Télécharger maintenant!

Probabilités : rappels de première

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Probabilités : Rappels de Première - TS

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire

LPO de Chirongui

Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

25 août 2015

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

1 Vocabulaire 2 Variable aléatoire

Variable aléatoire Loi de probabilité

3 Loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

4 Espérance mathématique

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

5 Loi de Bernoulli et loi binomiale 6 Savoir faire 7 Intervalle de fluctuation 8 Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Définition: Une expérience aléatoire est une expérience qui peut conduire à plusieurs issues, appelées encore résultats possibles ou éventualités, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant que l’expérience soit réalisée.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Définition: Une expérience aléatoire est une expérience qui peut conduire à plusieurs issues, appelées encore résultats possibles ou éventualités, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant que l’expérience soit réalisée.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ω des résultats ou éventualités possibles.

2

On appelle événement tout sous-ensemble de l’univers.

3

Un événement élémentaire est un événement formé d’une unique éventualité.

4

Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ω ou si un événement A contient ω, on dit que l’événement A est réalisé.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ω des résultats ou éventualités possibles.

2

On appelle événement tout sous-ensemble de l’univers.

3

Un événement élémentaire est un événement formé d’une unique éventualité.

4

Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ω ou si un événement A contient ω, on dit que l’événement A est réalisé.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ω des résultats ou éventualités possibles.

2

On appelle événement tout sous-ensemble de l’univers.

3

Un événement élémentaire est un événement formé d’une unique éventualité.

4

Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ω ou si un événement A contient ω, on dit que l’événement A est réalisé.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ω des résultats ou éventualités possibles.

2

On appelle événement tout sous-ensemble de l’univers.

3

Un événement élémentaire est un événement formé d’une unique éventualité.

4

Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ω ou si un événement A contient ω, on dit que l’événement A est réalisé.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’univers associé à une expérience aléatoire est l’ensemble Ω des résultats ou éventualités possibles.

2

On appelle événement tout sous-ensemble de l’univers.

3

Un événement élémentaire est un événement formé d’une unique éventualité.

4

Si, à l’issue d’une expérience aléatoire on obtient l’éventualité Ω ou si un événement A contient ω, on dit que l’événement A est réalisé.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Incompatibilité, complémentarité Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

Des événement A et B sont incompatibles (ou disjoint) sont des événements tels que A ∩ B = ∅.

2

Des événements A et B contraires (ou complémentaires) sont des événements tels que A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω. On note alors B = A.

3

A ∪ B est l’événement «A ou B».

4

A ∩ B est l’événement «A et B»

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Incompatibilité, complémentarité Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

Des événement A et B sont incompatibles (ou disjoint) sont des événements tels que A ∩ B = ∅.

2

Des événements A et B contraires (ou complémentaires) sont des événements tels que A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω. On note alors B = A.

3

A ∪ B est l’événement «A ou B».

4

A ∩ B est l’événement «A et B»

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Incompatibilité, complémentarité Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

Des événement A et B sont incompatibles (ou disjoint) sont des événements tels que A ∩ B = ∅.

2

Des événements A et B contraires (ou complémentaires) sont des événements tels que A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω. On note alors B = A.

3

A ∪ B est l’événement «A ou B».

4

A ∩ B est l’événement «A et B»

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Incompatibilité, complémentarité Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

Des événement A et B sont incompatibles (ou disjoint) sont des événements tels que A ∩ B = ∅.

2

Des événements A et B contraires (ou complémentaires) sont des événements tels que A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω. On note alors B = A.

3

A ∪ B est l’événement «A ou B».

4

A ∩ B est l’événement «A et B»

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises par X.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Définition:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces réels est l’ensemble des valeurs prises par X.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.

Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 L’ensemble des issues peut être modélisé par : E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 2 On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1e si la face du dé qui sort est la face 1, 2 ou 3, on gagne 3e si c’est la face 4, et on perd 2e si c’est la face 5 ou 6. 3 Cette règle du jeu définit la variable aléatoire sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1 à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6 ». 4 L’ensemble des valeurs prises par X est ici E 0 = { − 2; 1; 3}.

5 Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à chaque issue de E un unique réel.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.

Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 L’ensemble des issues peut être modélisé par : E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 2 On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1e si la face du dé qui sort est la face 1, 2 ou 3, on gagne 3e si c’est la face 4, et on perd 2e si c’est la face 5 ou 6. 3 Cette règle du jeu définit la variable aléatoire sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1 à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6 ». 4 L’ensemble des valeurs prises par X est ici E 0 = { − 2; 1; 3}.

5 Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à chaque issue de E un unique réel.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré. Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 L’ensemble des issues peut être modélisé par : E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 2 On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1e si la face du dé qui sort est la face 1, 2 ou 3, on gagne 3e si c’est la face 4, et on perd 2e si c’est la face 5 ou 6. 3 Cette règle du jeu définit la variable aléatoire sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1 à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6 ». 4 L’ensemble des valeurs prises par X est ici E 0 = { − 2; 1; 3}.

5 Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à chaque issue de E un unique réel.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré. Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 L’ensemble des issues peut être modélisé par : E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 2 On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1e si la face du dé qui sort est la face 1, 2 ou 3, on gagne 3e si c’est la face 4, et on perd 2e si c’est la face 5 ou 6. 3 Cette règle du jeu définit la variable aléatoire sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1 à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6 ». 4 L’ensemble des valeurs prises par X est ici E 0 = { − 2; 1; 3}.

5 Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à chaque issue de E un unique réel.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré. Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 L’ensemble des issues peut être modélisé par : E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 2 On décide la règle du jeu suivante : on gagne 1e si la face du dé qui sort est la face 1, 2 ou 3, on gagne 3e si c’est la face 4, et on perd 2e si c’est la face 5 ou 6. 3 Cette règle du jeu définit la variable aléatoire sur E qui associe 1 à l’issue « 1 », 1 à l’issue « 2 »,1 à l’issue « 3 »,3 à l’issue « 4 », —2 à l’issue « 5 » et à l’issue « 6 ». 4 L’ensemble des valeurs prises par X est ici E 0 = { − 2; 1; 3}.

5 Une variable aléatoire est une fonction de E dans R, puisque l’on associe à chaque issue de E un unique réel.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Événements liés à une variable aléatoire Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire

Définition:

Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. L’ensemble des valeurs prises par X est : E 0 = {x1 ; x2 ; .....; xr } où les valeurs sont des nombres réels souvent rangées par ordre croissant. Le nombre xi , est associé à une ou plusieurs issues de E .

Savoir faire Intervalle de fluctuation

1

L’événement «X = xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel xi .

2

L’événement «X ≥ xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à xi .

Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Événements liés à une variable aléatoire Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire

Définition:

Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers E. L’ensemble des valeurs prises par X est : E 0 = {x1 ; x2 ; .....; xr } où les valeurs sont des nombres réels souvent rangées par ordre croissant. Le nombre xi , est associé à une ou plusieurs issues de E .

Savoir faire Intervalle de fluctuation

1

L’événement «X = xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel xi .

2

L’événement «X ≥ xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à xi .

Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Exemple

Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Dans l’exemple précédent.

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

l’événement « X = 3 » est formé des issues « 5 » et « 6 » : c’est l’événement {5; 6} de E.

2

L’événement « X > 0» est formé des issues « 1 », « 2 », « 3 » et « 4 » car on associe 1 aux issues « 1 »,« 2 » et « 3 », et on associe 3 à l’issue « 4 » : c’est donc l’événement {1; 2; 3; 4}.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Exemple

Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Dans l’exemple précédent.

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

l’événement « X = 3 » est formé des issues « 5 » et « 6 » : c’est l’événement {5; 6} de E.

2

L’événement « X > 0» est formé des issues « 1 », « 2 », « 3 » et « 4 » car on associe 1 aux issues « 1 »,« 2 » et « 3 », et on associe 3 à l’issue « 4 » : c’est donc l’événement {1; 2; 3; 4}.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Savoir Faire:

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Méthode : Pour déterminer l’événement associé à une valeur d’une variable aléatoire, on cherche les issues donnant cette valeur.

