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Panorama 4 Unité 4.4  Les angles intérieurs d’un triangle 

Triangle quelconque

Énoncé de géométrie associé : 8) La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.

Donc, m ∠BAC + m ∠ABC + m ∠ACB = 180°

o Exemple : Quelle est la mesure de l’angle ACB? m ∠ACB = 180 – 42 – 100 = 38°, car la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 180°.



Triangle équilatéral

Énoncé de géométrie associé : 10) Dans un triangle équilatéral, chaque angle intérieur mesure 60°.

Comme les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux, chacun d’eux mesure 60°, car 180° ÷ 3 = 60°.

 Les angles formés par deux droites sécantes 

Droites sécantes Ce sont deux droites qui se coupent en un seul point.



Angles opposés par le sommet

Énoncé de géométrie associé : 3) Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

∠1 ≅ ∠3 et ∠2 ≅ ∠4

o Exemple : Quelle est la mesure de l’angle 3?

m ∠3 = 50°, car les angles opposés par le sommet sont isométriques.



Angles adjacents Pour que deux angles soient adjacents, il y a trois conditions à respecter :  Ils doivent avoir le même sommet.  Ils doivent avoir un côté commun.  Ils doivent être situés de part et d’autre (donc de chaque côté) du côté commun.

Voici deux exemples d’angles adjacents qui respectent ces trois conditions :

Les angles suivants ne sont pas adjacents. Pourquoi?

Ils n’ont pas de côté commun.

Ils n’ont pas le même sommet.

Ils ne sont pas situés de part et d’autre du côté commun.



Angles complémentaires

Énoncés de géométrie associés : 4) Deux angles dont la somme des mesures est de 90° sont complémentaires. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont perpendiculaires 2) complémentaires. o Exemple 1 : De quel type d’angles s’agit-il?

Les angles E et F sont complémentaires, car m ∠E + m ∠F = 62° + 28° = 90°.

sont

o Exemple 2 : Quelle est la mesure de l’angle BDC? m ∠BDC = 90 – 31 = 59°, car les angles adjacents dont les

côtés

extérieurs

sont

perpendiculaires

sont

complémentaires.



Angles supplémentaires

Énoncés de géométrie associés : 5) Deux angles dont la somme des mesures est de 180° sont supplémentaires. 1) Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires. o Exemple 1 : De quel type d’angles s’agit-il?

Les angles E et F sont supplémentaires, car m ∠E + m ∠F = 60° + 120° = 180°.

o Exemple 2 : Quelle est la mesure de l’angle BDC? m ∠BDC = 180 – 142 = 38°, car les angles adjacents dont les

côtés

extérieurs

supplémentaires.

sont

en

ligne

droite

sont

 Les angles formés par une droite sécante à deux autres droites 

Régions formées Deux régions distinctes sont formées par ces trois droites :



Angles alternes-internes Pour que deux angles soient alternes-internes, il y a trois conditions à respecter :  Ils ne doivent PAS avoir le même sommet.  ALTERNES : ils doivent être situés de CHAQUE CÔTÉ de la sécante.  INTERNES : ils doivent être situés à l’INTÉRIEUR des parallèles.

Il y a donc deux paires d’angles alternes-internes :



-

L’angle 3 avec l’angle 5

-

L’angle 4 avec l’angle 6

Angles alternes-externes Pour que deux angles soient alternes-externes, il y a trois conditions à respecter :  Ils ne doivent PAS avoir le même sommet.  ALTERNES : ils doivent être situés de CHAQUE CÔTÉ de la sécante.  EXTERNES : ils doivent être situés à l’EXTÉRIEUR des parallèles.

Il y a donc deux paires d’angles alternes-externes :



-

L’angle 1 avec l’angle 7

-

L’angle 2 avec l’angle 8

Angles correspondants Pour que deux angles soient correspondants, il y a trois conditions à respecter :  Ils ne doivent PAS avoir le même sommet.  Ils doivent être situés du MÊME CÔTÉ de la sécante.  Il doit y en avoir UN À l’INTÉRIEUR des parallèles et l’AUTRE À l’EXTÉRIEUR. *** Truc : On peut « glisser » un angle sur l’autre.

Il y a donc quatre paires d’angles correspondants :



-

L’angle 1 avec l’angle 5

-

L’angle 2 avec l’angle 6

-

L’angle 3 avec l’angle 7

-

L’angle 4 avec l’angle 8

Droites parallèles et angles isométriques Énoncés de géométrie associés :

6) Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les alternes-internes sont isométriques. 6) Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les alternes-externes sont isométriques. 6) Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les correspondants sont isométriques.

Si les deux droites d1 et d2 sont parallèles, les trois types d’angles précédents formeront des angles congrus.

