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January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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1 Université Abdelmalek Essaâdi [email protected]

Faculté des Sciences et Techniques - Tanger Année universitaire 2012-2013 (portail E.E.A et G.ID )

Calcul des Prbabilités Cours et Exercices Pour Génie Industriel & Génie Electrique- Electronique

Par Settati Adel

2 Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et de la statistique. Il couvre l’analyse combinatoire, le calcul des probabilités et les lois de probabilités d’usage courant.

Pour élaborer ce support, je me suis appuyé sur différentes références, des ouvrages reconnus dans la discipline, mais aussi des ressources en ligne qui sont de plus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance. Veuillez m’execuser au cas où il y a des erreures de frappes. Toutes suggestions ou commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu.

Table des matières Introduction

5

1 Calcul des probabilités

7

1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Permutations sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Permutations avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise)

8

1.2.2

Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise)

9

1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané) . . . . . .

9

1.3.2

Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5 Espace fondamental et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6 Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.8 Probabilités conditionnelles - Indépendance . . . . . . . . . . . . .

15

1.8.1

Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8.2

Partitions - Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8.3

Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 2.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

19 19

4

TABLE DES MATIÈRES 2.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.1

Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.2

Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.3

Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.4

Opérations sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . .

23

2.3.5

Inégalité de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4.1

Loi Uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.4.2

Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4.3

Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4.4

Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . . . . . . .

27

2.5.1

Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5.2

Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

28

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.6.1

Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 3.1

29 31

Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.1

Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1.2

Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1.3

Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.1

La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.2

La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2.3

La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.4

Cas particulier : La loi normale centrée réduite . . . . . . .

34

3.2.5

Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4 Couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

TABLE DES MATIÈRES 3.4.1

5

Fonction densité conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

6

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1 Calcul des probabilités 1.1 1.1.1

Permutations Permutations sans répétition

Définition 1.1.1. Soit E un ensemble à n éléments. Une permutation de E est un echantillon ordonné sans répétitions de E tout entier (on écrit EOR(n, n)). Le nombre de permutations de E est : Pn = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1 = n!. Remarque 1.1.1. Par convention, on pose 0 ! = 1. Exemple 1.1.1. Le nombre de permutation de l’ensemble {0, 1, 2, 3} est 4 !=24. Exerice 1.1.1. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, chaque chiffre n’etant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence par un 7 et soit divisible par 5. Réponse : 1440.

1.1.2

Permutations avec répétitions

Définition 1.1.2. Soit E un ensemble à n éléments comportant : n1 éléments d’un premier type, indiscernables entre eux, n2 éléments d’un second type, indiscernables entre eux, ... nk élément d’un k-ième type, indiscernables entre eux. Une permutation avec répétitions (PAR(n, n1 , ..., nk )) de ces n éléments est une disposition ordonnée de ces éléments. 7

8

CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS

Le nombre de permutations de E est : Pn,n1 ,...,nk =

n! . n1 ! × n2 ! × ... × nk !

Exemple 1.1.2. Combien de mots différents peut-on former à partir des lettres A, B, B, C, A, D, B ? Il y a 7! P7,2,3 = 420 mots possibles. 2! × 3! Exerice 1.1.2. On jette successivement 12 dés. On appelle "résultat" une suite ordonnée de 12 points emmenés. 1. Combien y a-t-il de résultats où chaque face est emmenée 2 fois ? Réponse : P12,2,2,2,2,2,2 2. Combien y a-t-il de résultats où la face "1" se retrouve 5 fois, "2" 3 fois, "3" 3 fois, et "4" 1 fois ? Réponse : P12,5,3,3,1,0,0 .

1.2 1.2.1

Arrangements Arrangements sans répétition (Tirage successif sans remise)

Définition 1.2.1. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, un arrangement de p éléments choisis parmi n est un echantillon ordonné sans répétition (EOR(p, n)) de E ayant p éléments. Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est : p

An =

n! . (n − p)!

Remarque 1.2.1. Pour p = n, on retrouve le cas de la permutation sans répétition : Ann =

n! = n!. (n − n)!

Exemple 1.2.1. On tire 2 boules numérotées prises parmi 3, sans remise : il y a A23 =

3! 1!

possibilités.

Exerice 1.2.1. Donner le nombre de podiums possibles dans une course opposant 8 8! athlètes. Réponse : A83 = 5! = 6 × 7 × 8 = 336.

1.3. COMBINAISONS

1.2.2

9

Arrangements avec répétitions (Tirage successif avec remise)

Définition 1.2.2. Soit E un ensemble à n éléments. Un arrangement avec répétitions de p éléments choisis parmi n est un echantillon ordonné avec répétition (EOR(p, n)) de E ayant p éléments. Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est : np . Exemple 1.2.2. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suites différentes de pile ou face ? Il y en a : 23 . Exerice 1.2.2. On tire 4 boules numérotées prises parmi 20, avec remise. Donner le nombre de résultats possibles.

1.3 1.3.1

Combinaisons Combinaisons sans répétitions (Tirage simultané)

Définition 1.3.1. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, une combinaison sans répétition de p éléments choisis parmi n EOR(p, n) est un echantillon de E ayant p éléments. Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est : p

Cn =

n! . p!(n − p)!

Propriétés 1.3.1. Cn0 = Cnn = 1 et Cn1 = Cnn−1 = n. Exemple 1.3.1. On tire simultanément (à la fois) 6 boules numérotées prises parmi 10 : il y a 10! 6 C10 = résultats possibles. 6!4! Exerice 1.3.1. Monter pour p ≤ n que p

n−p

Cn = Cn , et

p

p

p−1

Cn = Cn−1 + Cn−1 .

10

CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS

1.3.2

Combinaisons avec répétitions

Définition 1.3.2. Soit p, n ≥ 0 deux entiers, une suite (p1 , ..., pn ) d’entiers positifs ou nuls satisfaisant la relation p = p1 + ... + pn est appelée décomposition de p en p1 + ... + pn . Résultat admis : Le nombre de combinaison avec répétitions (ou EOR(p, n)) est égale au nombre de décomposition (D(p, n) ) de p objets pris parmi n est : il y en a p

= Cn+p−1 . Exemple 1.3.2. Soit f une fonction, à 2 variables, de classe C ∞ . Le nombre de dérivées partielles d’odre 3 de f est 3 K23 = C2+3−1 = 4.

1.4

Exercices p

p

Exerice 1.4.1. Donner le nombre de monômes distincts x11 ...xnn dans le développement de (x1 + ... + xn )p . Exerice 1.4.2. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet. 1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ? 2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ? 3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ? Exerice 1.4.3. On doit asseoir 7 personnes discernables sur 7 chaises discernables. 1. Donner le nombre de possibilités. 2. Donner le nombre de possibilités où la personne numéro 7 est sur la chaise numéro 5 ou 6. Exerice 1.4.4. On répond par OUI ou NON à un questionnaire de 4 questions. 1. Donner le nombre de réponses. 2. Donner le nombre de réponses qui comportent au moins un OUI. Exerice 1.4.5. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combien de possibilités peut-on dénombrer ? Exerice 1.4.6. Une course comporte 5 chevaux. 1. Donner le nombre de tiercés dans l’ordre.