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire

Un sac contient un jeton marqué 1 et un jeton marqué 2. On tire un jeton, on note son numéro, on le remet dans le sac, puis on effectue de même un second tirage et on fait la somme des deux nombres obtenus. Cette somme définit une variable aléatoire S.

Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1

Déterminer l’ensemble E des issues possibles de cette expérience, puis l’ensemble des valeurs prises par S.

2

Quel est l’événement de E associé à l’événement S = 3 ?

3

Quel est l’événement de E associé à l’événement S > 2 ?

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Savoir Faire Définir une variable aléatoire

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Correction: Pour déterminer l’ensemble des issues de cette expérience, on peut construire un arbre. On en déduit l’ensemble E des issues possibles : 1 E = {(J1 , J1 ); (J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}

Pour Pour Pour Pour

le le le le

tirage tirage tirage tirage

(J1 , J1 ), (J1 , J2 ), (J2 , J1 ), (J2 , J2 ),

la la la la

somme somme somme somme

est est est est

2. 3. 3. 4.

2 L’ensemble des valeurs prises par S est donc E 0 = {2; 3; 4}. 3 L’événement de E associé à l’événement «S = 3 » est A = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 )}. 4 L’événement S > 2 est formé des issues pour lesquelles la variable aléatoire S prend la valeur 3 ou la valeur 4. La somme des numéros est 4 pour l’issue (J2 , J2 ). L’événement de E associé à l’événement «S > 2 » est B = {(J1 , J2 ); (J2 , J1 ); (J2 , J2 )}.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA

La probabilité de l’événement « X = xi » est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi .

Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique

Exemple

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Si l’on reprend l’exemple du dé , le nombre −2 est associé aux issues « 5» et « 6 », donc la probabilité de l’événement « X = −2 » est celle de l’événement {5; 6} de E . Par équiprobabilité dans 2 1 E : P(X = −2) = P{5; 6} = = 6 3

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA

La probabilité de l’événement « X = xi » est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi .

Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique

Exemple

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Si l’on reprend l’exemple du dé , le nombre −2 est associé aux issues « 5» et « 6 », donc la probabilité de l’événement « X = −2 » est celle de l’événement {5; 6} de E . Par équiprobabilité dans 2 1 E : P(X = −2) = P{5; 6} = = 6 3

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA

La probabilité de l’événement « X = xi » est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi .

Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique

Exemple

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Si l’on reprend l’exemple du dé , le nombre −2 est associé aux issues « 5» et « 6 », donc la probabilité de l’événement « X = −2 » est celle de l’événement {5; 6} de E . Par équiprobabilité dans 2 1 E : P(X = −2) = P{5; 6} = = 6 3

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA

La probabilité de l’événement « X = xi » est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi .

Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique

Exemple

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Si l’on reprend l’exemple du dé , le nombre −2 est associé aux issues « 5» et « 6 », donc la probabilité de l’événement « X = −2 » est celle de l’événement {5; 6} de E . Par équiprobabilité dans 2 1 E : P(X = −2) = P{5; 6} = = 6 3

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = xi ), où xi prend toutes les valeurs de E. On présente souvent ces données sous la forme d’un tableau : xi P(X = xi )

x1 p1

x2 p2

x3 p3

... ...

... ...

xr pr

Devoir à la maison

On obtient alors un tableau similaire à celui présentant les fréquences pour une série statistique.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = xi ), où xi prend toutes les valeurs de E. On présente souvent ces données sous la forme d’un tableau : xi P(X = xi )

x1 p1

x2 p2

x3 p3

... ...

... ...

xr pr

Devoir à la maison

On obtient alors un tableau similaire à celui présentant les fréquences pour une série statistique.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = xi ), où xi prend toutes les valeurs de E. On présente souvent ces données sous la forme d’un tableau : xi P(X = xi )

x1 p1

x2 p2

x3 p3

... ...

... ...

xr pr

Devoir à la maison

On obtient alors un tableau similaire à celui présentant les fréquences pour une série statistique.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = xi ), où xi prend toutes les valeurs de E. On présente souvent ces données sous la forme d’un tableau : xi P(X = xi )

x1 p1

x2 p2

x3 p3

... ...

... ...

xr pr

Devoir à la maison

On obtient alors un tableau similaire à celui présentant les fréquences pour une série statistique.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Savoir Faire:

Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Méthode : Pour déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X , on détermine d’abord les valeurs prises par X , puis les probabilités de ces valeurs. Un jeu comporte huit cartes marquées 7, 8, 9,10, V, D, R et As. On tire une carte au hasard : la variable aléatoire X prend la valeur 10 si l’on tire 7, 8, 9 ou 10 ; la valeur 15 pour V , D ou R et la valeur 20 pour l’As. Présenter dans un tableau la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction: 1 L’expérience aléatoire donnée est définie sur l’univers E = {7; 8; 9; 10; V ; D; R; As}.

Variable aléatoire

2 Il y a équiprobabilité sur E car la carte est tirée au hasard.

Loi de probabilité

3 La variable aléatoire X prend les valeurs : 10, 15 et 20.

Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Les issues associées à 10 sont 7, 8, 9,10, d’où : 4 1 P(X = 10) = P{7; 8; 9; 10} = = 8 2 Les issues associées à 15 sont V, D, R, d’où : 3 P(X = 15) = P{V ; D; R} = . 8 1 L’issue associée à 20 est As, d’où : P(X = 20) = P{As} = 8 4 On en déduit la loi de probabilité de X ci-dessous : xi

10 15 20 1 3 1 2 8 8 5 On peut faire une vérification des probabilités trouvées, en calculant la somme : p(X = xi )

P(X = 10) + P(X = 15) + P(X = 20) =

1 3 1 + + =1 2 8 8

Probabilités : Rappels de Première - TS

Savoir Faire: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

Méthode : P(N > a) peut être calculé directement, ou bien à l’aide de l’événement contraire «N ≤ A» : P(N > a) = 1 − P(N ≤ a)

On appelle N la variable aléatoire donnant le nombre de caisses en service à l’ouverture d’un supermarché. La loi de N est donnée par le tableau ci-dessous. n P(N = n)

1 0,04

2 0,06

3 0,14

4 0,18

5 0,17

6 0,15

7 0,12

8 0,09

9 0,04

10 a

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 Déterminer le réel a. 2 Calculer P(N ≥ 8), puis P(N > 2). 3 Quelle est la probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service un jour donné ?

Probabilités : Rappels de Première - TS

Savoir Faire: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

Méthode : P(N > a) peut être calculé directement, ou bien à l’aide de l’événement contraire «N ≤ A» : P(N > a) = 1 − P(N ≤ a)

On appelle N la variable aléatoire donnant le nombre de caisses en service à l’ouverture d’un supermarché. La loi de N est donnée par le tableau ci-dessous. n P(N = n)

1 0,04

2 0,06

3 0,14

4 0,18

5 0,17

6 0,15

7 0,12

8 0,09

9 0,04

10 a

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 Déterminer le réel a. 2 Calculer P(N ≥ 8), puis P(N > 2). 3 Quelle est la probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service un jour donné ?

