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Probabilités élémentaires – HLMA 311

TD n˚4 : Vecteurs aléatoires discrets Exercice 1. (*) Montrer que la convolution de deux lois binomiales B(n1 , p) et B(n2 , p) est une loi binomiale B(n1 + n2 , p). En déduire la loi de Y = X1 + · · · + Xm si les Xi sont des variables indépendantes suivant respectivement les lois binomiales B(n1 , p), · · · , B(nm , p). Exercice 2. (*) Montrer que la convolution de deux lois de Poisson P(λ1 ) et P(λ2 ) est une loi de Poisson P(λ1 +λ2 ). En déduire la loi de Y = X1 +· · ·+Xm si les Xi sont des variables indépendantes suivant respectivement les lois de Poisson P(λ1 ), · · · , P(λm ). Exercice 3. Loi binomiale négative (***) Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. Pour tout n ∈ N∗ , on définit la variable aléatoire Sn par : Sn =

n X

Xi .

i=1

1. Calculer la loi de la variable aléatoire S2 . 2. Calculer par récurrence la loi de la variable aléatoire Sn . On admettra que

Pk−1 i=n

n−1 n . Ci−1 = Ck−1

3. Cette loi de probabilité est appelée loi binomiale négative de paramètres n et p : on note Sn ∼ B − (n, p). Donner sa fonction génératrice. 4. En déduire sa moyenne. Exercice 4. (**) Soit X1 , · · · , Xn des variables aléatoires indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ et S = X1 + · · · + Xn leur somme. Pour s ∈ {0, · · · , n}, donner la loi conditionnelle de X1 sachant S = s et calculer E(X1 |S). Exercice 5. (**) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p. 1. Le calcul des probabilités suivantes est intéressant, par exemple, pour comparer les temps de succès de deux joueurs jouant simultanément et dans les mêmes conditions. a) Calculer P(Y ≥ X). Etudier le cas particulier où p = 1/2. b) Calculer P(Y = X). Etudier le cas particulier où p = 1/2. c) Démontrer que P(Y > X) = P(X > Y ) et retrouver ainsi la probabilité P(Y ≥ X). 2. On définit les variables U et V par : U = max(X, Y ) et V = min(X, Y ). a) Calculer, pour tout (u, v) ∈ N∗2 , la probabilité P(U ≤ u, V ≥ v). b) En déduire les lois des variables U et V . Identifier la loi de la variable V . Exercice 6. (**) Soit q et r deux réels strictement compris entre 0 et 1. On considère deux variables aléatoires indépendantes U et V suivant des lois géométriques de paramètres respectifs 1 − q et 1 − r. 1. Le calcul des probabilités suivantes est intéressant, par exemple, pour comparer les temps de succès de deux joueurs jouant simultanément dans des conditions qui peuvent être différentes. a) Calculer P(U < V ). b) Que vaut cette probabilité dans le cas où q = r, puis dans le cas où q = r = 1/2 ? 2. Calculer, pour tout k ∈ N∗ , la probabilité conditionnelle P(U = k|U < V ). Identifier la loi conditionnelle de U sachant que U < V . Exercice 7. (***) Est-il possible de piper deux dés à 6 faces indépendants de façon à ce que leur somme soit uniformément répartie sur {2, · · · , 12} ? Indication : on pourra commencer par montrer que si cela est possible, alors la fonction génératrice associée au résultat de chacun des dés admet au moins deux racines réelles.

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Exercice 8. (***) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. On définit les variables aléatoires suivantes : T = min(X, Y ),

Z = |X − Y | et G =

Z . T

1. Il s’agit d’étudier la loi d’un minimum de variables aléatoires. a) Calculer, pour tout x ∈ N∗ , la probabilité P(X ≥ x). b) Calculer, pour tout t ∈ N∗ , la probabilité P(T ≥ t) et identifier la loi de T . 2. On fait des calculs de moyennes et on fait l’étude de la loi du couple (T, Z). a) Calculer la moyenne E(1/X). b) Calculer, pour tout (t, z) ∈ N∗ × N, la probabilité P(T ≥ t, Z = z) en étudiant séparément le cas z = 0. c) En déduire la loi de Z. 3. Démontrer alors que les variables T et Z sont indépendantes. 4. Que vaut la moyenne E(G) ? Exercice 9. (*) Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans Z et admettant un moment d’ordre deux. On suppose U centrée. On définit les deux variables aléatoires discrètes : X = (−1)V U et Y = V. 1. Calculer E(X) puis E(XY ) et cov(X, Y ). Les variables X 2 et Y 2 sont-elles indépendantes ? 2. Dans cette question, on suppose que la loi de U est donnée par P(U = −2) =

1 2 et P(U = 1) = 3 3

et celle de V par P(V = 1) =

1 1 et P(V = 2) = . 2 2

a) Calculer E(X 3 ) et E(U 3 ). h i b) Calculer E 11{V =1} X 3 . c) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 10. (**) Pour fidéliser ses clients, une marque de chocolat place dans chaque tablette une pièce d’un puzzle. Le puzzle est composé de n morceaux distincts. Le morceau qui se trouve dans une tablette est supposé suivre une loi uniforme sur les n morceaux possibles. Le client est supposé acheter les différentes tablettes au hasard. On s’intéresse au nombre N d’achats à réaliser pour obtenir l’ensemble des morceaux du puzzle. La première pièce ayant été découverte dans la première tablette (N1 = 1), on note N2 le nombre d’achats supplémentaires nécessaires à l’obtention d’une seconde pièce, puis N3 le nombre d’achats supplémentaires nécessaires à l’obtention d’une troisième, et ainsi de suite. 1. Exprimer N en fonction de N1 , N2 , · · · , Nn . 2. On note Xi le numéro de la ième pièce de puzzle obtenue. Pour m ≥ 1, montrer que {N2 = m} =

n [

{X1 = i, · · · , Xm = i, Xm+1 6= i}.

i=1

3. Par hypothèse, les Xi sont des variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur {1, · · · , n}. En déduire la loi de N2 . 4. Justifier intuitivement que les Ni sont des variables de loi géométrique et donner leurs paramètres. 5. En déduire l’espérance de N .

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