1.4. EXERCICES

11

2. Donner le nombre de tiercés dans l’ordre qui comportent le cheval 4. Exerice 1.4.7. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommes se présentent. 1. Combien de recrutements distincts sont possibles ? 2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutements distincts sont possibles ? Exerice 1.4.8. A partir d’un groupe de 5 hommes et 7 femmes on veut former un comité de 5 personnes : toutes les personnes du groupe sont discernables. 1. Donner le nombre de comités possibles. 2. Donner le nombre de comités comportant 2 hommes et 3 femmes. 3. Donner le nombre de comités comportant au plus deux hommes. Exerice 1.4.9. Une entreprise fabrique 4 types de pièces numérotées. On dispose d’un stock de : 1. 8 pièces de type A, 2. 7 pièces de type B, 3. 6 pièces de type C, 4. 5 pièces de type D. De combien de manières distinctes peut-on constituer : 1. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A ? 2. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A et au moins une pièce B ? Exerice 1.4.10. 5 films discernables sont classés de 1 à 10. 1. Nb de classements 2. Nb de classements sachant que le film 2 a la note 4 3. Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois 4. Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 2 fois Exerice 1.4.11. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite et on note dans l’ordre l’apparition de PILE ou FACE : 1. Donner le nombre de suites de PILE ou FACE obtenues 2. Donner le nombre de suites comportant deux PILE 3. Donner le nombre de suites comportant au moins deux PILE 4. Donner le nombre de suites comportant au moins un PILE et un FACE Exerice 1.4.12. On lance 3 dés identiques à 5 faces discernables et on note le nombre de fois où chaque face est apparue.

12

CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS 1. Donner le nombre de résultats 2. Donner le nombre de résultats comportant 2 fois la face 2

Exerice 1.4.13. Une urne comptient 3 boules numérotées 1 ; 2 ; 3 : On effectue 5 tirages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue. 1. Donner le nombre de résultats. 2. Donner le nombre de résultats sachant que la boule numéro 1 n’est pas apparue. 3. Donner le nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins une fois. Exerice 1.4.14. 8 enseignants indiscernables sont affectés à 4 écoles discernables. 1. Nb affectations. 2. Nb affectations si l’école numéro 2 reçoit 3 enseignants. 3. Nb affectations si chaque l’école reçoit au moins un enseignant. Exerice 1.4.15. Une personne dispose de 20000 e à investir sur 4 placements discernables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants : 1. certains placements peuvent être ignorés. 2. tous les placements sont pourvus d’au moins un euro.

1.5

Espace fondamental et événements

Définition 1.5.1. On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. Exemple 1.5.1. Un lancer de dé est une expérience aléatoire. Définition 1.5.2. On appelle événement élémentaire ou encore issue le résultat d’une expérience aléatoire. Exemple 1.5.2. J’obtiens un "4" est un événement élémentaire. Définition 1.5.3. On appelle événement un ensemble d’événements élémentaires. Exemple 1.5.3. "J’obtiens un nombre pair" est un événement. Définition 1.5.4. On appelle espace fondamental ou univers, noté Ω, l’ensemble de tous les événements élémentaires possibles. Exemple 1.5.4. Pour un lancer d’un dé l’espace fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Remarque 1.5.1. Chaque événement peut ainsi être vu comme un sous-ensemble de Ω qu’on nommera avec une lettre majuscule A, B,... Ω est l’événement certain et l’événement vide sera noté ∅.

1.6. CALCUL DES PROBABILITÉS

13

Exemple 1.5.5. L’événement "j’obtiens un 5" s’écrit aussi A = {5}, l’événement "j’obtiens un nombre impair" B = {1, 3, 5}. Notation. Souvent, en calcul des probabilités, on se rammène à combiner des événements. On dispose de plusieurs opérations : (i) Le complémentaire de l’événement A est noté A, (ii) La réunion de deux événements A et B est notée A ∪ B, (iii) L’intersection de deux événements A et B est notée A ∩ B. Exemple 1.5.6. Dans le cas du lancer de dé, considérant les événements A = {5} et B = {1, 3, 5} on a : A = {1; 2; 3; 4; 6}, A ∪ B = {1; 3; 5}, A ∩ B = {5}. Définition 1.5.5. Deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints. si A ∩ B = ∅. Exemple 1.5.7. Les événements {1; 3; 5} et {2; 4} sont incompatibles. Propriétés 1.5.1. Pour deux ensembles finis E et F de Ω, on a : Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F) − Card(E ∩ F). Si, de plus, Ω est fini on a, Card(E) = Card(Ω) − Card(E).

1.6

Calcul des probabilités

Définition 1.6.1. On appelle probabilité sur l’espace fondamental Ω une application P à valeurs dans [0, 1] telle que P (Ω) = 1, et si A1 et A2 sont deux parties disjointes de Ω, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Propriétés 1.6.1. On a les propriétés suivantes

14

CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS

(i) P (A) = 1 − P (A). (ii) P (∅) = 0. (iii) Si A ⊂ B alors P (A) ≤ P (B). (iv) 0 ≤ P (A) ≤ 1. (v) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

1.7

Probabilité sur un ensemble fini

On suppose que l’espace fondamental Ω est fini : Ω = {ω1 , ω2 , ..., ω3 }. On peut construire une probabilité P en se donnant des nombres pi = P (ωi ) tels que 0 ≤ pi ≤ 1, ∀i ∈ {1, 2, ..., n}, et p1 + p2 + ... + pn = 1. Cas d’équiprobabilité. Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. Cette probabilité vaut alors n1 et dans ce cas la probabilité d’un événement A contenant k événements élémentaires vaut k n . Plus généralement, on écrit : P (A) =

card(A) . card(Ω)

On retrouve alors la définition d’une probabilité comme étant le quotient : P (A) =

nombre de cas favorables . nombre de cas possibles

Exemple 1.7.1. Soit Ω = {1, 2, ..., 6}. On définit : P ({i}) =

1 6

( dé équilibré). Dans ce cas, P ({1, 3, 6}) =

P ({i}) = 71 , i ≤ 5 et P ({6}) =

2 7

1 2

( dé pipé). Dans ce cas 4 P ({1, 3, 6}) = . 7

1.8. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - INDÉPENDANCE

1.8 1.8.1

15

Probabilités conditionnelles - Indépendance Probabilités conditionnelles

Définition 1.8.1. Soit P une probabilité définie sur un espace fondamental et B un événement tel que P (B) > 0. Pour un événement quelconque A, on appelle probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, le nombre P (A/B) =

P (A ∩ B) . P (B)

En pratique, il est courant de connaître directement P (A/B), ce qui permet de calculer la probabilité conjointe par la formule des probabilités composées : P (A ∩ B) = P (B) × P (A/B). Exemple 1.8.1. Dans l’exemple du lancer de dé, la probabilité de A sachant B vaut : P (A/B) =

P (A ∩ B) P (A) = = P (B) P (B)

1 6 1 2

1 = . 3

En effet, il s’agit bien de la probabilité d’obtenir un 6 sachant qu’on a un nombre pair. Propriétés 1.8.1. (Formule de Bayes). Soient A et B deux événements tels que P (B) > 0, alors P (B/A) × P (A) . P (A/B) = P (B) Cette formule permet de lier les probabilités conditionnelles P (A/B) et P (B/A).