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

La somme des probabilités P(N = ni ) du tableau doit être égale égale à 1, d’où : 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 + 0, 18 + 0, 17 + 0, 15 + 0, 12 + 0, 09 + 0, 04 + a = 1 soit 0, 99 + a = 1.0n en déduit que a = 0, 01. P(N ≥ 8) = P(N = 8) + P(N = 9) + P(N = 10) = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 14 Pour calculer P(N > 2), qui est égal à la somme P(N = 3) + P(N = 4) + . . . + P(N = 10), on calcule d’abord la probabilité de son événement contraire P(N ≤ 2), car son calcul est plus facile. On a : P(N ≤ 2) = P(N = 1) + P(N = 2) = 0, 04 + 0, 06 = 0, 10. Puisque P(A) = 1 − P(A), on a : P(N > 2) = 1 − P(N ≤ 2) = 1 − 0, 10 = 0, 90. La probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service est P(N < 4), c’est-à-dire : P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) = 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 = 0, 24

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

La somme des probabilités P(N = ni ) du tableau doit être égale égale à 1, d’où : 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 + 0, 18 + 0, 17 + 0, 15 + 0, 12 + 0, 09 + 0, 04 + a = 1 soit 0, 99 + a = 1.0n en déduit que a = 0, 01. P(N ≥ 8) = P(N = 8) + P(N = 9) + P(N = 10) = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 14 Pour calculer P(N > 2), qui est égal à la somme P(N = 3) + P(N = 4) + . . . + P(N = 10), on calcule d’abord la probabilité de son événement contraire P(N ≤ 2), car son calcul est plus facile. On a : P(N ≤ 2) = P(N = 1) + P(N = 2) = 0, 04 + 0, 06 = 0, 10. Puisque P(A) = 1 − P(A), on a : P(N > 2) = 1 − P(N ≤ 2) = 1 − 0, 10 = 0, 90. La probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service est P(N < 4), c’est-à-dire : P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) = 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 = 0, 24

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

La somme des probabilités P(N = ni ) du tableau doit être égale égale à 1, d’où : 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 + 0, 18 + 0, 17 + 0, 15 + 0, 12 + 0, 09 + 0, 04 + a = 1 soit 0, 99 + a = 1.0n en déduit que a = 0, 01. P(N ≥ 8) = P(N = 8) + P(N = 9) + P(N = 10) = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 14 Pour calculer P(N > 2), qui est égal à la somme P(N = 3) + P(N = 4) + . . . + P(N = 10), on calcule d’abord la probabilité de son événement contraire P(N ≤ 2), car son calcul est plus facile. On a : P(N ≤ 2) = P(N = 1) + P(N = 2) = 0, 04 + 0, 06 = 0, 10. Puisque P(A) = 1 − P(A), on a : P(N > 2) = 1 − P(N ≤ 2) = 1 − 0, 10 = 0, 90. La probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service est P(N < 4), c’est-à-dire : P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) = 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 = 0, 24

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

La somme des probabilités P(N = ni ) du tableau doit être égale égale à 1, d’où : 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 + 0, 18 + 0, 17 + 0, 15 + 0, 12 + 0, 09 + 0, 04 + a = 1 soit 0, 99 + a = 1.0n en déduit que a = 0, 01. P(N ≥ 8) = P(N = 8) + P(N = 9) + P(N = 10) = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 14 Pour calculer P(N > 2), qui est égal à la somme P(N = 3) + P(N = 4) + . . . + P(N = 10), on calcule d’abord la probabilité de son événement contraire P(N ≤ 2), car son calcul est plus facile. On a : P(N ≤ 2) = P(N = 1) + P(N = 2) = 0, 04 + 0, 06 = 0, 10. Puisque P(A) = 1 − P(A), on a : P(N > 2) = 1 − P(N ≤ 2) = 1 − 0, 10 = 0, 90. La probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service est P(N < 4), c’est-à-dire : P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) = 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 = 0, 24

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

La somme des probabilités P(N = ni ) du tableau doit être égale égale à 1, d’où : 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 + 0, 18 + 0, 17 + 0, 15 + 0, 12 + 0, 09 + 0, 04 + a = 1 soit 0, 99 + a = 1.0n en déduit que a = 0, 01. P(N ≥ 8) = P(N = 8) + P(N = 9) + P(N = 10) = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 14 Pour calculer P(N > 2), qui est égal à la somme P(N = 3) + P(N = 4) + . . . + P(N = 10), on calcule d’abord la probabilité de son événement contraire P(N ≤ 2), car son calcul est plus facile. On a : P(N ≤ 2) = P(N = 1) + P(N = 2) = 0, 04 + 0, 06 = 0, 10. Puisque P(A) = 1 − P(A), on a : P(N > 2) = 1 − P(N ≤ 2) = 1 − 0, 10 = 0, 90. La probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service est P(N < 4), c’est-à-dire : P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) = 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 = 0, 24

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Savoir Faire Déterminer la loi de probabilité d’une VA Utiliser une loi de probabilité

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

La somme des probabilités P(N = ni ) du tableau doit être égale égale à 1, d’où : 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 + 0, 18 + 0, 17 + 0, 15 + 0, 12 + 0, 09 + 0, 04 + a = 1 soit 0, 99 + a = 1.0n en déduit que a = 0, 01. P(N ≥ 8) = P(N = 8) + P(N = 9) + P(N = 10) = 0, 09 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 14 Pour calculer P(N > 2), qui est égal à la somme P(N = 3) + P(N = 4) + . . . + P(N = 10), on calcule d’abord la probabilité de son événement contraire P(N ≤ 2), car son calcul est plus facile. On a : P(N ≤ 2) = P(N = 1) + P(N = 2) = 0, 04 + 0, 06 = 0, 10. Puisque P(A) = 1 − P(A), on a : P(N > 2) = 1 − P(N ≤ 2) = 1 − 0, 10 = 0, 90. La probabilité qu’il y ait moins de quatre caisses en service est P(N < 4), c’est-à-dire : P(N = 1) + P(N = 2) + P(N = 3) = 0, 04 + 0, 06 + 0, 14 = 0, 24

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Propriété: Somme des probabilités P(X = xi ) P(X = x 1)+P(X = x2 )+. . .+P(X = xr ) = 1 ou p1 +p2 +. . .+pr = 1 En effet, les événements « X = xl », « X = x2 »,....« X = xr » sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l’univers E.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Cela explique que la somme de leurs probabilités est égale à 1. Cette propriété permet :

Devoir à la maison

1

2

de vérifier les résultats trouvés lors de la recherche d’une loi de probabilité ; de déterminer une des valeurs P(X = xi ) à partir des autres sans avoir à calculer de probabilité.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Propriété: Somme des probabilités P(X = xi ) P(X = x 1)+P(X = x2 )+. . .+P(X = xr ) = 1 ou p1 +p2 +. . .+pr = 1 En effet, les événements « X = xl », « X = x2 »,....« X = xr » sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l’univers E.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Cela explique que la somme de leurs probabilités est égale à 1. Cette propriété permet :

Devoir à la maison

1

2

de vérifier les résultats trouvés lors de la recherche d’une loi de probabilité ; de déterminer une des valeurs P(X = xi ) à partir des autres sans avoir à calculer de probabilité.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Propriété: Somme des probabilités P(X = xi ) P(X = x 1)+P(X = x2 )+. . .+P(X = xr ) = 1 ou p1 +p2 +. . .+pr = 1 En effet, les événements « X = xl », « X = x2 »,....« X = xr » sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l’univers E.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation

Cela explique que la somme de leurs probabilités est égale à 1. Cette propriété permet :

Devoir à la maison

1

2

de vérifier les résultats trouvés lors de la recherche d’une loi de probabilité ; de déterminer une des valeurs P(X = xi ) à partir des autres sans avoir à calculer de probabilité.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Espérance mathématique d’une variable aléatoire L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , ..., xr avec les probabilités pl , p2 , ...pr , est le nombre réel, noté E (X ), donné par : E (X ) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + pr xr On peut aussi l’écrire E (X ) =

i=r P i=1

p i xi .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Espérance mathématique d’une variable aléatoire L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , ..., xr avec les probabilités pl , p2 , ...pr , est le nombre réel, noté E (X ), donné par : E (X ) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + pr xr On peut aussi l’écrire E (X ) =

i=r P i=1

p i xi .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Interprétation L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l’expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois. Remarques : 1

Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à l’espoir de gain du joueur (ou de l’organisateur du jeu).

2

La formule donnant E(X) est semblable à celle de la moyenne d’une série statistique obtenue à partir des fréquences.

3

E (X ) a la même unité que celle des valeurs xi .

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Interprétation L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l’expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois. Remarques : 1

Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à l’espoir de gain du joueur (ou de l’organisateur du jeu).

2

La formule donnant E(X) est semblable à celle de la moyenne d’une série statistique obtenue à partir des fréquences.

