TD no 4 : Probabilités conditionnelles I

Université de Caen

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TD no 4 : Probabilités conditionnelles I Exercice 1. Deux ateliers d’une même entreprise, notés A et B, produisent chaque jour respectivement 1000 et 800 pièces d’un même modèle. On sait que • 2% des pièces produites par l’atelier A sont défectueuses, • 3% des pièces produites par l’atelier B sont défectueuses. 1. Compléter le tableau suivant : Nombre de pièces défectueuses

Nombre de pièces non défectueuses

Somme

Nombre de pièces produites par A Nombre de pièces produites par B Somme

2. Un jour donné, on choisit au hasard une pièce parmi les 1800. On considère les événements A = "la pièce choisie provient de l’atelier A", B = "la pièce choisie provient de l’atelier B" et D = "la pièce choisie est défectueuse". Déterminer, à l’aide du tableau de la question 1-, les probabilités suivantes : P(A),

P(D),

P(A ∩ D),

PD (A),

P(D),

P(B ∩ D),

PD (B).

Exercice 2. Une urne contient 15 boules dont 6 blanches et 9 rouges. On tire au hasard et sans remise une boule de l’urne. Si la boule est blanche, on ajoute 5 boules blanches dans l’urne, sinon on ajoute 20 boules rouges. Puis on tire de nouveau une boule. Pour tout i ∈ {1, 2}, on considère l’événement Bi = "tirer une boule blanche au i-ème tirage". 1. Que représentent P(B1 ) et PB1 (B2 ) ? Donner, sans calcul, leurs valeurs. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches ? Exercice 3. On lance 3 dés cubiques équilibrés. On s’intéresse aux numéros affichés. 1. Calculer la probabilité que les 3 numéros soient différents. 2. Calculer la probabilité que les 3 numéros soient différents et que le numéro 6 ne soit pas affiché. 3. Sachant que l’on a obtenu 3 numéros différents, calculer la probabilité que le numéro 6 ne soit pas affiché. C. Chesneau

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Exercice 4. On dispose de 2 pièces de monnaie équilibrées. L’une est honnête, l’autre a 2 Piles. On choisit au hasard une pièce et on la lance 3 fois. Calculer la probabilité d’obtenir 3 Piles. Exercice 5. Une usine est dotée d’un système d’alarme qui se déclenche en principe lorsqu’un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver que le système soit mis en défaut. En effet, la probabilité que l’alarme se déclenche sans incident est 0, 02, la probabilité qu’il y ait un incident sans que l’alarme se déclenche est 0, 002 et la probabilité qu’il se produise un incident est 0, 01. 1. Calculer la probabilité qu’un incident survienne et que l’alarme se déclenche. En déduire la probabilité que l’alarme se déclenche. 2. Quelle est la probabilité que le système d’alarme soit mis en défaut ? 3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu’il y ait réellement un incident ? Exercice 6. Soit n ∈ N∗ . 1. Une urne contient 2n boules dont n + 1 vertes et n − 1 rouges. On tire au hasard une boule de l’urne. Si elle est rouge, on perd. Si elle est verte, on gagne. Calculer la probabilité p1 de gagner et la probabilité p2 de perdre. 2. Une urne contient 2n + 2 boules dont n + 1 vertes, n − 1 rouges et 2 oranges. On tire au hasard une boule de l’urne. Si elle est rouge, on perd. Si elle est verte, on gagne. Si elle est orange, on fait un autre tirage sans remettre cette boule dans l’urne. On considère les événements : • pour tout i ∈ {1, 2, 3}, Vi = "on obtient une boule verte au i-ème tirage", • pour tout i ∈ {1, 2}, Oi = "on obtient une boule orange au i-ème tirage". (a) Calculer P(O1 ), PO1 (O2 ) et P(O1 ∩ O2 ). (b) Calculer P(V1 ), PO1 (V2 ) et PO1 ∩O2 (V3 ). (c) Exprimer l’événement A = "on gagne" en fonction de V1 , V2 , V3 , O1 et O2 . (d) Calculer la probabilité p∗1 de gagner et la probabilité p∗2 de perdre. (e) Comparer p∗1 et p∗2 avec p1 et p2 de la question 1-. Exercice 7. Sur une machine, deux types de pannes sont possibles : la panne d’origine mécanique et la panne d’origine électronique. Un jour donné, la probabilité qu’une panne mécanique survienne est 0, 005 et la probabilité qu’une panne électronique survienne est 0, 003. D’autre part, la probabilité qu’une panne mécanique apparaisse sachant qu’une panne électronique a déjà eu lieu est 0, 02. 1. Calculer la probabilité que la machine ait les deux types de panne un jour donné. 2. Calculer la probabilité que la machine n’ait aucune panne un jour donné.

C. Chesneau

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