1.8.2

Partitions - Probabilités totales

Définition 1.8.2. Les événements B1 ; ...; Bn forment une partition de Ω signifie que’ils sont deux à deux incompatibles et que n [

Bi = Ω.

i=1

Propriétés 1.8.2. (Formule des probabilités totales). Si les événements B1 ; ...; Bn forment une partition de Ω, alors pour tout événement A P (A) =

n X i=1

P (A ∩ Bi ) =

n X i=1

P (A/Bi ) × P (Bi ).

16

CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS

Propriétés 1.8.3. (Autre écriture de la Formule de Bayes). Soient A et B deux événements tels que P (B) > 0, alors P (A/B) =

P (B/A) × P (A) P (B/A) × P (A) + P (B/A) × P (A)

.

Plus généralement, si les événements H1 ; ...; Hn forment une partition de Ω alors pour tout événement B, P (Hj /A) × P (Hj ) P (Hj /B) = Pn , i=1 P (B/Hi ) × P (Hi ) pour tout j ∈ {1, 2, ..., n}.

1.8.3

Indépendance

Définition 1.8.3. Deux éléments A et B sont dit indépendants pour une probabilité P si P (A ∩ B) = P (A) × P (A) Remarque 1.8.1. Il ne faut pas confondre événements indépendants et incompatibles. Dans le cas d’événements indépendants, la réalisation de l’un des événements n’empêche pas celle du second. Par contre au d’événements incompatibles, la réalisation de l’un des événements interdit celle de l’autre. Exemple 1.8.2. On lance deux dés simultanément. On note A, B et C les événements suivants : "j’obtiens 1 avec le premier dé", " j’obtiens 4 avec le second dé" et "j’obtiens 3 avec le premier dé". Les événements A et B sont indépendants alors que les événements A et C sont incompatibles. Propriétés 1.8.4. Si A et B sont indépendants pour P , alors : (i) P (B/A) = P (B) si P (A) , 0 ; (ii) P (A/B) = P (A) si P (B) , 0 ; (iii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) × P (A)

1.9

Exercices

Exerice 1.9.1. Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaque repas. La probabilité que l’un d’eux soit une banane est 0.4, une orange 0.8. La probabilité que les deux desserts soient une banane et une orange est 0.3. Calculer la probabilité que l’on propose 1. une banane et pas d’orange ? 2. une orange et pas de banane ?

1.9. EXERCICES

17

3. ni banane, ni orange ? Exerice 1.9.2. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite indépendamment et on note dans l’ordre l’apparition de PILE ou FACE : P (PILE)=2/3. Calculer la probabilité qu’un lancer comporte deux PILE exactement. Exerice 1.9.3. Une salle contient n personnes dont les dates de naissance sont indépendantes. Donner la probabilité qu’une personne (au moins) soit née le même jour que moi. Exerice 1.9.4. On jette deux dés. Soit A l’événement "la somme des chiffres indiqués est impaire" et soit B l’événement "l’un des dés indique le chiffre 1". Les événements A et B sont-ils indépendants ? Exerice 1.9.5. On lance un dé équiprobable à 6 faces un nombre indéterminé de fois in dépendamment : on note Ωn l’événement "le premier 5 est au rang n" et A l’événement le "le 5 apparaît avant le 2". Calculer : 1. P (Ωn ) 2. P (A ∩ Ωn ) 3. P (A) Exerice 1.9.6. Trois personnes vont au cinéma. Il passe trois films différents. Chaque personne choisit son film au hasard et indépendamment des autres. Quelle est la probabilité que les trois personnes aient vu les trois films différents ? Exerice 1.9.7. On lance une pièce de monnaie 4 fois de suite et on note dans l’ordre l’apparition de PILE ou FACE : 1. Calculer la probabilité d’obtenir le lancer PFPP. 2. Calculer la probabilité que le lancer finisse par FACE. 3. Calculer la probabilité que le lancer comporte au moins un PILE. Exerice 1.9.8. On lance 2 dés équiprobables à 6 faces. Pb que la somme des chiffres soit supérieure ou égale à 10. Exerice 1.9.9. Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes : on choisit 5 personnes. 1. Calculer la probabilité qu’il n y ait aucun homme 2. Calculer la probabilité d’obtenir 2 hommes et 3 femmes. Exerice 1.9.10. On répartit 10 oeufs indiscernables dans 3 paniers discernables. 1. Calculer la probabilité de la répartition (2, 5, 3) 2. Calculer la probabilité que tous les oeufs soient dans le même panier 3. Calculer la probabilité que tous les oeufs ne soient pas dans le même panier

18

CHAPITRE 1. CALCUL DES PROBABILITÉS

Exerice 1.9.11. On considère une population composée de 48% d’hommes et de 52% de femmes. La probabilité qu’un homme soit daltonien est 0.05, la probabilité qu’une femme soit daltonienne est 0.0025. Quelle proportion de la population est-elle daltonienne ? Exerice 1.9.12. On considère un dé à six faces avec lequel on effectue un lancer. On note A l’événement "le lancer est un nombre pair" et B l’événement "le lancer est un multiple de trois". Dans chacun des deux cas suivants, définir la probabilité utilisée et étudier l’indépendance des événements A et B : 1. On considère que le dé est équilibré. 2. Le dé est pipé et on a deux fois plus de chances d’obtenir un 6 qu’un autre résultat et que les nombres de 1 à 5 ont la même probabilité d’apparaître. Exerice 1.9.13. Dans une entreprise, une machine A fabrique 40% des pièces et une machine B en fabrique 60%. La proportion de pièces défectueuses fabriquées par A est de 3% et par B de 2%. On choisit une pièce au hasard. 1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. 2. Sachant qu’elle est défectueuse, calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée par A. Exerice 1.9.14. Pour se rendre au Lycée, un élève a le choix entre quatre itinéraires : A, B, C et D. La probabilité qu’il a de choisir A (respectivement B, C) est 1/3 (resp 1/4,1/12 ). La probabilité d’arriver en retard en empruntant A (resp. B, C) est 1/20 . En empruntant D, il n’est jamais en retard. 1. Quelle est la probabilité : qu’il choisisse l’itinéraire D ? qu’il arrive en retard ? 2. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait emprunté l’itinéraire C ? Exerice 1.9.15. Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement M1, M2 et M3. 3 La moitié des appareils de son stock provient de M1, un huitième de M2 et trois huitième de M3. Ce grossiste sait que dans son stock, 13% des appareils de la marque M1 sont rouges, que 5% des appareils de la marque M2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M3 le sont aussi. On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste : 1. Quelle est la probabilité qu’il vienne de M3 ? 2. Quelle est la probabilité qu’il soit rouge sachant qu’il vienne de M2 ? 3. Quelle est la probabilité que l’appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 4. Après examen, on s’apperçoit que l’appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu’il soit de la marque M1 ? Exerice 1.9.16. Un serveur de banque de données a calculé qu’un individu se trompe 1 fois sur 20 en saisissant son code de carte bancaire. Sachant que la machine accepte trois essais de code, quelle est la probabilité de bloquer sa carte bancaire ?

Chapitre 2 Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 2.1

Variables aléatoires discrètes

Définition 2.1.1. Soit Ω un espace fondamental et P une probabilité sur Ω. On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans une partie de finie ou dénombrable de R : X

Ω −→ R ω −→ X(ω) avec X(ω) fini ou dénombrable.