3

E (X ) a la même unité que celle des valeurs xi .

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Interprétation L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l’expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois. Remarques : 1

Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à l’espoir de gain du joueur (ou de l’organisateur du jeu).

2

La formule donnant E(X) est semblable à celle de la moyenne d’une série statistique obtenue à partir des fréquences.

3

E (X ) a la même unité que celle des valeurs xi .

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Interprétation L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l’expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois. Remarques : 1

Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à l’espoir de gain du joueur (ou de l’organisateur du jeu).

2

La formule donnant E(X) est semblable à celle de la moyenne d’une série statistique obtenue à partir des fréquences.

3

E (X ) a la même unité que celle des valeurs xi .

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Interprétation L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X peut s’interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l’expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois. Remarques : 1

Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique sera liée à l’espoir de gain du joueur (ou de l’organisateur du jeu).

2

La formule donnant E(X) est semblable à celle de la moyenne d’une série statistique obtenue à partir des fréquences.

3

E (X ) a la même unité que celle des valeurs xi .

Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Calculatrice ou Tableur

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Savoir Faire:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale

Conseil : Quand il y a peu de données, on peut utiliser la formule du cours. Sinon, l’usage de la calculatrice est recommandé. On lance un dé équilibré : si la face supérieure est 1, 2 ou 3, on perd 5e, si la face supérieure est 4 ou 5, on gagne 2e, sinon on gagne 10e. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

Savoir faire Intervalle de fluctuation

1

Calculer E (X).

Devoir à la maison

2

Ce jeu est-il équitable ?

3

Utiliser la calculatrice et le tableur pour calculer E (X).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Correction: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

1 X prend les valeurs −5, 2 et 10.

1 3 P(X = −5) = P{1; 2; 3} = = 6 2 2 1 P(X = 2) = P{4; 5} = − = 6 3 1 P(X = 10) = P{6} = 6 2 La loi de X est donnée par le tableau : xi

−5 2 10 1 1 1 2 3 6 1 1 1 −5 2 10 −15 4 10 1 3 E (X ) = − 5 × + 2 × + 10 × = + + = + + = − 2 3 6 2 3 6 6 6 6 6 4 Puisque E(X) n’est pas nul, le jeu n’est pas équitable. P(X = xi )

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Savoir Faire Calculer une espérance mathématique

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Modélisation d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré. 1 Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux extrémités des branches d’un arbre ; 2 la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à cette issue. 3 La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même point est égale à 1. 4 A est l’événement contraire de A.

Modélisation d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré. 1 Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux extrémités des branches d’un arbre ; 2 la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à cette issue. 3 La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même point est égale à 1. 4 A est l’événement contraire de A.

Modélisation d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré. 1 Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux extrémités des branches d’un arbre ; 2 la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à cette issue. 3 La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même point est égale à 1. 4 A est l’événement contraire de A.

Modélisation d’une expérience aléatoire à deux ou trois issues

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On peut modéliser une expérience aléatoire à deux ou trois issues à l’aide d’un arbre pondéré. 1 Les différentes issues de l’expérience sont représentées aux extrémités des branches d’un arbre ; 2 la probabilité de chaque issue est inscrite sur la branche conduisant à cette issue. 3 La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même point est égale à 1. 4 A est l’événement contraire de A.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique

Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques

Exemple

Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Le fait de lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancerne dépend pas du résultat du premier lancer.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique

Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques

Exemple

Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Le fait de lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancerne dépend pas du résultat du premier lancer.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Définition:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique

Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques

Exemple

Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Le fait de lancer deux fois de suite une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancerne dépend pas du résultat du premier lancer.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 On représente la répétition d’expériences

identiques et indépendantes par un arbre pondéré. 2 Dans un arbre pondéré représentant la

répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 3 La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA

est égale au produit p × p des probabilités inscrites sur les branches conduisant à AA.

4 De même, la probabilité d’obtenir AA est p × q.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 On représente la répétition d’expériences

identiques et indépendantes par un arbre pondéré. 2 Dans un arbre pondéré représentant la

répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 3 La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA

est égale au produit p × p des probabilités inscrites sur les branches conduisant à AA.

4 De même, la probabilité d’obtenir AA est p × q.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 On représente la répétition d’expériences

identiques et indépendantes par un arbre pondéré. 2 Dans un arbre pondéré représentant la

répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 3 La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA

est égale au produit p × p des probabilités inscrites sur les branches conduisant à AA.

4 De même, la probabilité d’obtenir AA est p × q.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 On représente la répétition d’expériences

identiques et indépendantes par un arbre pondéré. 2 Dans un arbre pondéré représentant la

répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 3 La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA

est égale au produit p × p des probabilités inscrites sur les branches conduisant à AA.

4 De même, la probabilité d’obtenir AA est p × q.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 On représente la répétition d’expériences

identiques et indépendantes par un arbre pondéré. 2 Dans un arbre pondéré représentant la

répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 3 La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA

est égale au produit p × p des probabilités inscrites sur les branches conduisant à AA.

4 De même, la probabilité d’obtenir AA est p × q.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 On représente la répétition d’expériences

identiques et indépendantes par un arbre pondéré. 2 Dans un arbre pondéré représentant la

répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 3 La probabilité d’obtenir la liste de résultats AA

est égale au produit p × p des probabilités inscrites sur les branches conduisant à AA.

4 De même, la probabilité d’obtenir AA est p × q.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple On lance lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On note A l’issue « obtenir PILE » et donc A l’issue « obtenir FACE ». 1 1 On a ici : p = P(A) = et q = P(A) = 2 2 La liste AA correspond à l’événement « obtenir deux fois PILE » : 1 1 1 P(AA) = × = 2 2 4 La liste A P(A

A) =

A correspond à l’événement « obtenir deux fois FACE» : 1 1 1 × = 2 2 4

L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des deux issues AA 1 1 1 1 1 1 1 et AA. Sa probabilité est : P(AA) + P(AA) = × + × = + = . 2 2 2 2 4 4 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple On lance lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On note A l’issue « obtenir PILE » et donc A l’issue « obtenir FACE ». 1 1 et q = P(A) = On a ici : p = P(A) = 2 2 La liste AA correspond à l’événement « obtenir deux fois PILE » : 1 1 1 P(AA) = × = 2 2 4 La liste A P(A

A) =

A correspond à l’événement « obtenir deux fois FACE» : 1 1 1 × = 2 2 4

L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des deux issues AA 1 1 1 1 1 1 1 et AA. Sa probabilité est : P(AA) + P(AA) = × + × = + = . 2 2 2 2 4 4 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple On lance lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On note A l’issue « obtenir PILE » et donc A l’issue « obtenir FACE ». 1 1 et q = P(A) = On a ici : p = P(A) = 2 2 La liste AA correspond à l’événement « obtenir deux fois PILE » : 1 1 1 P(AA) = × = 2 2 4 La liste A P(A

A) =

A correspond à l’événement « obtenir deux fois FACE» : 1 1 1 × = 2 2 4

L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des deux issues AA 1 1 1 1 1 1 1 et AA. Sa probabilité est : P(AA) + P(AA) = × + × = + = . 2 2 2 2 4 4 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple On lance lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On note A l’issue « obtenir PILE » et donc A l’issue « obtenir FACE ». 1 1 et q = P(A) = On a ici : p = P(A) = 2 2 La liste AA correspond à l’événement « obtenir deux fois PILE » : 1 1 1 P(AA) = × = 2 2 4 La liste A P(A

A) =

A correspond à l’événement « obtenir deux fois FACE» : 1 1 1 × = 2 2 4

L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des deux issues AA 1 1 1 1 1 1 1 et AA. Sa probabilité est : P(AA) + P(AA) = × + × = + = . 2 2 2 2 4 4 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple On lance lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. On note A l’issue « obtenir PILE » et donc A l’issue « obtenir FACE ». 1 1 et q = P(A) = On a ici : p = P(A) = 2 2 La liste AA correspond à l’événement « obtenir deux fois PILE » : 1 1 1 P(AA) = × = 2 2 4 La liste A P(A

A) =

A correspond à l’événement « obtenir deux fois FACE» : 1 1 1 × = 2 2 4

L’événement « obtenir une fois PILE et une fois FACE » est formé des deux issues AA 1 1 1 1 1 1 1 et AA. Sa probabilité est : P(AA) + P(AA) = × + × = + = . 2 2 2 2 4 4 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une, S, que l’on appelle « succès » et l’autre appelée « échec ». On note p la probabilité de succès et q celle d’échec, avec donc q = 1 − p. Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Loi de probabilité Espérance mathématique

Définition et propriété:

Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas

d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.

