TD2. Probabilités, Indépendance.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) UE LM231 – Probabilités-Statistiques

Licence de Mathématiques L2 Année 2012–13

TD2. Probabilités, Indépendance. i

Exercice 1. a) On lance une pièce (non truquée) 5 fois de suite. Quel espace probabilisé (Ω, P) décrit cette expérience aléatoire ? Quel est le cardinal de l’ensemble Ω des événements possibles ? Quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat 2 fois de suite au cours de cette série de lancers ? b) Refaire l’exercice en supposant que la pièce est truquée : "Face" arrive avec probabilité p. Exercice 2. Une urne U1 contient 3 boules noires et 2 boules blanches. Une seconde urne U2 contient 2 boules noires et 3 boules blanches. On tire simultanément et sans remise 2 boules de U1 et 1 boule de U2. Quelle est la probabilité de tirer : a) aucune boule blanche b) 1 boule blanche c) 2 boules blanches d) 3 boules blanches

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Exercice 3. Dans un jeu de 52 cartes on a remplacé l’as de coeur par un second as de pique. Une personne tire sans remise 4 cartes dans le paquet ainsi constitué. a) Proposer un espace probabilisé pour décrire cette expérience aléatoire. b) Calculer la probabilité que la personne s’aperçoive de la supercherie. Exercice 4. Soit n un entier naturel non nul. En considérant un groupe de n personnes et en supposant que chaque année comporte 365 jours et que les jours de naissances sont tous équiprobables, on veut calculer la probabilité que deux personnes aient la même date d’anniversaire. a) Proposer un espace probabilisé pour décrire cette expérience aléatoire. b) Calculer la probabilité que deux personnes au moins soient nées le même jour. c) Montrer que si n ≥ 23, cette probabilité est supérieure à 1/2.

Indépendance i

Exercice 5. La duchesse d’Aquitaine et la duchesse de Bourgogne attendent chacune l’héritier de leur duché. On considère les 3 événements suivants : A "l’héritier d’Aquitaine est un garçon" B "l’héritier de Bourgogne est un garçon" C "les duchés vont pouvoir faire alliance en mariant les enfants attendus" a) On suppose tout d’abord que le fait d’avoir un garçon ou une fille est équiprobable. Montrer alors que A, B et C sont deux à deux indépendants mais non indépendants dans leur ensemble. b) Les événements A et C sont-ils toujours indépendants si la probabilité d’avoir un garçon vaut p ∈ [0, 1] ? Exercice 6. Une classe comporte 4 garçons et 6 filles de première année, 6 garçons et n filles de deuxième année. Pour quelle valeur de n, les évènements "être une fille" et "être en première année" sont-ils indépendants ?

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Probabilités conditionnelles Exercice 7. On lance deux dés. Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 sachant que les deux résultats sont différents ? Exercice 8. On considère un oral de concours qui se déroule de la façon suivante : n étudiants ont le choix entre n sujets différents possibles. Le premier étudiant se présente et choisit un sujet ; ensuite le second choisit au hasard parmi les n − 1 sujets restants. On poursuit la distribution des sujets jusqu’au dernier étudiant qui ne peut prendre que le dernier sujet disponible. Vous avez fait l’impasse sur un des sujets. A quelle position devez-vous passer pour avoir un maximum de chances de réussir (c’est-à-dire de ne pas tomber sur le sujet que vous ne connaissez pas) ? i

Exercice 9. Trois usines pharmaceutiques A, B, et C produisent respectivement 40%, 35% et 25% du nombre total de comprimés achetés par un grossiste. Chacune de ces usines produit respectivement 5, 6, et 3% de comprimés défectueux. Le qualiticien de l’entreprise reçoit une nouvelle livraison. a) Déterminer les probabilités des différentes possibilités suivantes : provenir de A et être défectueux, provenir de A et être conforme, provenir de B et être défectueux, provenir de B et être conforme, provenir de C et être défectueux, provenir de C et être conforme. b) Dans cette livraison, on prend un comprimé au hasard. Quelle est la probabilité p1 pour qu’il soit défectueux ? Quelle est la probabilité p2 pour qu’il soit conforme ? c) Dans cette livraison, on prend un comprimé au hasard, on constate qu’il est défectueux. Quelle est la probabilité qu’il ait été fabriqué dans l’usine A ?

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