Exemple 2.1.1. Soient Ω = {1, 2, ..., 6}, et P1 ({i}) = 61 . On définit : 1. X1 (ω) = ω : P1 (X = i) = P1 ({ω ∈ Ω, X1 (ω) = i}) = P1 ({i}) =

1 6

2. X2 (ω) = 1{1,2,4} (ω) : P1 (X2 = 1) = P1 ({1, 2, 4}) = P1 ({1}) + P1 ({2}) + P1 ({4}) =

1 2

Définition 2.1.2. Etant donnée une variable aléatoire X telle que X(Ω) = {x1 , ..., xn }, on appelle loi de probabilité ou distribution de probabilité de X une expression des probabilités pi = P (X = xi ); i ∈ {1, 2..., n}. Remarque 2.1.1. Les probabilités pi trouvées vérifient alors : n X

pi

i=1

19

20CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES 2. Si X(Ω) = {x1 , x2 ..., } est infini alors la loi de probabilité de X est définie par pi = P (X = xi ); i ∈ {1, 2..., }, bien

∞ X

pi = 1.

i=1

Exemple 2.1.2. On lance deux pièces de monnaie. L’ensemble fondamental comprend 4 événements élémentaires notés PP ; PF ; FP ; FF, de probabilité chacun 1/4. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de piles obtenus. X prend les valeurs 0, 1 et 2. On a P (X = 0) = 1/4, P (X = 1) = 1/2, P (X = 2) = 1/4. On représente souvent la loi de probabilité à l’aide d’un tableau : x 0 P(X = x) 1/4

1 1/2

2 1/4

Total 1

Définition 2.1.3. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X(Ω) = {x1 , ..., xn }, avec x1 < ... < xn . On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par : F:

R −→ [0, 1] ω −→ P (X ≤ x).

Propriétés 2.1.1. On a les propriétés suivantes (i) F est une fonction en escalier croissante. (ii) Si x < x1 , alors F(x) = 0. (iv) Si xj ≤ x < xj+1 , alors F(x) =

Pj

i=1 pi .

(v) Si x ≥ xn , alors F(x) = 1.

2.2

Variables aléatoires indépendantes

On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y définies sur l’univers. On note X(Ω) = {x1 , ..., xp } et Y (Ω) = {y1 , ..., xq }. La loi de probabilité du couple (X, Y ) est définie par la donnée des nombres : pij = P (X = xi , Y = yj ), pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ q

2.3. PARAMÈTRES D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE

21

On représentera la loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètes par un tableau avec p lignes et q colonnes. En sommant les éléments de chaque ligne (resp. colonne), on trouve la loi de X (resp. Y ), à savoir les valeurs de pi• =

q X

P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi )

j=1

et p•j =

p X

P (X = xi , Y = yj ) = P (Y = yj ).

i=1

On les appelle lois marginales de X et Y . Définition 2.2.1. Les deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si les événements (X = xi ) et (Y = yj ) sont indépendants pour toutes valeurs de i et j, en d’autres termes si P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ) × P (Y = yj ), ou encore pij = pi• × p•j . Exemple 2.2.1. Jeu de cartes : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Le résultat de ce tirage est représenté par le couple aléatoire (X, Y ), où X est la couleur et Y la valeur. Autrement dit, X appartient à l’ensemble {Pique, Coeur, Carreau, Trèfle} et Y à l’ensemble {7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As}. X et Y sont-elles indépendantes ? X Y Pique Coeur Carreau Trèfle p•j

2.3 2.3.1

7 1/32 1/32 1/32 1/32 1/8

8 1/32 1/32 1/32 1/32 1/8

9 10 . . . . . . . . . .

Valet Dame Roi . . 1/32 . . 1/32 . . 1/32 . . 1/32 . . 1/8

As 1/32 1/32 1/32 1/32 1/8

pi• 1/4 1/4 1/4 1/4 1

Paramètres d’une variable aléatoire Espérance mathématique

Elle correspond à la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire X pondérées par la probabilité d’obtenir cette valeur. Cette moyenne, appelée espérance mathématique joue un rÃťle central en probabilités et statisques.

22CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES Définition 2.3.1. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X(Ω) = {x1 , ..., xp }, avec x1 < ... < xn . On appelle expérance mathématique de X le réel E(X) =

n X

xi P (X = xi ).

i=1

Exemple 2.3.1. Dans le cas du lancer des deux pièces de monnaie, on trouve : E(X) = 0 ×

1 1 1 +1× +2× . 4 2 4

Remarque 2.3.1. L’espérance est la version probabiliste de la moyenne ou du barycentre.

2.3.2

Variance

L’espérance mathématique fournit une valeur moyenne des observations. On s’intéresse souvent à la dispersion, des valeurs prises par la variable, par rapport à la valeur moyenne, en d’autres termes si les valeurs observées seront plutôt voisines de la valeur moyenne ou si au contraire elle peuvent s’en éloigner fortement. Autrement dit, L’espérance mathématique (ou la moyenne) est-elle représentative ? Définition 2.3.2. Soit X une variable aléatoire discrète sur Ω telle que X(Ω) = {x1 , ..., xp } avec x1 < ... < xn . On appelle variance de X le réel 2

V (X) = E(X − E(X)) =

n X

(xi − E(X))2 P (X = xi ).

i=1

On appelle écart type de X le réel p σ (X) = V (X). Propriétés 2.3.1. On a la relation suivante : 2

2

V (X) = E(X ) − E(X) =

n X i=1

xi2 P (X = xi ) − E(X)2

2.3. PARAMÈTRES D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE

2.3.3

23

Covariance

Lorsqu’on étudie deux variables aléatoires simultanément, on souhaite connaître leur degré d’indépendance. Pour cela on fait appel à deux indicateurs : la covariance et le coefficient de corrélation. Définition 2.3.3. Soient X et Y deux variables aléatoires. La covariance de X et Y est le nombre réel Cov(X, Y ) = E(X − E(X))(Y − E(Y )), et le coefficient de corrélation Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) = . ρ= p V (X)V (Y ) σ (X)σ (Y ) Propriétés 2.3.2. On a la relation suivante : Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).

2.3.4

Opérations sur les variables aléatoires

On a les résultats suivants : Propriétés 2.3.3. Pour tous réel a et b, E(aX) = aE(X), E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), et V (aX + b) = a2 V (X). Propriétés 2.3.4. Pour X une variable aléatoire, on appelle variable centrée réduite la variable aléatoire X − E(X) , Y= σ (X) Y est alors telle que E(Y ) = 0, σ (Y ) = 1. Propriétés 2.3.5. Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes alors E(XY ) = E(X)E(Y ), Cov(X, Y ) = 0, et V (aX + bY ) = a2 V (X) + b2 V (Y ).

24CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES

2.3.5

Inégalité de Tchebychev

La variance d’une variable aléatoire mesure la concentration de la variable autour de sa valeur moyenne. C’est ce qu’exprime l’inégalité de Tchebychev. Propriétés 2.3.6. (Inégalité de Tchebychev) Si X est une variable aléatoire d’espérance de variance finies alors pour tout ε > 0, on a P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤

2.4 2.4.1

V (X) . ε2

Lois discrètes usuelles Loi Uniforme discrète

Définition 2.4.1. Une variable aléatoire X qui peut prendre n valeurs possibles k1 , k2 , ..., kn équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur ki est égale à 1/n. Autrement dit 1 P (X = k) = , ∀k ∈ {k1 , ..., kn }. n Cas particulier : on dit que X suit une loi uniforme sur [a, b] si P (X = k) =

1 , ∀k ∈ {a, ..., b}. b−a+1

Cas particulier : on dit que X suit une loi uniforme sur [1, n] si 1 P (X = k) = , ∀k ∈ {1, ..., n}. n Exemple 2.4.1. Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6. Propriétés 2.4.1. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre n Valeurs possibles X(Ω) = {1, ..., n}. Probabilités P (X = k) = n1 , ∀k ∈ {1, ..., n}. n+1 2 . n2 −1 12 .

Espérance E(X) = Variance V (X) =

Notation X ∼ U ([1, n]).

2.4. LOIS DISCRÈTES USUELLES

2.4.2

25

Loi de Bernoulli

Définition 2.4.2. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1] une expérience aléatoire qui a deux possibilités, l’une appelée succès de probabilité p et l’autre appelée échec de probabilité 1-p. On lui associe la variable aléatoire Y qui affecte la valeur 1 au succès et la valeur 0 à l’échec. On dit que Y suit une loi de Bernoulli B(p) de paramètre p. Exemple 2.4.2. On effectue un tirage d’une boule dans une urne contenant des boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 − p. La variable aléatoire X désignant le nombre de boules blanches tirées suit une loi de Bernoulli B(p) de paramètre p. Propriétés 2.4.2. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre p. Valeurs possibles X(Ω) = {0, 1}. Probabilités P (X = 0) = q = 1 − p, P (X = 1) = p. Espérance E(X) = p. Variance V (X) = pq. Notation X ∼ B(p) ≡ B(1, p).

2.4.3

Loi binomiale

Exemple 2.4.3. Si on s’intéresse au nombre de succès après avoir répéter de façon indépendante une épreuve de Bernoulli on considère la variable aléatoire X qui est égale à X = Y1 +...+Yn où les Yi sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi de Bernoulli de paramètre p. La loi X compte le nombre de succès de n épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p. Ainsi P (X = k) = Cnk pk qn−k , ∀k ∈ {0, 1, ..., n}, et on dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Exemple 2.4.4. On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant des boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 − p. Soit X le nombre de boules blanches tirées. Propriétés 2.4.3. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre n et p Valeurs possibles X(Ω) = {0, 1, ..., n}. Probabilités P (X = k) = Cnk pk qn−k , ∀k ∈ {0, 1, ..., n}.

26CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES Espérance E(X) = np. Variance V (X) = npq. Notation X ∼ B(n, p). Remarque 2.4.1. Pour n = 1, on retrouve la loi de Bernoulli. Exemple 2.4.5. Si on lance n fois une pièce de monaie, la variable aléatoire X désignant le nombre de piles obtenus suit une loi binomiale B(n, 1/2). En effet  k  n−k 1 k 1 P (X = k) = P (on obtient k piles en n lancers) = Cn 2 2 1 k = n Cn , 2 et ceci pour tout k ∈ {0, 1, ..., n}. Exemple 2.4.6. Une pièce de monnaie est truquée de sorte qu’à chaque lancer j’ai une chance sur trois de faire "pile". Quelle est la probabilité en 4 lancers d’avoir une fois face ? Réponse : P (on obtient 1 face en 4 lancers) = P (B(4, 2/3) = 1)  1  4−1 1 2 = C41 3 3 8 2 1 = 4× × = . 3 27 81 Exemple 2.4.7. Dans une usine de voitures on fabrique 700 voitures par jour. La probabilité pour qu’une voiture ait besoin d’une retouche de finition est de 0.01 et ne dépend pas des autres voitures. Le nombre de voitures produites par jour et ayant besoin d’une retouche de finition suit donc une loi binomiale de paramètre (700, 0.01). La probabilité pour que 10 voitures aient besoin d’une retouche dans la journée est 10 (0.01)10 (0.99)700−10 = 0.071. P (B(700, 0.01) = 10) = C700

En moyenne, il y a E(B(700, 0.01)) = 700 × 0.01 = 7 voitures par jour qui ont besoin d’une retouche (n = 700 et p = 0.01) avec une variance de 6.93. Propriétés 2.4.4. On a les propriétés suivantes : 1. Si X1 , ..., Xn sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p, alors X1 + ... + Xn ∼ B(n, p). 2. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que X1 ∼ B(n1 , p), X2 ∼ B(n2 , p). alors X1 + X2 ∼ B(n1 + n2 , p).

2.5. LOI DE POISSON - APPROXIMATION D’UNE LOI BINOMIALE

2.4.4

27

Loi géométrique

Exemple 2.4.8. On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant des boules blanches et noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1 − p. Soit X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche. On a P (X = k) = pqk−1 , ∀k ∈ {1, 2, ...}, et on dit que X suit une loi géométrique de paramètre p. Propriétés 2.4.5. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre p Valeurs possibles X(Ω) = {1, 2, ...}. Probabilités P (X = k) = pqk−1 , ∀k ∈ {1, 2, ...}. Espérance E(X) = 1/p. Variance V (X) = q/p2 . Notation X ∼ G(p). Exerice 2.4.1. Soit S ∼ G(p) et T ∼ G(p). deux variables indépendantes. On cherche la loi de Z = min(S, T ). 1. Pour k ∈ N, calculer P (S ≥ k). 2. En déduire P (Z ≥ k). 3. Quelle est la loi de Z ?

2.5

2.5.1

Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale Loi de Poisson

Exemple 2.5.1. Soit X le nombre d’apparitions d’un événement rare sur un intervalle de temps donné. On suppose souvent que P (X = k) = e−λ

λk , ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}, k!

et on dit que X suit une loi de poisson de paramètre λ. Remarque 2.5.1. • La loi de poisson s’applique souvent aux phénomènes accidentels où la probabilité p est très faible (p < 0.05). Elle peut également dans certaines conditions être définie comme limite d’une loi binomiale.

28CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES • La loi de poisson est la loi des petites probabiités ou loi des événements rares (c’està-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : Le nombre d’atomes désintégrés par unité de temps. Le nombre de chèques émis sans provision. Le nombre de fautes d’impression dans les pages d’un livre. Le nombre de personnes atteintes d’une maladie. Le nombre d’accidents sur une portion de route. Le nombre d’accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré. Le nombre de décès par suicide. Le nombre de déchets dans une fabrication. Propriétés 2.5.1. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre λ Valeurs possibles X(Ω) = {0, 1, 2, ...} = N. k

Probabilités P (X = k) = e−λ λk! , ∀k ∈ {0, 1, 2, ...}. Espérance E(X) = λ. Variance V (X) = λ. Notation X ∼ P (λ). Propriétés 2.5.2. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que X1 ∼ P (λ1 ), et X2 ∼ P (λ2 ) alors X1 + X1 ∼ P (λ1 + λ2 ).