2 La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli

de paramètre p.

3 Si X suit une loi de Bernoulli alors E (X ) = p

xi P(X = xi )

0 1−p

1 p

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une, S, que l’on appelle « succès » et l’autre appelée « échec ». On note p la probabilité de succès et q celle d’échec, avec donc q = 1 − p. Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Loi de probabilité Espérance mathématique

Définition et propriété:

Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas

d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.

2 La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli

de paramètre p.

3 Si X suit une loi de Bernoulli alors E (X ) = p

xi P(X = xi )

0 1−p

1 p

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une, S, que l’on appelle « succès » et l’autre appelée « échec ». On note p la probabilité de succès et q celle d’échec, avec donc q = 1 − p. Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Loi de probabilité Espérance mathématique

Définition et propriété:

Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas

d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli.

2 La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli

de paramètre p.

3 Si X suit une loi de Bernoulli alors E (X ) = p

xi P(X = xi )

0 1−p

1 p

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition et propriété:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

2

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. On la note B(n, p).

Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition et propriété:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

2

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. On la note B(n, p).

Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition et propriété:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale

1

L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

2

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. On la note B(n, p).

Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Exemple

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On lance un dé équilibré dix fois de suite et on s’intéresse au nombre X de fois où l’on obtient la face numéro 3 . La même expérience, qui consiste à lancer un dé et à noter le numéro de la face obtenue, se répète dix fois de façon indépendante : la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de fois où l’on obtient la face numéro 3) suit la loi binomiale de paramètres 1 n = 10 et p = . 6

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Exemple

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On lance un dé équilibré dix fois de suite et on s’intéresse au nombre X de fois où l’on obtient la face numéro 3 . La même expérience, qui consiste à lancer un dé et à noter le numéro de la face obtenue, se répète dix fois de façon indépendante : la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de fois où l’on obtient la face numéro 3) suit la loi binomiale de paramètres 1 n = 10 et p = . 6

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Exemple

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On lance un dé équilibré dix fois de suite et on s’intéresse au nombre X de fois où l’on obtient la face numéro 3 . La même expérience, qui consiste à lancer un dé et à noter le numéro de la face obtenue, se répète dix fois de façon indépendante : la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de fois où l’on obtient la face numéro 3) suit la loi binomiale de paramètres 1 n = 10 et p = . 6

Probabilités : Rappels de Première - TS

Dans le cas où n = 2 ou n = 3, on peut modéliser la répétition de ces expériences à l’aide d’un arbre pondéré qu’on peut construire intégralement :

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

La probabilité d’avoir un seul succès est P(X = 1). Les issues formées d’un succès sont : SS et SS. Or P(SS) = P(SS) = pq, donc P(X = 1) = 2pq.

La probabilité d’avoir un seul succès est P(X = 1). Les issues formées d’un succès sont : SSS et SSS et SSS. Or P(SSS) = P(SSS) = P(SSS) = pq 2 , donc P(X = 1) = 3pq 2 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Dans le cas où n = 2 ou n = 3, on peut modéliser la répétition de ces expériences à l’aide d’un arbre pondéré qu’on peut construire intégralement :

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

La probabilité d’avoir un seul succès est P(X = 1). Les issues formées d’un succès sont : SS et SS. Or P(SS) = P(SS) = pq, donc P(X = 1) = 2pq.

La probabilité d’avoir un seul succès est P(X = 1). Les issues formées d’un succès sont : SSS et SSS et SSS. Or P(SSS) = P(SSS) = P(SSS) = pq 2 , donc P(X = 1) = 3pq 2 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Lorsque X suit une loi binomiale, on a vu dans les cas n= 2 et n = 3, que, pour calculer la probabilité d’avoir k succès, on commence par noter toutes les issues formées de k succès et de n - k échecs . D’après une propriété des arbres pondérés , ces issues ont toutes la même probabilité p k × q n−k . Il est donc nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse ainsi au nombre de chemins de l’arbre formé de k succès exactement (et donc de n - k échecs).

Définition: Soit n unentier  naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n. Le coefficient n binomial (se lisant "k parmi n") est le nombre de chemins réalisant k succès k pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli.

 

2 = 2, car, lors de deux répétitions, il y a deux chemins avec un 1 succès, ceux associés à SS et à SS. Exemple :

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Lorsque X suit une loi binomiale, on a vu dans les cas n= 2 et n = 3, que, pour calculer la probabilité d’avoir k succès, on commence par noter toutes les issues formées de k succès et de n - k échecs . D’après une propriété des arbres pondérés , ces issues ont toutes la même probabilité p k × q n−k . Il est donc nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse ainsi au nombre de chemins de l’arbre formé de k succès exactement (et donc de n - k échecs).

Définition: Soit n unentier  naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n. Le coefficient n binomial (se lisant "k parmi n") est le nombre de chemins réalisant k succès k pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli.

 

2 = 2, car, lors de deux répétitions, il y a deux chemins avec un 1 succès, ceux associés à SS et à SS. Exemple :

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Lorsque X suit une loi binomiale, on a vu dans les cas n= 2 et n = 3, que, pour calculer la probabilité d’avoir k succès, on commence par noter toutes les issues formées de k succès et de n - k échecs . D’après une propriété des arbres pondérés , ces issues ont toutes la même probabilité p k × q n−k . Il est donc nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse ainsi au nombre de chemins de l’arbre formé de k succès exactement (et donc de n - k échecs).

Définition: Soit n unentier  naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n. Le coefficient n binomial (se lisant "k parmi n") est le nombre de chemins réalisant k succès k pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli.

 

2 = 2, car, lors de deux répétitions, il y a deux chemins avec un 1 succès, ceux associés à SS et à SS. Exemple :

Probabilités : Rappels de Première - TS

Triangle de Pascal Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Probabilités : Rappels de Première - TS

Calcul pratique des coefficients binomiaux Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Note : 1

2

Sur une calculatrice, il peut y avoir dépassement de capacité à partir de n = 330.         n n n 0 = 1, = n, = 1 et par convention =1 0 1 n 0

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Formule générale de la loi binomiale Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p , alors pour tout entier k compris entre 0 et n :   n k P(X = k) = p (1 − p)n−k k

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Formule générale de la loi binomiale Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p , alors pour tout entier k compris entre 0 et n :   n k P(X = k) = p (1 − p)n−k k

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Calcul pratique de P(X = k) et P(X ≤ k) Pour Casio, on saisit d’abord le nombre k de succès puis les paramètres n, p. Pour Texas Instruments, on saisit d’abord les paramètres n, p puis le nombre de succès k.

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0, 5. Pour trouver P(X = 4), on utilise la calculatrice en remplaçant n par 6, k par 4 et p par 0,5 : on trouve environ 0, 234.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Calcul pratique de P(X = k) et P(X ≤ k) Pour Casio, on saisit d’abord le nombre k de succès puis les paramètres n, p. Pour Texas Instruments, on saisit d’abord les paramètres n, p puis le nombre de succès k.

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0, 5. Pour trouver P(X = 4), on utilise la calculatrice en remplaçant n par 6, k par 4 et p par 0,5 : on trouve environ 0, 234.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Exploiter la loi binomiale

Méthode:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques

Quand une expérience se répète plusieurs fois de façon identique et indépendante, on introduit une variable aléatoire comptant le nombre de succès.

Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Dans une librairie, 30 % des livres sont primés, c’est-à-dire distingués par un prix littéraire. Un client achète cinq livres. On suppose que les choix de ces livres sont indépendants. Quelle est la probabilité pour qu’exactement trois d’entre eux soient des livres primés ?

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :  trois  livres choisis soient des livres primés est   5 5 3 5−3 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice = 10 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :  trois  livres choisis soient des livres primés est   5 5 3 5−3 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice = 10 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :    trois  livres choisis soient des livres primés est 5 5 3 5−3 = 10 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :    trois  livres choisis soient des livres primés est 5 5 3 5−3 = 10 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

Représentation graphique de la loi binomiale On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons. Le tableau ci-dessous montre des exemples de représentation pour n = 6 et trois valeurs différentes de p.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Calculatrice Pour les calculatrices en mode statistique, il faut d’abord remplir les listes en mettant dans la liste 1 (L1) les entiers de 0 jusqu’à n et dans la liste 2 (L2) les valeurs P(X = k) :

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1 Casio : Menu STAT, saisir 0, 1, ..., n en liste 1 puis choisir DIST , puis

BINM , Bpd et List ; 2 Texas : Touche stats puis choisir Edite, saisir 0, 1, n dans la colonne L1

puis se placer sur L2 et entrer : binomFdp(n, p, L1)

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition et propriété:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1

L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est E (B(n, p)) = n × p.

2

La variance de la loi binomiale de paramètres n et p est V (B(n, p)) = np(1 − p)

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition et propriété:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1

L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est E (B(n, p)) = n × p.

2

La variance de la loi binomiale de paramètres n et p est V (B(n, p)) = np(1 − p)

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité

Définition et propriété:

Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Répétition d’expériences identiques Expériences indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Modélisation de la répétition de 2

1

L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est E (B(n, p)) = n × p.

2

La variance de la loi binomiale de paramètres n et p est V (B(n, p)) = np(1 − p)

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Savoir Faire:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

Méthode : Pour construire un arbre pondéré, on construit d’abord les branches de la première épreuve, puis celles de la seconde épreuve. Un avion possède deux moteurs identiques : la probabilité que chacun d’eux tombe en panne est 0, 001. On suppose que la panne d’un moteur n’a aucune influence sur la panne de l’autre moteur. Construire un arbre pondéré permettant de déterminer :

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 la probabilité que les deux moteurs tombent en panne ; 2 la probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: On note A l’issue : « le moteur tombe en panne ». On construit l’arbre pondéré correspondant à la répétition de l’expérience aléatoire telle qu’un moteur soit ou non en panne. La probabilité que les deux moteurs tombent en panne est la probabilité de la liste de résultats A A. D’après la règle de calcul des arbres pondérés, elle est égale à : 0, 001 × 0, 001 = 10−6 . La probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne est la probabilité de la liste de résultats A A Elle est égale à 0, 999 × 0, 999 = 0, 998.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: On note A l’issue : « le moteur tombe en panne ». On construit l’arbre pondéré correspondant à la répétition de l’expérience aléatoire telle qu’un moteur soit ou non en panne. La probabilité que les deux moteurs tombent en panne est la probabilité de la liste de résultats A A. D’après la règle de calcul des arbres pondérés, elle est égale à : 0, 001 × 0, 001 = 10−6 . La probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne est la probabilité de la liste de résultats A A Elle est égale à 0, 999 × 0, 999 = 0, 998.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: On note A l’issue : « le moteur tombe en panne ». On construit l’arbre pondéré correspondant à la répétition de l’expérience aléatoire telle qu’un moteur soit ou non en panne. La probabilité que les deux moteurs tombent en panne est la probabilité de la liste de résultats A A. D’après la règle de calcul des arbres pondérés, elle est égale à : 0, 001 × 0, 001 = 10−6 . La probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne est la probabilité de la liste de résultats A A Elle est égale à 0, 999 × 0, 999 = 0, 998.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: On note A l’issue : « le moteur tombe en panne ». On construit l’arbre pondéré correspondant à la répétition de l’expérience aléatoire telle qu’un moteur soit ou non en panne. La probabilité que les deux moteurs tombent en panne est la probabilité de la liste de résultats A A. D’après la règle de calcul des arbres pondérés, elle est égale à : 0, 001 × 0, 001 = 10−6 . La probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne est la probabilité de la liste de résultats A A Elle est égale à 0, 999 × 0, 999 = 0, 998.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: On note A l’issue : « le moteur tombe en panne ». On construit l’arbre pondéré correspondant à la répétition de l’expérience aléatoire telle qu’un moteur soit ou non en panne. La probabilité que les deux moteurs tombent en panne est la probabilité de la liste de résultats A A. D’après la règle de calcul des arbres pondérés, elle est égale à : 0, 001 × 0, 001 = 10−6 . La probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne est la probabilité de la liste de résultats A A Elle est égale à 0, 999 × 0, 999 = 0, 998.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: On note A l’issue : « le moteur tombe en panne ». On construit l’arbre pondéré correspondant à la répétition de l’expérience aléatoire telle qu’un moteur soit ou non en panne. La probabilité que les deux moteurs tombent en panne est la probabilité de la liste de résultats A A. D’après la règle de calcul des arbres pondérés, elle est égale à : 0, 001 × 0, 001 = 10−6 . La probabilité qu’aucun moteur ne tombe en panne est la probabilité de la liste de résultats A A Elle est égale à 0, 999 × 0, 999 = 0, 998.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Savoir Faire:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Conseil : On peut utiliser un arbre pondéré quand l’énoncé présente une expérience qui se répète de façon identique. Un supermarché délivre une carte à gratter à chacun des passages de ses clients à la caisse : la probabilité de découvrir « gagné » est 0, 05. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de « gagné» après deux passages en caisse. Déterminer la loi de probabilité de X .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

Correction: 1 On construit l’arbre pondéré correspondant

à la répétition de l’expérience aléatoire consistant à gratter une carte et à découvrir s’il y a écrit « gagné » ou « perdu ». La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2.

2 On note G l’issue « il y a "gagnée sur la

carte" et donc G l’issue il y a "perdue sur la carte ".

3 L’événement «X = 0» est associé à la liste

G

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

G, donc :

P(X = 0) = 0, 95x 0, 95 = 0, 9025 . 4 L’événement «X = 1 » est associé à

l’événement «A = {GG; GG} ».

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

Correction: 1 On construit l’arbre pondéré correspondant

à la répétition de l’expérience aléatoire consistant à gratter une carte et à découvrir s’il y a écrit « gagné » ou « perdu ». La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2.

2 On note G l’issue « il y a "gagnée sur la

carte" et donc G l’issue il y a "perdue sur la carte ".

3 L’événement «X = 0» est associé à la liste

G

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

G, donc :

P(X = 0) = 0, 95x 0, 95 = 0, 9025 . 4 L’événement «X = 1 » est associé à

l’événement «A = {GG; GG} ».

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

Correction: 1 On construit l’arbre pondéré correspondant

à la répétition de l’expérience aléatoire consistant à gratter une carte et à découvrir s’il y a écrit « gagné » ou « perdu ». La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2.

2 On note G l’issue « il y a "gagnée sur la

carte" et donc G l’issue il y a "perdue sur la carte ".

3 L’événement «X = 0» est associé à la liste

G

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

G, donc :

P(X = 0) = 0, 95x 0, 95 = 0, 9025 . 4 L’événement «X = 1 » est associé à

l’événement «A = {GG; GG} ».

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

Correction: 1 On construit l’arbre pondéré correspondant

à la répétition de l’expérience aléatoire consistant à gratter une carte et à découvrir s’il y a écrit « gagné » ou « perdu ». La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2.

2 On note G l’issue « il y a "gagnée sur la

carte" et donc G l’issue il y a "perdue sur la carte ".

3 L’événement «X = 0» est associé à la liste

G

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

G, donc :

P(X = 0) = 0, 95x 0, 95 = 0, 9025 . 4 L’événement «X = 1 » est associé à

l’événement «A = {GG; GG} ».

