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Panorama 8 Unité 8.1-3  Énoncés mathématiques sur les triangles  La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 180°

𝑚 ∠𝐶𝐴𝐵 + 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 + 𝑚 ∠𝐵𝐶𝐴 = 100° + 35° + 45° = 180°

 La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents

𝑚 ∠𝐴𝐵𝐷 = 100° + 45° = 145°

 Dans tout triangle, la mesure d’un côté quelconque est plus petite que la somme des mesures des deux autres côtés 

𝑚 𝐴𝐶 < 𝑚 𝐴𝐵 + 𝑚 𝐶𝐵 5



8 +

10

𝑚 𝐴𝐵 < 𝑚 𝐴𝐶 + 𝑚 𝐶𝐵 8



<

<

5 +

10

𝑚 𝐶𝐵 < 𝑚 𝐴𝐵 + 𝑚 𝐴𝐶 10 <

8 +

5

 La somme des mesures de deux côtés d’un triangle est toujours supérieure à la mesure du troisième côté 

𝑚 𝐴𝐵 + 𝑚 𝐶𝐵 > 𝑚 𝐴𝐶 8



10

>

5

𝑚 𝐴𝐶 + 𝑚 𝐶𝐵 > 𝑚 𝐴𝐵 5



+

+

10

>

8

𝑚 𝐴𝐵 + 𝑚 𝐴𝐶 > 𝑚 𝐶𝐵 8

+

5

>

10

 Dans tout triangle, au plus grand angle est opposé le plus grand côté  Le petit angle est opposé au petit côté  Le moyen angle est opposé au moyen côté  Le grand angle est opposé au grand côté

 Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques

Comme le segment AC est isométrique au segment AB et que les angles ACB et ABC sont opposés à ces côtés, alors l’angle ACB est isométrique à l’angle ABC.

 Dans tout triangle isocèle, les côtés opposés aux angles isométriques sont isométriques

Comme l’angle ACB est isométrique à l’angle ABC et que les segments AC et AB sont opposés à ces angles, alors le segment AC est isométrique au segment AB.

 Dans tout triangle équilatéral, les angles mesurent 60° Comme la somme des mesures des angles intérieurs est 180°, alors lorsqu’on divise ce nombre par trois puisque les angles sont isométriques, on obtient 60° pour chaque angle.

 Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires Comme la somme des mesures des angles intérieurs est 180°, alors lorsqu’on soustrait 90° à 180°, il reste 90° à partager entre les deux angles aigus.

 Dans tout triangle rectangle isocèle, chacun des angles aigus mesure 45° Comme il reste 90° à partager entre les deux angles aigus et que ces deux angles aigus sont isométriques, il faut diviser le 90° par deux ce qui donne 45° pour chaque angle aigus.

 L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une médiane, une médiatrice et une bissectrice de ce triangle

 Les trois axes de symétrie d’un triangle équilatéral supportent les médianes, les médiatrices et les bissectrices de ce triangle

 Démonstrations dans les triangles o Exemple : Le triangle MNO est isocèle et NP est une bissectrice. a) Trouve la mesure de l’angle RMN. b) Si m 𝑂𝑃 = 6,5 cm, alors qu’elle est la m 𝑀𝑃 ?

Affirmations

Justifications Une bissectrice coupe un angle en deux angles

𝑚 ∠𝑀𝑁𝑃 = 50°

𝑚 ∠𝑁𝑀𝑃 = (180 – 2 x 50) ÷ 2 = 40°

𝑚 ∠𝑅𝑀𝑁 = 180 – 40 = 140°

congrus (∠𝑀𝑁𝑃 𝑒𝑡 ∠𝑂𝑁𝑃).

Dans tout triangle isocèle (∆MNO), les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques (∠𝑁𝑀𝑃 𝑒𝑡 ∠𝑁𝑂𝑃). Des angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en

ligne

droite

sont

supplémentaires

(∠𝑅𝑀𝑁 𝑒𝑡 ∠𝑃𝑀𝑁).

L’axe de symétrie d’un triangle isocèle (∆MNO) 𝑚 𝑀𝑃 = 6,5 cm

supporte une médiane, une médiatrice et une bissectrice de ce triangle.