Par conséquent, -

Les angles alternes-internes sont isométriques : ∠ 3 ≅ ∠ 5 et ∠ 4 ≅ ∠ 6

-

Les angles alternes-externes sont isométriques : ∠ 1 ≅ ∠ 7 et ∠ 2 ≅ ∠ 8

-

Les angles correspondants sont isométriques : ∠ 1 ≅ ∠ 5 , ∠ 2 ≅ ∠ 6 , ∠ 3 ≅ ∠ 7 et ∠ 4 ≅ ∠ 8

 Les autres énoncés de géométrie 7)

Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les paires d'angles internes situés du même côté de la sécante sont supplémentaires.

Donc, -

m ∠ 4 + m ∠ 5 = 180°

-

m ∠ 3 + m ∠ 6 = 180°

9) Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.

Donc, m ∠ ABC + m ∠ BAC = 90°

12)

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles isométriques.

Donc, m ∠ DAC = m ∠ BAC

13) La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

̅̅̅̅ Donc, m ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = m 𝐶𝐵

11) Les éléments homologues de figures planes isométriques ont la même mesure. Suite à une des 3 transformations géométriques, puisque la figure initiale est isométrique à la figure image, les angles homologues sont congrus, de même que les côtés homologues.

 Démonstrations L’objectif de ces exercices est de trouver la mesure demandée en se servant des informations fournies : JAMAIS DU RAPPORTEUR D’ANGLE. Par contre, pour y parvenir, il faudra trouver certaines informations manquantes. À chaque fois que tu trouveras une nouvelle information, tu devras justifier celle-ci à l’aide des énoncés géométriques. *** Petit conseil : inscrit toutes les informations connues sur la figure et, au fur et à mesure que tu en trouveras de nouvelles, ajoute-les à la figure. De cette manière, tu auras une vision de l’ensemble de la situation.

o Exemple 1 : Si d2 // d3, et m ∠ 1 = 110°, trouve la mesure de tous les autres angles.

Affirmations

Justifications Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ 2 = 70°

sont supplémentaires (∠ 2 et ∠ 1).

m ∠ 3 = 110°

Les angles opposés par le sommet (∠ 3 et ∠ 1) sont isométriques.

m ∠ 4 = 70°

Les angles opposés par le sommet (∠ 4 et ∠ 2) sont isométriques. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles

m ∠ 5 = 110°

correspondants (∠ 5 et ∠ 3) sont isométriques. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ 6 = 70°

sont supplémentaires (∠ 6 et ∠ 5).

m ∠ 7 = 110°

Les angles opposés par le sommet (∠ 5 et ∠ 7) sont isométriques.

m ∠ 8 = 70°

Les angles opposés par le sommet (∠ 8 et ∠ 6) sont isométriques. Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires

m ∠ 9 = 20°

(∠ 9 et ∠ 8).

o Exemple 2 : Si d1 // d2, trouve la mesure de tous les autres angles.

Affirmations

Justifications

m ∠ 1 = 60°

Dans un triangle équilatéral, chaque angle intérieur mesure 60°.

m ∠ 2 = 60°

Dans un triangle équilatéral, chaque angle intérieur mesure 60°. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ 3 = 120°

sont supplémentaires (∠ 3 et ∠ 1). Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ 4 = 120° m ∠ 5 = 60°

sont supplémentaires (∠ 4 et ∠ 2). Dans un triangle équilatéral, chaque angle intérieur mesure 60°. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ 6 = 120°

sont supplémentaires (∠ 6 et ∠ 5).

m ∠ 7 = 120°

Les angles opposés par le sommet (∠ 6 et ∠ 7) sont isométriques.

m ∠ 8 = 60°

Les angles opposés par le sommet (∠ 8 et ∠ 5) sont isométriques. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles

m ∠ 9 = 120°

correspondants (∠ 9 et ∠ 6) sont isométriques.

m ∠ 10 = 120°

Les angles opposés par le sommet (∠ 10 et ∠ 9) sont isométriques. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ 11 = 60°

sont supplémentaires (∠ 11 et ∠ 9).

m ∠ 12 = 60°

Les angles opposés par le sommet (∠ 12 et ∠ 11) sont isométriques.

m ∠ 13 = 180°

Un angle plat mesure 180°.

o Exemple 3 : Dans la figure suivante, l’angle SQR mesure 18° et l’angle SRQ mesure 27°. Quelle est la mesure de l’angle TSQ?

Affirmations

Justifications

m ∠ QSR = 135°

La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ TSQ = 45°

sont supplémentaires (∠ TSQ et ∠ QSR).

o Exemple 4 : Dans la figure suivante, l’angle NMO mesure 45° et l’angle NOP mesure 115°. Quelle est la mesure de l’angle MNO?

Affirmations

Justifications Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite

m ∠ MON = 65° m ∠ MNO = 70°

sont supplémentaires (∠ MON et ∠ NOP). La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180°.