la variance des variables aléatoires du point précédent. Interprétez ces résultats Exercice 3 : Soit X une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l'ensemble {-4 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 10} et dont la distribution est donnée par : X -4 2 3 4 6 7 10 P(X=x) 0,1 0,2 0,2 0,1 0,05 0,2 K 1. Calculez K. 2. Représentez graphiquement la loi de X. 3. Calculez la probabilité de chacun des événements suivants : X > 3, X ≥3, X > 9, X ≥9, 3 ≤X ≤7, 3 < X < 9, X + 2 > 3, 𝑋 2 > 4. 4. Représentez graphiquement la loi de X + 2. Exercice 4 Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité est :

1. Quelle est la valeur de c ? 2. Quelle est la fonction de répartition de X ?

1

Exercice 5 Dans le cadre du test d’un vaccin pour une infection, on fait plusieurs expériences pour mesurer l’efficacité du vaccin : – on teste le vaccin sur 10 animaux et aucun n’est malade ; – on teste le vaccin sur 17 animaux et un seul est malade ; – on teste le vaccin sur 23 animaux et deux seulement sont malades. On sait que l’infection touche 25% du bétail lorsque les bêtes ne sont pas vaccinées. 1. Soit X la variable aléatoire discrète comptant le nombre de bêtes malades parmi n si elles ne sont pas vaccinées. Quelle est la loi suivie par X ? Calculer les probabilités P(X = 0) pour l’expérience n° 1, P(X≤1) pour la n° 2 et P(X ≤2) pour la n°3. 2. Parmi les trois expériences précédentes, quelle est la plus concluante pour prouver l’efficacité du vaccin ? Exercice 6 Durant la seconde guerre mondiale, le sud de Londres a été bombardé continuellement pour un total de 537 impacts de bombes. On divise cette partie de Londres en 576 zones de 25 hectares chacune et on note N la variable aléatoire telle que N = k est l’événement « une zone a été touchée par k impacts ». On suppose que N suit une loi de Poisson. 1. Quel est le paramètre de la loi de Poisson ? 2. Calculer le nombre de zones ayant reçu 1, 2, 3, 4 et plus de 5 impacts. Les bombardements étaient-ils ciblés sur des zones spécifiques ou étaient-ils faits à l’aveugle ? 3. Les données réelles sont reproduites dans le tableau suivant. Y a-t-il concordance avec les résultats précédents ? Nombre d’impacts Nombre de zones

0 229

1 211

2 93

3 35

4 7

≥5 1

Exercice 7 On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque bombonne tirée au hasard dans la production, associe sa contenance en𝑑𝑚3 . On admet que X suit une loi normale N(44 ;0,2) de moyenne m=44𝑑𝑚3 et d’écart-type σ=0,2𝑑𝑚3 . 1. Quelle est la probabilité que la contenance d’une bombonne choisie au hasard soit inferieure à 44,3𝑑𝑚3 ? 2. Quelle est la probabilité que la contenance d’une bombonne choisie au hasard soit comprise entre 43,8𝑑𝑚3 et 44,3𝑑𝑚3 ? On admet que 5% des bombonnes n’ont pas la contenance nécessaire, et sont donc jugées non conformes. Les grossistes achètent les bombonnes par lot de 10. 2

La production est suffisamment importante pour l’on assimile le prélèvement au hasard de 10 bombonnes à un tirage avec remise. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 10 bombonnes associe le nombre de bombonnes non conformes. 3. Quelle loi suit la variable aléatoire Y ? Expliquer. 4. Quelle est la probabilité que dans un lot de 10, il n’y ait aucune bombonne non conforme ? 5. Quelle est la probabilité que dans un lot de 10, il y ait au plus deux bombonnes non conformes ? Une association de consommateurs achète 10 lots (100 bombonnes) pour contrôler leur contenance. Elle affirme qu’il y a une forte chance que parmi ces 100 bombonnes, il y ait au moins 5 bombonnes non conformes. Soit Y’ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 bombonnes prélevées au hasard dans la production, on associe le nombre de bombonnes non conformes. On admet que Y’ suit B(100 ;0,05). 6. Déterminer l’espérance mathématique et l’écart type de la variable aléatoire Y’. 7. La loi de probabilité de Y’ peut être approchée par une loi de poisson de paramètre λ. On notera Z la variable aléatoire suivant cette loi de poisson. Déterminer λ. 8. Calculer à l’aide de la loi de poisson la probabilité P(Z≤4). Exercice 8 1. Calculez l'espérance et la variance des variables aléatoires suivant une loi de Poisson de paramètre λ. On admettra que : et 2.

Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes de loi P (𝜆1 ) et P (𝜆2 ) respectivement. Quelle sera la loi de X+Y ?

3

Correction TD Exercice 1 :

Exercice 2 :

4

Exercice 3

5

Exercice 4

Exercice 5

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Exercice 6

7

Exercice 8

8

9

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