2.5.2

Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

Dans la loi binomiale, deux paramètres n et p interviennent ce qui peut compliquer le calcul des probabilités notamment lorsque n devient grand et p petit. On utilise alors le résultat d’approximation suivant : Propriétés 2.5.3. Si n est assez grand et p est assez petit alors on peut approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi de Poisson ayant la même espérance mathématique P (np). Dans la pratique, on admet que cette approximation est satisfaisante lorsque n ≥ 30, p ≤ 0.1 et np ≤ 10. Ces données ne sont pas standards, elles varient généralement d’un auteur à l’autre.

2.6. EXERCICES

2.6 2.6.1

29

Exercices Variables aléatoires discrètes

Exerice 2.6.1. Lors d’une enquête, on a interrogé 5 hommes et 3 femmes. On choisit au hasard et sans remise les personnes une à une jusqu’à obtention d’un homme. Soit X le nombre de tirages nécessaires. 1. Déterminer les valeurs prises par X ainsi que sa loi de probabilité. 2. Calculer E(X). Exerice 2.6.2. On lance simultanément deux dés bien équilibrés. On note X la valeur absolue de la différence des nombres portés sur les faces supérieures. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. Calculer E(X) et V ar(X). Exerice 2.6.3. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante : x 1 P(X=x) 0.2

3 4 0.2 0.1

6 0.2

9 0.3

1. Tracer la fonction de répartition de X ? 2. Calculer E(X). Exerice 2.6.4. On lance simultanément deux dés équilibrés, l’un rouge, l’autre blanc. On note X le nombre indiqué par le dé rouge et Y le maximum des deux nombres obtenus. 1. Déterminer la loi du couple (X ; Y ). 2. En déduire les lois de X et Y . 3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Exerice 2.6.5. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante : x -2 P(X = x) 1/8

-1 1/4

0 1/5

1 1/8

2 3/10

Calculer E(X) et V (X). Exerice 2.6.6. A un concours se présentent deux fois plus d’hommes que de femmes. On tire une personne au hasard, et on appelle X la variable aléatoire "nombre de femmes". 1. Quelle loi suit la variable X ? 2. Calculer E(X) et V (X).

30CHAPITRE 2. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES - LOIS DISCRÈTES USUELLES Exerice 2.6.7. La probabilité pour qu’une ampoule électrique ait une durée de vie supérieure à deux ans est égale à 0 ; 2. Sachant qu’un lustre possède cinq ampoules, calculer : 1. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans, 2. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans, 3. la probabilité de changer toutes les ampoules en deux ans. 4. le nombre moyen d’ampoules changées en deux ans. Exerice 2.6.8. Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq parties. Calculer la probabilité pour qu’il gagne : 1. trois parties, 2. au plus une partie, 3. au moins deux parties. Exerice 2.6.9. Pour accéder à un guichet automatique, il faut utiliser une carte magnétique et un code confidentiel. Un client tapant un code au hasard est refusé 999 fois sur 1000. Soit X le nombre d’essais nécessaires pour accéder au guichet. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. Calculer P(X = 1). 3. Sachant qu’au bout de 3 essais infructueux, la carte est confisquée, calculer la probabilité d’accéder au guichet par hasard. 4. Combien faut-il d’essais en moyenne pour accéder au guichet par hasard ? Exerice 2.6.10. Le nombre d’ordinateurs vendus chaque jour dans un magasin spécialisé suit une loi de Poisson de paramètre 4. Calculer la probabilité que dans une journée : 1. on ne vende aucun ordinateur, 2. on vende 4 ordinateurs, 3. on vende au moins un ordinateur, 4. le nombre d’ordinateurs vendus est compris entre 2 et 6. Exerice 2.6.11. Lors d’un sondage portant sur 250 individus, 2acceptent de ne pas rester anonymes. On appelle X le nombre de personnes ne souhaitant pas rester anonymes. 1. Quelle est la loi suivie par X ? 2. Après avoir justifié votre choix, donner la loi qui permet d’approcher la loi de X. 3. Calculer la probabilité que les 250 personnes souhaitent rester anonymes. 4. Calculer la probabilité que 3 personnes acceptent de ne pas rester anonymes. 5. Calculer la probabilité que plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester anonymes.

Chapitre 3 Variables aléatoires continues - Lois continues usuelles 3.1

Variables aléatoires continues

Définition 3.1.1. Soit un espace fondamental, P une probabilité sur Ω et X une application de Ω dans R. On note F la fonction de répartition de X définie par : F

R −→ [0, 1] x −→ P (X ≤ x).

On dit que X est une variable aléatoire continue s’il existe une fonction f positive définie sur R telle que Z +∞ f (t)dt = 1 −∞

et

Z

x

P (X ≤ x) =

f (t)dt. −∞

Remarque 3.1.1. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X. Propriétés 3.1.1. On a les résultats suivants : 1. pour tout a ∈ R P (X = a) = 0. 2. pour tout a ∈ R : P (X ≤ a) = P (X < a). 3. si a < b, on a : b

Z P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = F(b) − F(a) =

f (t)dt. a

31

32CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES

3.1.1

Paramètres d’une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire continue admettant pour densité la fonction f . Sous réserve de convergence des intégrales, on définit : • l’espérance mathématique de X par +∞

Z E(X) =

tf (t)dt. −∞

• la variance de X : 2

Z

+∞

V (X) = E[(X − E(X))] = = E(X 2 ) − (E(X))2 =

(t − E(X))2 f (t)dt.

Z−∞+∞

t 2 f (t)dt − (E(X))2 .

−∞

• l’écart type de X le réel p σ (X) = V (X).

3.1.2

Quantiles

Définition 3.1.2. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F et α ∈ ]0, 1[. On appelle quantile d’ordre α, tout réel xα tel que P (X ≤ xα ) = α ou encore F(xα ) = α. Remarque 3.1.2. Pour α = 1/2, on parle de médiane.

3.1.3

Mode

Définition 3.1.3. On appelle mode ( valeur dominante, valeur la plus probable) d’une variable aléatoire, la valeur M0 pour laquelle la probabilité (ou la densité dans le cas continu) est maximle. Remarque 3.1.3. Lorsque la variable aléatoire X est continue, avec une fonction de densité pourvue d’une dérivée première et d’une dérivée seconde, le mode M0 satisfait à f 0 (M0 ) = 0 et f 00 (M0 ) < 0) (concavité vers le bas).

3.2. LOIS CONTINUES USUELLES

3.2 3.2.1

33

Lois continues usuelles La loi uniforme

Définition 3.2.1. Une variable aléatoire continue X sui la loi uniforme sur l’intervalle [a, b] si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : f (x) =

1 I b − a [a,b](x)

Propriétés 3.2.1. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre les bornes a et b de l’intervalle a+b 2 (b−a)2 12

Espérance Variance

Notation X ∼ U ([a, b]).

3.2.2

La loi exponentielle

Définition 3.2.2. Une variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : f (x) = λe−λx I[0,+∞[ . Propriétés 3.2.2. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre λ Espérance Variance

1 λ

1 λ2

Notation X ∼ E(λ). Remarque 3.2.1. Lorsqu’on se place dans un phénomène d’attente, alors la variable aléatoire qui représente le temps d’attente entre deux événements successifs ou encore une durée de vie, peut être modélisée par une loi exponentielle. Exemple 3.2.1. Le temps d’attente moyen entre deux RER est de 5 minutes. La variable aléatoire X qui représente le temps d’attente (en minutes) entre deux RER peut être modélisée par une loi exponentielle d’espérance égale à 5, c’est à dire de paramètre 1 5. Exerice 3.2.1. On suppose que la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique suit une loi exponentielle et vaut en moyenne 1000h. Quelle est la probabilité que cette ampoule dure au moins 2000h ?

34CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES

3.2.3

La loi normale

Définition 3.2.3. Une variable aléatoire continue X suit la loi normale de paramètres µ et σ si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par : f (x) = √

1 2πσ

e



(x−µ)2 2σ 2

.

Propriétés 3.2.3. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre µ et σ Espérance µ Variance σ 2 Notation X ∼ N (µ, σ ). Propriétés 3.2.4. Si X1 ∼ N (µ1 , σ1 ) et X2 ∼ N (µ2 , σ2 ) et si X1 et X2 sont indépendantes, alors ! q 2 2 X1 + X2 ∼ N µ1 + µ2 , σ1 + σ2 .

3.2.4

Cas particulier : La loi normale centrée réduite

Définition 3.2.4. Il s’agit de la loi normale obtenue pour µ = 0 et σ = 1. Sa densité f est alors est définie sur R par : x2 1 f (x) = √ e− 2 . 2π

Propriétés 3.2.5. On a les caractéristiques suivantes : Paramètre 0 et 1 Espérance 0 Variance 1 Notation X ∼ N (0, 1). Propriétés 3.2.6. Si X ∼ N (µ, σ ), alors la variable aléatoire T =

X −µ ∼ N (0, 1). σ

Remarque 3.2.2. Dans la pratique, pour calculer des probabilités, on dispose d’une table pour la loi normale centrée réduite N (0, 1). Pour les autres lois normales, on se X−µ ramènera à la loi normale centrée réduite en posant T = σ ∼ N (0, 1).

3.3. APPROXIMATIONS

3.2.5

35

Le théorème central limite

Théorème 3.2.1. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes possédant toutes la même loi (i.i.d), d’espérance µ et d’écart-type σ . On définit : Sn = X1 + ... + Xn , et

Sn − E(Sn ) Sn − nµ Zn = p = √ σ n V (Sn )

Alors pour tout réel x, on a : lim FZn (x) = FN (0,1) (x),

n→∞

ou lim P (Zn ≤ x) = P (N (0, 1) ≤ x),

n→∞

ou

1 lim P (Zn ≤ x) = √ n→∞ σ 2π

Z

x

x2

e− 2 dx.

−∞

Remarque 3.2.3. On dit encore que la suite des variables aléatoires Zn converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

3.3

Approximations

Approximation guassienne d’une loi binomiale. Si n ≥ 30 et npq ≥ 3 alors la loi √ normale N (np, npq) constitue une bonne approximation de la loi binomiale B(n, p). Autremnt dit, on a FB(n,p) (x) ≈ FN (np,√npq) (x), ou

  √ P (B(n, p) ≤ x) ≈ P N (np, npq) ≤ x .

Approximation guassienne d’une loi de poisson. Si λ ≥ 20 alors la loi normale √ N (λ, λ) constitue une bonne approximation de de la loi de Poisson P (λ). Autremnt dit, on a FP (λ) (x) ≈ FN (λ,√λ) (x), ou

  √ P (P (λ) ≤ x) ≈ P N (λ, λ) ≤ x .

36CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES Remarque 3.3.1. On utilisera souvent la loi normale centrée réduite en écrivant !   x − np √ P N (np, npq) ≤ x = P N (0, 1) ≤ √ , npq et

3.4

!   √ x−λ , P N (λ, λ) ≤ x = P N (0, 1) ≤ √ λ

Couple de variables aléatoires

Définition 3.4.1. La fonction de répartition du couple (X, Y ) (ou fonction de répartition conjointe) est une fonction de R2 dans [0, 1] définie par FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y). Propriétés 3.4.1. On a les propriétés suivantes : (i) limx,y→+∞ FX,Y (x, y) = 1 (ii) limx→−∞ FX,Y (x, y) = 0 (iii) limy→−∞ FX,Y (x, y) = 0 (iv) limx→+∞ FX,Y (x, y) = FY (y) (v) limy→+∞ FX,Y (x, y) = FX (x)

3.4.1

Fonction densité conjointe

Définition 3.4.2. La fonction de densité du couple (X, Y ) est définie, si elle existe, par pour tout x et y, ∂2 FX,Y (x, y) fX,Y (x, y) = ∂x∂y On peut également donner la fonction de rÂťepartition conjointe en fonction de la fonction densité : Zx Zy FX,Y (x, y) = fX,Y (u, v)dudv, ∀(x, y) ∈ R2 . −∞

−∞

Plus généralement Z Z P (X, Y ∈ D) = D

fX,Y (u, v)dudv, ∀(x, y) ∈ R2

3.5. EXERCICES

37

Exerice 3.4.1. Soit (X, Y ) un couple dont la loi conjointe est une loi uniforme sur [0, 1] × [0, 1] ( 1, si (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] f (x) = 0, sinon 1. Vérifier que f est bien une densité. 2. Soit D = ((x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0 et x + y < 1. Calculer P (X, Y ∈ D) . Propriétés 3.4.2. On a les propriétés suivantes : (i) la densité marginale de X est donnée par : fX (x) =

R +∞

fX,Y (x, y)dy. R−∞ +∞ (ii) la densité marginale de Y est donnée par : fY (x) = −∞ fX,Y (x, y)dx. R +∞ R +∞ (iii) −∞ −∞ fX,Y (x, y)dxdy = 1. Exerice 3.4.2. Soit (X, Y ) un couple dont la densité conjointe est donnée par ( 2 kx + y 2 − xy, si (x, y) ∈ [1, 1] × [1, 0] f (x) = 0, sinon 1. Déterminer k pour que f soit effectivement une fonction densité d’un couple (X, Y ). 2. Calculer P (0 ≤ X ≤ 1, −1/2 ≤ Y ≤ 0). 3. Calculer les fonctions densité marginales. 4. Calculer la fonction de répartition conjointe. Remarque 3.4.1. Pour le calcul de covariance, on utilise Z +∞ Z +∞ E(XY ) = xyfX,Y (x, y)dxdy, −∞

−∞

et plus généralement Z

+∞ Z +∞

E(g(XY )) = −∞

3.5

−∞

g(xy)fX,Y (x, y)dxdy.

