M1 BIBS Mise à niveau en Mathématiques Année universitaire 2016-2017
TD n◦ 2 : Espérance, variance et quantiles. Exercice n◦ 1 : Une loi non-usuelle Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f donnée par :
f (x ) =
3 2 8 (1 − x ) 3 2 8 (1 − (x − 2) )
0
si x ∈ [−1, 1] , si x ∈ ]1, 3] , sinon
(a) Tracer la courbe représentative de f . (b) Calculer la fonction de distribution FX de X . Exercice n◦ 2 : Loi bêta B(2, 2) La densité de la loi bêta B(2, 2) est définie par f (x ) := 6x (1 − x )10≤x ≤1 . Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi bêta B(2, 2).
(a) Calculer la fonction de répartion de X . (b) Calculer l’espérance de X et la variance de X . (c) Calculer P(0.25 ≤ X < 0.75) et tracer l’aire représentant cette probabilité sur un graphique de la fonction de densité.
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Mise à niveau en Mathématiques
TD
Exercice n◦ 3 : Une loi non-usuelle II Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f donnée par : 1 − 2|x | f (x ) = 1 − 2|x − 1| 0
si x ∈ [−0.5, 0.5] , si x ∈ ]0.5, 1.5] , sinon
(a) Tracer la courbe représentative de f . (b) Calculer la fonction de distribution FX de X . (c) Calculer l’espérance E(X ) et l’écart-type σX de X . Exercice n◦ 4 : Loi Exponentielle Rappel : X v.a. continue suit la loi exponentielle de paramètre 1/µ si sa densité de probabilité est définie par : 1 x si x ≥ 0 µ exp − µ f (x ) = 0 sinon. On prendra µ = 2 dans cet exercice. (a) Calculer P(1 < X ≤ 2). (b) Calculer à la main l’espérance de X . (c) Quelle est la loi de 2X + 3 ? (d) Calculer la médiane de X . Exercice n◦ 5 : Moyenne et médiane Soit X une variable aléatoire réelle telle que E[X 2 ] < ∞. On dit que m est une médiane pour X ssi
P(X > m ) ≤
1 ≤ P(X ≥ m ) . 2
(a) Pour x1 < . . . < xn , déterminer les médianes de la loi uniforme sur l’ensemble {x1 , . . . , xn }. (b) Montrer que E[(X − a )2 ] ≥ Var(X ) pour tout a ∈ R. Exercice n◦ 6 : Loi Normale Soit X une variable aléatoire de loi gaussienne N (2, 9). (a) Sous R, calculer P(X ≥ −1, 3). (b) Recalculer cette quantité en cherchant dans les tables. (c) Sous R, trouver la valeur de t telle que P(|X − 2| ≤ t ) = 95%. Exercice n◦ 7 : Loi de Bernoulli (a) Calculer l’espérance et la variance de X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p . (b) En se souvenant que la loi binomiale B(n , p ) est la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre p , calculer l’espérance et la variance de Y suivant une loi binomiale B(n , p ).
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