TD9. Variables aléatoires

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges Licence MISM, 6

e

2006-07 Mesure, intégration, probabilités

semestre

TD9. Variables aléatoires

Exercice 1 On se place dans (R2 , BR2 ) ; on considère le carré C = [−1, 1] × [−1, 1] et les applications X(x, y) = x, S(x, y) = x + y . (a) Déterminer a pour que p = aλ|C , où λ désigne la mesure de Lebesgue de R2 , soit une probabilité sur (R2 , BR2 ). Vérier que X et S sont mesurables (R étant muni de la tribu BR ). (b) Calculer pX ( ] − ∞, t[ ) = p(X < t) pour tout t ∈ R. Tracer le graphe de la fonction de répartition FpX de la variable aléatoire réelle X . Quelle est la loi de X ? (c) Faire de même pour la variable aléatoire réelle S . A-t-elle la même loi que X ? (d) Montrer que FpS est dérivable sur R, en déduire la densité de S (c'est-à-dire de pS ) par rapport à λR , la mesure de Lebesgue sur R. (e) Calculer les espérances de X et de S . Que vaudraient-elles si on remplaçait C par C 0 = [0, 2] × [−1, 1] ? Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, donner une description de l'ensemble de départ de la variable aléatoire X comptant le nombre d'As obtenus et déterminer sa loi de probabilité, son espérance et sa variance : (i) on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes ; (ii) on tire et on remet successivement 10 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes ; (iii) on tire en une fois 10 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. Exercice 3 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N, dénie sur un espace avec probabilité p. (a) Etablir les formules : E(X) =

+∞ X k=1

p(X ≥ k) ,

+∞ X +∞ X
E X(X − 1) = 2 p(X ≥ l) . k=2 l=k

(b) En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire comptant le nombre de jets nécessaires pour obtenir 5 As au poker de dés (au 1er jet, on lance les 5 dés ; au 2e jet, on relance les dés qui n'ont pas donné un As auparavant ; etc.). Exercice 4 On rappelle qu'une variable aléatoire X à valeurs dans N suit la loi hypergéométrique de paramètres n, a, b (où n ≤ a + b) si p(X = k) =

a k






b n−k

a+b n





si max{0, n − b} ≤ k ≤ min{a, n} ,

p(X = k) = 0 sinon.

(a) On rappelle que formule :

a+b n




compte le nombre de façons de choisir n objets parmi a + b. Etablir la min{a,n}

a 

X

k

k=max{0,n−b}

Qu'en déduit-on pour

R

N dpX



 =

a+b n

 .

?

min{a,n}

(b) Vérier que E(X) =

b n−k

X

k

a k






k=max{1,n−b}

b n−k

a+b n



; procéder au changement de variables : k0 =



k − 1, n0 = n − 1, a0 = a − 1, b0 = b, pour en déduire que E(X) =

(c) On montre par un raisonnement analogue que min{a,n}

X

k(k − 1)

k=max{0,n−b}

a k






b n−k

a+b n





en déduire que le moment d'ordre 2 vaut m2 (X) = V ar(X) =

=

a(a − 1)n(n − 1) ; (a + b)(a + b − 1)

an(an−n+b) (a+b)(a+b−1) ,

puis que

abn(a + b − n) . (a + b)2 (a + b − 1)

(d) On fait maintenant tendre N = a + b vers l'inni, en gardant p = que n et k. Montrer que   lim p(X = k) = N

(On commencera par exprimer équivalent quand

N → +∞

p(X = k)

an . a+b

a a+b

et q =

b a+b

xes, ainsi

n k n−k p q . k

en fonction de

N , p, q , n

et

k,

et on cherchera un

N! de (N −r)! .)

Exercice 5 La fabrication d'un objet dans une usine s'eectue avec 4% de défauts. Calculer la probabilité Pk qu'un lot de 35 objets choisis au hasard comprenne k objets défectueux, pour k = 0, 1, 2, 3. Refaire le calcul en utilisant l'approximation par la loi de Poisson. Exercice 6 On donne ci-dessous la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N (0, 1). (a) Soit X une variable aléatoire de loi N (−1, 2). Calculer P (X < 1,91), P (X > 0,82), P (0,82 < X < 1, 91), P (−0,82 < X < 1, 91), P (X 2 < 1,44), P (log |X| < 0). Trouver a tel que P (X > a) = 0,400. (b) Soit Y et Z deux variables aléatoires de loi de Laplace-Gauss. Calculer E(Y ) sachant que V ar(Y ) = 4 et P (Y > 2) = 0,4 ; calculer V ar(Z) sachant que E(Z) = −2,5 et P (Z < 0) = 0,9.

Exercice 7 Soit X la variable aléatoire positive associée à la durée de vie d'un atome radioactif. On admet que P (X ≥ x) > 0 pour tout x ≥ 0. On veut montrer l'équivalence des deux propriétés suivantes : (P1) la probabilité que l'atome vive pendant un temps supplémentaire ≥ b sachant qu'il est en vie à l'instant a est égale à la probabilité qu'il vive au moins un temps b : ∀a, b ≥ 0 ,

p(X ≥ a+b | X ≥ a) = p(X ≥ b) ;

(P2) la loi de probabilité de la durée de vie est exponentielle de paramètre σ > 0, c'est-à-dire que X a pour densité la fonction f (x) = σ1 e−x/σ si x ≥ 0, f (x) = 0 sinon. On note F la fonction de répartition de la loi de X telle que F (0) = 0. (a) On suppose (P2) satisfaite. Déterminer p(X ≤ a) pour tout a ≥ 0, en déduire p(X ≥ a), puis que (P1) est satisfaite. (b) On suppose que (P1) est satisfaite et on note G = 1 − F . (i) Montrer que G(a + b) = G(a)G(b) pour tous a, b ≥ 0 ; (ii) montrer qu'il existe σ > 0 tel que G(1) = e−1/σ ; (iii) en déduire que G(q) = e−q/σ pour tout q ∈ Q+ , puis que que (P2) est satisfaite. Exercice 8 On suppose que les trois variables aléatoires U, V et W = max{U, V } suivent la même loi. Pour t ∈ R, on considère les ensembles : At = {(x, y) ∈ R2 | x > t , y < t} ,

Bt = {(x, y) ∈ R2 | x < t , y > t} .

1. Soit t ∈ R. a) Que dire de p(U