Exercices

Exerice 3.5.1. Soit f la fonction définie par ( x , si x ∈ [−2, 2] f (x) = 8 0, sinon

38CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES 1. Montrer que f est une densité de probabilité. 2. Calculer la fonction de répartition F associée. Exerice 3.5.2. Soit f la fonction définie par ( ax(1 − x), f (x) = 0,

si x ∈ [0, 1] sinon

1. Pour quelle valeur de a, f est-elle une densité de probabilité ? 2. Calculer alors E(X) et V (X) pour une variable aléatoire X admettant cette densité. Exerice 3.5.3. Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition F est définie par  0, si x ≤ 0     3x  , si 0 ≤ x ≤ 1  4 f (x) =  2 x   − + x, si 1 ≤ x ≤ 2    1, 4 si x ≥ 2 1. Vérifier que F est bien une fonction de répartition. 2. Déterminer une densité de probabilité pour X et la représenter graphiquement. Exerice 3.5.4. Calculer E(X) et V ar(X) lorsque X suit : 1. la loi uniforme, 2. la loi exponentielle. Exerice 3.5.5. Soit X ∼ U ([0, 1]). 1. Déterminer la fonction de répartition F de X et la représenter graphiquement. 2. Donner la valeur de la médiane. 3. Calculer P (X < 3/2); P (1/2 < X ≤ 5/4); P (X < 4/3/X < 3/2). Exerice 3.5.6. Une usine fabrique 9000 unités d’un certains produit en un temps t. Pour cette même période, la demande, en milliers d’unités, concernant ce produit peut être considérée comme une variable aléatoire D suivant une loi exponentielle de paramètre 1/3. 1. Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ? 2. Quelle devrait être la production pour que cette demande ne dépasse pas 4% ? Exerice 3.5.7. (Absence de mémoire de la loi exponentielle). Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. 1. Déterminer la fonction de répartition F de X. 2. Pour un réel t, exprimer P (X > t) à l’aide de F(t).

3.5. EXERCICES

39

3. En déduire que X vérifie la propriété d’absence de mémoire : P (X > t + s/X > s) = P (X > t); s ∈ R, t ∈ R : Exerice 3.5.8. Soit T une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. 1. Calculer : P (T < 0), P (T < 2.04), P (T < −1.95), P (−1 < T < 2), P (−3 < T < −1). 2. Déterminer les réels t tels que : P (T < t) = 0.8283, P (T < t) = 0.1112, P (0 < T < t) = 0.4878. Exerice 3.5.9. Une entreprise distribue un certain aliment dans une boîte métallique dont le poids, après remplissage, est en moyenne de 340 grammes, avec un écart-type de 6 grammes. 1. Quelle est la probabilité qu’une boîte, choisie au hasard dans la production, ait un poids compris entre 334 et 346 grammes ? 2. Sur une production de 10 000 boîtes, combien auront un poids inférieur à 330 grammes ? ( faire une approximation par une loi normale. Exerice 3.5.10. Une usine fabrique des vis dont 3% ont des défauts. 1. On prélève 1000 vis au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir plus de 50 vis défectueuses ? Entre 20 et 40 vis défectueuses ? 2. On veut 1950 vis sans défaut. Par prudence, on en prélève 2000 au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir suffisamment de vis en bon état ? Exerice 3.5.11. Le nombre de pannes, par mois, sur une certaine machine, suit une loi de Poisson de moyenne égale à 3. Un atelier fonctionne avec 12 machines de ce type, indépendantes. En un mois, quelle est la probabilité de constater dans cet atelier 1. plus de 42 pannes ? 2. entre 36 et 45 pannes ?

40CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES

Travaux dirigés

3.5. EXERCICES

41

Université Abdelmalek Essaâdi [email protected]

Faculté des Sciences et Techniques - Tanger Année universitaire 2012-2013 (portail E.E.A et G.ID )

Dénombrements TD 1 Exemple 3.5.1. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, chaque chiffre n’etant présent qu’une fois, de façon que chaque nombre commence par un 7 et soit divisible par 5 : 1. Si les nombres sont de 8 chiffres ? 2. Si les nombres sont de 6 chiffres ? Exemple 3.5.2. Combien de nombres de 4 chiffres peut-on former avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 1. 2. 3. 4.

si aucune restriction n’est imposée ? si les répétitions sont interdites ? si pas de répétitions et le dernier chiffre est 0 ? Reprendre l’exercice sachant que l’on utilise seulement les chiffres paires ?

Exemple 3.5.3. Un parking comprend 10 places. 1. De combien de façons peut-on placer 6 votures dans ce parking ? 2. Si une place particulière est attribuée au départ à une des 6 voitures. De combien de façons le rangement peut-il être effectué ? Exemple 3.5.4. Dans un pays, les plaques des voitures sont formées de 2 lettres suivies de 3 chiffres : 1. Combien de plaques peut-on avoir ? 2. combien y a-t-il de plaques ayant un chiffres se répète deux fois seulement ? Exemple 3.5.5. Une équipe de recherche composée de 4 économistes et 7 juristes doit étudier deux thèmes A et B Le thème A nécessite 2 économistes 4 juristes, les autres chercheurs étudient le thème B. De combien de façons peut-on répartir les 11 chercheurs sur les deux thèmes A et B si 1. Aucune restriction n’est faite. 2. L’économiste X et le juriste Y ne doivent pas travailler ensemble. Exemple 3.5.6. De combien y a-t-il de façons d’asseoir 4 femmes et 5 hommes en lignes si : 1. Aucune restriction n’est imposée ? 2. Les femmes acceptent seulement les places paires ?

42CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - LOIS CONTINUES USUELLES Exemple 3.5.7. 5 films discernables sont classés de 1 à 10. 1. Donner le nombre de classements. 2. Donner le nombre de classements sachant que le film 2 a la note 4. 3. Donner le nombre de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois. 4. Donner le nombre de classements sachant que la note 1 a été attribuée 2 fois. Exemple 3.5.8. On lance une pièce de monnaie 5 fois de suite et on note dans l’ordre l’apparition de PILE ou FACE : 1. Donner le nombre de suites de PILE ou FACE obtenues. 2. Donner le nombre de suites comportant deux PILE. 3. Donner le nombre de suites comportant au moins deux PILE. 4. Donner le nombre de suites comportant au moins un PILE et un FACE. Exemple 3.5.9. On lance 3 dés identiques à 5 faces discernables et on note le nombre de fois où chaque face est apparue. 1. Donner le nombre de résultats. 2. Donner le nombre de résultats comportant 2 fois la face 2. Exemple 3.5.10. Une urne comptient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On effectue 5 tirages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue. 1. Donner le nombre de résultats. 2. Donner le nombre de résultats sachant que la boule numéro 1 n’est pas apparue. 3. Donner le nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins une fois. Exemple 3.5.11. 8 enseignants indiscernables sont affectés à 4 écoles discernables. 1. Donner le nombre d’affectations. 2. Donner le nombre d’affectations si l’école numéro 2 reçoit 3 enseignants. 3. Donner le nombre d’affectations si chaque école reçoit au moins un enseignant. Exemple 3.5.12. Une personne dispose de 20000 euro à investir sur 4 placements discernables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants : 1. certains placements peuvent être ignorés. 2. tous les placements sont pourvus d’au moins un euro. 3. les deux placements MABROK1 et MABROK2 (ensemble) sont pourvus de 15000. 4. exactement deux placements (ensemble) sont pourvus de 15000. 5. exactement deux placements (ensemble) sont pourvus d’au moins 15000. Exemple 3.5.13. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire trois boules successivement avec remise. Donner le nombre de résultats ayant trois nombres dans un ordre strictement croissant.

3.5. EXERCICES

43

Intégrale Π(t) de la Loi Normale Centrée Réduite N (0; 1). Z Π(t) = P (X ≤ t) = t 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

t

x2 1 e− 2 dx et Π(−t) = 1 − Π(t). √ −∞ 2π

0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

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