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Mathématiques HEP1 1 SERIE 3 Exercice 1

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Les nombres premiers ne se trouvent que dans les colonnes du 1 et du 5, sauf pour la première ligne à cause du 2 et du 3. Ceci est dû au fait que les colonnes du 2, du 4 et du 6 contiennent des nombres pairs, et que celle du 3 contient des multiples de 3.

Exercice 2 Révision a) Donner tous les diviseurs de 36, puis de 54. D36 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36} et D54 : {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54} Quels sont les diviseurs communs que vous trouvez dans les deux ensembles ? D18 : {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18} Quel est le plus grand diviseur commun (PGDC) de 36 et 54 : 18 b) Donner les 10 premiers multiples de 6, puis de 8. M6 : {6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60…} M8 : {8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; 80…} Quels sont les multiples communs que vous trouvez dans les deux ensembles ? 24 ; 48 ; … Quel est le plus petit multiple commun (PPMC) de 6 et 8 ? 24

Exercice 3 Ex 13 de 6ème (8èmeH) Ils partent ensemble 8 fois dans la journée : toutes les 90 min qui est le ppmc(10;15;18) . Premier départ 07h00, dernier départ 17h30. Si on admet qu’un départ est possible à 19h00, cela ferait 9 fois dans la journée ! Ex 12 de 6ème (8èmeH) Intervalle maximum : 64 m (pgdc de 256 et 320)

Exercice 4

la solution est 2 ans – 6 ans – 8 ans.

Exercice 5

Quels chiffres, donner toutes les possibilités, peut-on mettre à la place des points pour que le nombre a) 874 . soit divisible par 5 : 0 ; 5 b) 324 . soit divisible par 6 : 0 ; 6 c) 144 . soit divisible par 9 : 0 ; 9 d) 7 . 4 soit divisible par 4 : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 e) 1 . 2 .soit divisible par 5 et par 9: 1620 et 1125 f) 32 . 5soit divisible par 3 mais pas par 9. : 2 ; 5

Exercice 6 Décompose ces nombres en produits de facteurs premiers les nombres suivants: 3. . 120 = 2 3 5 180 = 22 . 32 . 5 117 = 32 . 13 100 = 22 . 52 pgdc (120 ; 180) = 22 . 3 . 5 = 60 ppmc (117 ; 100) = 22 . 32 . 52 . 13 = 117000 2 pgdc (180 ; 117) = 3 = 9 ppmc (100 ; 120) = 23 . 3 . 52 = 600 Montrer, sur un exemple, la relation : m . n = PGDC(m;n) . PPMC(m;n) m = 120 ; n = 100 ; PGDC(m;n) = 22 . 5 = 20 ; PPMC (100 ; 120) = 22 . 3 . 52 = 600 alors : 120 . 100 = 20 . 600

Mathématiques HEP1 2 SERIE 3 Exercice 7 Donner tous les diviseurs de 56 et de 84 et trouver le pgdc de 56 et 84 D56 : {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56} et D84 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84} Utiliser la méthode de la soustraction pour trouver le pgdc de 56 et 84 Utiliser la méthode de la division pour trouver le pgdc de 56 et 84 84 – 56 = 28 84 : 56 = 1 . 56 + 28 56 – 28 = 28 56 : 28 = 2 . 28 + 0 28 – 28 = 0 PGDC(56 ; 84) = 28 PGDC(56 ; 84) = 28

Exercice 8

Expliquer, par des calculs et des phrases, comment fonctionnent les critères de divisibilité par 4 ; par 9. Les nombres de plus de deux chiffres peuvent se décomposer en une somme de deux nombres : Ex : 856 = 800 + 56 -- 1235689 = 1235600 + 89 -- 5678 = 5600 + 78 Comme 100 est divisible par 4 tous les premiers nombres le sont aussi ; il suffit donc de regarder si les deux derniers chiffres forment un nombre qui est un multiple de 4. (Ex : 856  M4) 4786 = 4000 + 700 + 80 + 6 4786 = 4 . 1000 + 7 . 100 + 8 . 10 + 6 4786 = 4 . (999 + 1) + 7 . (99 + 1) + 8 . (9 + 1) + 6 4786 = 4 . 999 + 4 + 7 . 99 + 7 + 8 . 9 + 8 + 6 4786 = 4 . 999 + 7 . 99 + 8 . 9 + 4 + 7 + 8 + 6 comme 999, 99, 9 sont divisibles par 9, il ne reste plus qu'à vérifier si la somme 4 + 7 + 8 + 6 est divisible par 9. Un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties, l’une de 2,88 m de hauteur, l’autre de 3,52 m de hauteur. Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches. (Donner une réponse plausible !) On cherche les diviseurs communs de 288cm et 352cm : D32 : {1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32} Les marches auront 16 cm de hauteur et il y en aura 40 (18 + 22). Exercice 9

Exercice 10 Montrer, d'abord à l'aide d'exemples chiffrés puis à l'aide de lettres, si le produit a) de deux nombres pairs est un nombre pair. b) de deux nombres impairs est un nombre impair. 8 . 12 = 84 7 . 9 = 63 . 2n 2m = 4 nm = 2 . 2mn (2n + 1) . (2m + 1) = 4 nm + 2n + 2m + 1 (pair) (pair) (pair) (pair) c) d'un nb. pair par un nb. impair est un nombre pairs. d) d'un nombre et de son inverse vaut 1.

8 . 7 = 56

10 . 0,1= 1

2n . (2m + 1) = 4 nm + 2n

n.

𝟏 𝐧

=1

(pair) (pair) Exercice 11 Deux nombres, m et n, sont écrits sous forme de produits de nombres premiers : m = 2 · 3 · 5 et n = 22 · 5 · 7. Réponds aux questions suivantes sans calculer m et n. a) 20 est-il diviseur de n? b) 6 est-il diviseur de m? oui car 22 · 5 oui car 2 · 3 c) 10 est-il diviseur de n? d) Quel est le pgdc de m et de n? oui car 2 · 5 pgdc ( m ; n ) = 2 · 5 e) Quel est le ppmc de m et de n? f) Duquel des deux nombres 4 est-il diviseur? ppmc ( m ; n ) = 22 · 3 . 5 · 7 de n car 22 = 4 g) Duquel des deux nombres 15 est-il diviseur? de m car 3 · 5 = 15