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction: 5 P(GG) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475 et

Loi de probabilité

P(GG) = 0, 95 × 0, 05 = 0, 0475, donc :

Espérance mathématique

P(X = 1) = P(A) = P(GG)+P(GG) = 0, 0475+0, 0475 = 0, 095

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes

6 L’événement «X = 2» est associé à la liste

GG, donc :

P(X = 2) = P(GG) = 0, 05×0, 05 = 0, 0025

Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

7 D’où la loi de probabilité de X :

xi P(X = xi)

0 0, 9025

1 0, 095

2 0, 0025

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Méthode: Pour savoir si l’on est dans une situation de loi binomiale, on étudie si une expérience se répète de manière identique et indépendante.

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

On considère un jeu de 32 cartes et on tire deux cartes de ce jeu. On s’intéresse à la variable aléatoire X associée au nombre de trèfles obtenus. 1 La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale lorsque la première carte

tirée n’est pas remise dans le jeu ? Si oui, donner ses paramètres. 2 La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale lorsque la première carte

tirée est remise dans le jeu ? Si oui, donner ses paramètres. 3 La chaîne de production d’une usine fabrique 10 000 chemises par jour. La

probabilité pour qu’une chemise soit jugée sans défaut est 0,9.0n extrait de cette production un échantillon de taille 10. Le nombre de chemises de la production est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un « tirage avec remise ». On appelle Y la variable aléatoire comptant le nombre de chemises sans défaut dans cet échantillon. Y suit-elle une loi binomiale ?Justifier.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Méthode: Pour savoir si l’on est dans une situation de loi binomiale, on étudie si une expérience se répète de manière identique et indépendante.

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

On considère un jeu de 32 cartes et on tire deux cartes de ce jeu. On s’intéresse à la variable aléatoire X associée au nombre de trèfles obtenus. 1 La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale lorsque la première carte

tirée n’est pas remise dans le jeu ? Si oui, donner ses paramètres. 2 La variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale lorsque la première carte

tirée est remise dans le jeu ? Si oui, donner ses paramètres. 3 La chaîne de production d’une usine fabrique 10 000 chemises par jour. La

probabilité pour qu’une chemise soit jugée sans défaut est 0,9.0n extrait de cette production un échantillon de taille 10. Le nombre de chemises de la production est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un « tirage avec remise ». On appelle Y la variable aléatoire comptant le nombre de chemises sans défaut dans cet échantillon. Y suit-elle une loi binomiale ?Justifier.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 L’expérience N°1 consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes. La

seconde expérience consiste à tirer une carte parmi 31 cartes puisque l’on ne remet pas la carte dans le jeu. Les deux expériences ne sont pas identiques, donc X ne suit pas une loi binomiale.

2 L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : il

y a « succès » si on tire un trèfle . Puisqu’il y a 8 trèfles dans le jeu, la 8 1 probabilité de succès p est , soit . Cette expérience est répétée 2 fois 32 4 de façon identique puisque la carte est remise dans le jeu et il y a donc indépendance puisque le résultat du 2eme tirage ne dépend pas du résultat du 1er tirage. Donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0, 25 (on note B(2, 0.25) ).

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

3

La 1ere expérience revient à extraire une chemise de la production afin de savoir si elle est sans défaut. La 2eme expérience revient à extraire une seconde chemise...etc... Le fait d’avoir tiré une chemise a modifié la proportion de chemises sans défaut pour le tirage suivant mais le nombre de chemises de la production étant très grand, ce tirage est assimilé à un tirage avec remise : la probabilité d’extraire une chemise sans défaut varie très peu d’un tirage à l’autre. Y suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,9 (on note B(10, 0.90))..

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Savoir Faire:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Utiliser la loi binomiale Un sac contient 6 boules bleues et 4 boules rouges. On tire successivement et avec remise trois boules du sac. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Quelle est la loi suivie par X ? Note : Ne pas confondre l’événement ”X = 1” avec la liste de résultats ”SSS” par exemple, il faut prendre en compte toutes les listes qui contiennent un seul succès...il y en a 3 ici !

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: Après chaque tirage, on remet la boule dans le sac, ce qui assure l’indépendance des expériences. L’expérience qui consiste à tirer une boule du sac se répète trois fois de façon indépendante ; de plus, la probabilité de succès à chaque tirage 4 est , donc X suit la loi binomiale de 10 paramètres n = 3 et p = 0, 4 (B(3, 0.4) L’événement ´X = 1ˇ est formé des trois listes de résultats SSS,SSS et SSS : chacune de ces issues a pour probabilité 0, 4x 0, 6x 0, 6. D’où P(X = 1) = 3 x(0, 4x 0, 62 ) = 0, 432.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: Après chaque tirage, on remet la boule dans le sac, ce qui assure l’indépendance des expériences. L’expérience qui consiste à tirer une boule du sac se répète trois fois de façon indépendante ; de plus, la probabilité de succès à chaque tirage 4 est , donc X suit la loi binomiale de 10 paramètres n = 3 et p = 0, 4 (B(3, 0.4) L’événement ´X = 1ˇ est formé des trois listes de résultats SSS,SSS et SSS : chacune de ces issues a pour probabilité 0, 4x 0, 6x 0, 6. D’où P(X = 1) = 3 x(0, 4x 0, 62 ) = 0, 432.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: Après chaque tirage, on remet la boule dans le sac, ce qui assure l’indépendance des expériences. L’expérience qui consiste à tirer une boule du sac se répète trois fois de façon indépendante ; de plus, la probabilité de succès à chaque tirage 4 est , donc X suit la loi binomiale de 10 paramètres n = 3 et p = 0, 4 (B(3, 0.4) L’événement ´X = 1ˇ est formé des trois listes de résultats SSS,SSS et SSS : chacune de ces issues a pour probabilité 0, 4x 0, 6x 0, 6. D’où P(X = 1) = 3 x(0, 4x 0, 62 ) = 0, 432.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Savoir Faire:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Exploiter la loi binomiale Méthode : Quand une expérience se répète plusieurs fois de façon identique et indépendante, on introduit une variable aléatoire comptant le nombre de succès. Dans une librairie, 30 % des livres sont primés, c’est-à-dire distingués par un prix littéraire. Un client achète cinq livres. On suppose que les choix de ces livres sont indépendants. Quelle est la probabilité pour qu’exactement trois d’entre eux soient des livres primés ?

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :  trois  livres choisis soient des livres primés est   5 5 3 5−3 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice = 10 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :  trois  livres choisis soient des livres primés est   5 5 3 5−3 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice = 10 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :    trois  livres choisis soient des livres primés est 5 5 3 5−3 = 10 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire

Correction:

Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

On introduit la variable aléatoire X qui associe, à chaque client achetant cinq livres, le nombre de livres primés parmi ces livres. L’expérience aléatoire consistant à choisir un livre dans la librairie se répète cinq fois de façon identique et indépendante.La probabilité de « succès » lors de chaque expérience est 0, 30 , donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 3. La probabilité pour qu’exactement :    trois  livres choisis soient des livres primés est 5 5 3 5−3 = 10 P(X = 3) = 0, 3 x 0, 7 . Or d’après la calculatrice 3 3 , donc P(X = 3) = 10x 0, 33 x 0, 72 = 0, 1323 .

Probabilités : Rappels de Première - TS

Calculer des probabilités Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique

Méthode: Pour déterminer P(a ≤ X ≤ b), on calcule P(X ≤ b) − P(X ≤ (a − 1)).

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,3. 1

Déterminer, à 10−4 près :P(X = 25), P(X ≤ 22), P(X > 14).

2

Déterminer, à 10−4 près : P(10 ≤ X ≤ 20).

3

Déterminer, à 10−4 près : P(10 < X ≤ 20).

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 On obtient avec une calculatrice ou un tableur : P(X = 25) = 0, 0014,

P(X ≥ 22) = 0, 9877 et P(X > 14) = 1 − P(X ≤ 14) = 1¯0, 4468 = 0, 5532.

