TD1 : Estimation ponctuelle
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Université de Kairouan
Année Universitaire 2014/2015
ISMAI
M1 : Ingénierie Financière
Enseignant : Med Essaied Hamrita
Statistiques paramétriques & non paramétriques
TD1 : Estimation ponctuelle
Exercice 1 : On considère un n−échantillon de loi normale de paramètres (µ, σ2 ). 1 On note X = ( X 1 + . . . + X n ) et Y = X (1 − X ). n Y est-il un estimateur sans bias de θ = µ(1 − µ) ? Exercice 2 : Les éléments d’une population possèdent un caractère X qui suit une loi de densité
2 2 f θ ( x) = p 3/2 x2 e− x /θ πθ
où θ > 0. Une suite de n expériences indépendantes a donné les valeurs x1 , x2 , . . . , xn . 1) Déterminer un estimateur θb du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance. 2) Cet estimateur est-il sans bias ? Convergent ? Efficace ? Exercice 3 : On considère un n−échantillon de loi définie par : p 2 θ f θ ( x) = p e−θ x /2 , θ > 0 2π
1) Déterminer un estimateur θb du paramètre θ par la méthode du maximum de vraisemblance. 2) Calculer la moyenne et la variance de θb. Déduisez-en un estimateur θb1 de θ non biaisé. Quelle est la variance de θb1 ? Est-il convergent ?
Exercice 4 : On considère une v.a dont la loi dépend de deux paramètres p 1 et p 2 de la manière suivante : P( X = 0) = 1 − p 1 − p 2 , P( X = 1) = p 1 , P( X = 2) = p 2 .
1) Indiquer les conditions que doivent vérifier p 1 et p 2 pour que le support de la probabilité précédente soit égal à {0, 1, 2}. Calculer E ( X ), E ( X 2 ) et V ( X ). 2) Soit X 1 , X 2 , . . . , X n un n−échantillon iid comme X. Déterminer les estimateurs pb1 et pb2 de p 1 et p 2 par la méthode des moments. Montrer que ces estimateurs sont sans biais et convergents.
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Exercice 5 : Soit X 1 , . . . , X n un n−échantillon d’une v.a. X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [0, θ ], où θ est un paramètre positif inconnu. 1) On demande de déterminer un estimateur sans biais de θ construit a partir de l’emv (on le note par θb) et de comparer sa variance à la quantité 1/ I n (θ ). 2) Montrer que θe = 2 X est un estimateur sans biais de θ . 3) Montrer que θb est plus efficace que θe. Exercice 6 : On considère un n−échantillon d’une v.a suivant la loi suivante (−1 < θ < 1) :
P( x, θ ) =
(1 − θ )/4
1/4, (1 + θ )/4,
si x = 1 si x = 2, 3 si x = 4
1) Déterminer E ( X ) et V ( X ). 2) Déterminer un estimateur de θ par la méthode des moments. Cet estimateur est-il sans biais ? Convergent ? Exercice 7 : Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F ( x) et de densité de probabilité définie par : ´ ³ kx2 exp − x , θ f ( x, θ ) = 0, Z
On rappelle que : 0
∞
x n−1 exp(−α x) dx =
x > 0, θ > 0. sinon
( n − 1)! . αn
1) Quelle doit être la valeur de k pour que f ( x, θ ) soit une densité de probabilité de la variable aléatoire X ? 2) Déterminer E ( X ) et V ( X ). 3) Soit ( X 1 , . . . , X n ) un n−échantillon iid comme la loi de X . Déterminer θb, l’estimateur de θ par la méthode de maximum de vraisemblance. 4) Cet estimateur est-il sans biais ? est-il convergent ? est-il efficace ? Exercice 8 : Soit X une v.a. qui suit une loi normale d’espérance θ et de variance θ (1 − θ ) où θ est un paramètre inconnu tel que 0 < θ < 1. À partir d’un n−échantillon X 1 , . . . , X n de cette loi, on construit les estimateurs : θb = X =
n n 1X 1X X i , θe = X 2 = X2 n i=1 n i=1 i
Indiquer l’estimateur que l’on doit choisir.
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