2 Soit A l’événement ”10 ≤ X ≤ 20” et B l’événement ”X ≤ 9”. Alors, A

B est l’événement X ≤ 20. Comme A et B sont incompatibles, S P(A B) = P(A) + P(B), soit P(X ≤ 20) = P(10 ≤ X ≤ 20) + P(X ≤ 9). D’où P(10 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) − P(X ≤ 9) = 0, 9522 − 0, 0402 = 0, 9120.

S

3 P(10 < X ≤ 20) = P(11 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) − P(X ≤ 10) = 0, 8734

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 On obtient avec une calculatrice ou un tableur : P(X = 25) = 0, 0014,

P(X ≥ 22) = 0, 9877 et P(X > 14) = 1 − P(X ≤ 14) = 1¯0, 4468 = 0, 5532.

2 Soit A l’événement ”10 ≤ X ≤ 20” et B l’événement ”X ≤ 9”. Alors, A

B est l’événement X ≤ 20. Comme A et B sont incompatibles, S P(A B) = P(A) + P(B), soit P(X ≤ 20) = P(10 ≤ X ≤ 20) + P(X ≤ 9). D’où P(10 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) − P(X ≤ 9) = 0, 9522 − 0, 0402 = 0, 9120.

S

3 P(10 < X ≤ 20) = P(11 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) − P(X ≤ 10) = 0, 8734

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

1 On obtient avec une calculatrice ou un tableur : P(X = 25) = 0, 0014,

P(X ≥ 22) = 0, 9877 et P(X > 14) = 1 − P(X ≤ 14) = 1¯0, 4468 = 0, 5532.

2 Soit A l’événement ”10 ≤ X ≤ 20” et B l’événement ”X ≤ 9”. Alors, A

B est l’événement X ≤ 20. Comme A et B sont incompatibles, S P(A B) = P(A) + P(B), soit P(X ≤ 20) = P(10 ≤ X ≤ 20) + P(X ≤ 9). D’où P(10 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) − P(X ≤ 9) = 0, 9522 − 0, 0402 = 0, 9120.

S

3 P(10 < X ≤ 20) = P(11 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) − P(X ≤ 10) = 0, 8734

Probabilités : Rappels de Première - TS

Savoir Faire: Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

Construire un tableau de probabilité Conseil : Utiliser la calculatrice en mode TABLE permet d’obtenir toutes les probabilités en ne tapant qu’une seule fois la syntaxe pour obtenir P(X = k). Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 7. 1

Déterminer la probabilité de l’événement ”X = 3”.

2

Construire le tableau donnant la loi de X. En déduire l’espérance mathématique de X.

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

3

Représenter graphiquement cette loi.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: 1 D’après la calculatrice : P(X = 3) ' 0, 3087 (binomFdp(5, 0.7, 3)) .On

trouve les différentes probabilités avec la calculatrice.

2 E (X ) = 1x 0, 02835+2x 0, 1323+3x 0, 3087+4x 0, 36015+5x 0, 16807 = 3, 5.

Puisque X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 7, on peut aussi appliquer la formule permettant de calculer son espérance :E (X ) = np = 5x 0, 7 = 3, 5.

k P(X = k)

0 0, 00243

1 0, 02835

2 0, 1323

3 0, 3087

4 0, 36015

5 0, 16807

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: 1 D’après la calculatrice : P(X = 3) ' 0, 3087 (binomFdp(5, 0.7, 3)) .On

trouve les différentes probabilités avec la calculatrice.

2 E (X ) = 1x 0, 02835+2x 0, 1323+3x 0, 3087+4x 0, 36015+5x 0, 16807 = 3, 5.

Puisque X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 7, on peut aussi appliquer la formule permettant de calculer son espérance :E (X ) = np = 5x 0, 7 = 3, 5.

k P(X = k)

0 0, 00243

1 0, 02835

2 0, 1323

3 0, 3087

4 0, 36015

5 0, 16807

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: 1 D’après la calculatrice : P(X = 3) ' 0, 3087 (binomFdp(5, 0.7, 3)) .On

trouve les différentes probabilités avec la calculatrice.

2 E (X ) = 1x 0, 02835+2x 0, 1323+3x 0, 3087+4x 0, 36015+5x 0, 16807 = 3, 5.

Puisque X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 7, on peut aussi appliquer la formule permettant de calculer son espérance :E (X ) = np = 5x 0, 7 = 3, 5.

k P(X = k)

0 0, 00243

1 0, 02835

2 0, 1323

3 0, 3087

4 0, 36015

5 0, 16807

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Correction: 1 D’après la calculatrice : P(X = 3) ' 0, 3087 (binomFdp(5, 0.7, 3)) .On

trouve les différentes probabilités avec la calculatrice.

2 E (X ) = 1x 0, 02835+2x 0, 1323+3x 0, 3087+4x 0, 36015+5x 0, 16807 = 3, 5.

Puisque X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 7, on peut aussi appliquer la formule permettant de calculer son espérance :E (X ) = np = 5x 0, 7 = 3, 5.

k P(X = k)

0 0, 00243

1 0, 02835

2 0, 1323

3 0, 3087

4 0, 36015

5 0, 16807

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré

Calculer l’espérance mathématique d’une loi binomiale Il est inutile de revenir à la formule définissant l’espérance mathématique quand on a une loi binomiale. Une entreprise est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré qu’un article produit par cette entreprise était défectueux avec une probabilité égale à 0,05. Une grande surface reçoit 800 articles de cette entreprise. Soit X la variable aléatoire qui, à cette livraison, associe le nombre d’articles défectueux et donc invendables. Le nombre d’articles est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler cette épreuve à un tirage avec remise.

Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale

1

Définir la loi de X.

Utiliser la loi binomiale

2

Calculer l’espérance mathématique de X. Quel est le sens de ce nombre ?

Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire

Correction:

Loi de probabilité Espérance mathématique

1

L’expérience aléatoire est définie ainsi : pour chaque article de la livraison, on examine s’il est ou non défectueux ; la probabilité de « succès » (c’est-à-dire le fait qu’un article soit défectueux) est0, 05. Cette expérience se répète 800 fois de façon identique et indépendante,donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 800 et p = 0, 05.

2

E (X ) = np = 800x 0, 05 = 40. Il y a ainsi en moyenne 40 articles défectueux dans une livraison.

Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes Utiliser un arbre pondéré Loi binomiale Reconnaître une situation de loi binomiale Utiliser la loi binomiale Exploiter la loi binomiale Calculer Calculer des probabilités Construire un

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Intervalle de fluctuation d’une fréquence On a vu en Seconde que si p est la proportion d’un caractère dans une population (avec 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8), alors pour un échantillon de taille n (avec n ≥ 25), la# fréquence f du caractère dans l’échantillon " 1 1 appartient à l’intervalle p − √ , p + √ avec une probabilité d’au n n moins 0,95. On verra dans les chapitres qui suivent la précision de cet intervalle peut être améliorée en utilisant la loi binomiale et plus généralement la loi normale. On établira en, particulier le résultat suivant

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Intervalle de fluctuation d’une fréquence On a vu en Seconde que si p est la proportion d’un caractère dans une population (avec 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8), alors pour un échantillon de taille n (avec n ≥ 25), la# fréquence f du caractère dans l’échantillon " 1 1 appartient à l’intervalle p − √ , p + √ avec une probabilité d’au n n moins 0,95. On verra dans les chapitres qui suivent la précision de cet intervalle peut être améliorée en utilisant la loi binomiale et plus généralement la loi normale. On établira en, particulier le résultat suivant

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Propriété: L’intervalle de fluctuation au coefficient 95 % de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon  aléatoire  de taille n, d’une variable aléatoire X a b ; , où a est le plus petit entier tel que suivant une loi binomiale, est n n P(X < a) > 0, 025 , et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0, 975.

Probabilités : Rappels de Première - TS

Vocabulaire Variable aléatoire Loi de probabilité Espérance mathématique Loi de Bernoulli et loi binomiale Savoir faire Intervalle de fluctuation Devoir à la maison

Voir feuille annexe