TEORIUPPGIFTER, KLASSISK MEKANIK

TEORIUPPGIFTER, KLASSISK MEKANIK

RÖ 2 1. Betrakta en kraft F som angriper i en punkt r, där r är lägesvektorn från en fix punkt O. Rita figur, definiera storheterna, och visa att storleken av kraftmomentet kring O kan skrivas som (den vridande kraften)·r ( F r ) respektive momentarmen·F ( r F ). Vilken riktning har MO? 2. Betrakta en kropp som kan rotera kring en fix vertikal axel genom en punkt O i kroppen. En kraft F angriper i en punkt på kroppens periferi som ligger på samma höjd som O. Dela upp F i en

ˆ komposant. Diskutera vilka av kraftkomposanterna som ger ett kraftmoment kring rˆ, ˆ  och zpunkten O. Vilken riktning får dessa kraftmoment? Vilken/vilka kraftkomposanter ger ett vridande moment kring axeln?

RÖ3 3. Bevisa Lemmat om derivatan av en enhetsvektor. Visa noga i figur vilken riktning derivatan har. 4. Vi har sett att v  rrˆ  rˆ . Härled uttrycket för accelerationen a i polära koordinater såsom den uttrycks i Formelsamlingen. 5. En partikel rör sig längs en kroklinjig bana. Visa i figuren var v och komposanten vr finns och visa att vr  v  rˆ .

RÖ4 6. Ett antal krafter Fi verkar på en partikel med massan m som rör sig längs en bana från punkten A till punkten B. Bevisa att totala arbetet från krafterna är lika med skillnaden i kinetisk energi i punkterna B och A. 7. En partikel rör sig längs en bana från A till B under inverkan av tre krafter F1, F2 och F3, där F3 är konservativ. Inför en potentiell energi där det går och visa att E  Wövr . Det krävs att du definierar Wövr i termer av lämpliga banintegraler samt definiera E.

RÖ5 8. Två partiklar växelverkar med varandra utan inverkan av några yttre krafter. De inre krafterna verkar längs förbindelselinjen mellan krafterna angreppspunkter. Bevisa att a) totala rörelsemängden för systemet är konstant, och att b) totala rörelsemängdsmomentet kring en godtycklig punkt O är konstant. 9. Betrakta ett system av partiklar med massorna mi och hastigheterna vi. Partiklarna påverkar varandra med inre krafter Fij (på mi från mj) och från yttre kroppar med krafterna Fei (på mi).

a) Definiera masscentrum-positionen rc och visa att systemets totala rörelsemängd är lika med Mvc, där M är totala massan och vc är masscentrumhastigheten. b) Visa att Mac = Fetot.

RÖ6 10. Betrakta en cylinder som rullar utan att glida mot underlaget. Bevisa rullningsvillkoret vC   R . 11. Ett partikelsystem består av ett antal massor mi som rör sig med hastigheterna vi. Rita figur och definiera systemets totala rörelsemängdsmoment H0 kring en fix punkt O och HrelC relativt masscentrum C. Visa att H0  rC  MvC  Hrel C . Lemmat i formelsamlingen får utnyttjas, men bevisa det gärna.

RÖ7 e e 12. a) Utnyttja att H0  M0,tot och resultatet i uppgift 11 ovan för att visa att H rel C  M C tot .

Vad kan du säga om riktningen hos rörelsemängdsmomentet relativt C om MCe tot  0 ? Ge ett konkret exempel. (Kom ihåg att för en symmetrisk kropp är H rel C parallell med rotationsaxeln.) Vad kan du säga om storleken hos rörelsemängdsmomentet relativt C om MCe tot  0 ? Ge ett konkret exempel. e Vi kan skriva om momentlagen ovan som dH rel C  MC tot dt , vilket bl.a. visar att ändringen av e rotationsaxelns riktning hos en symmetrisk kropp pekar längs M C tot . Visa, genom att betrakta

framhjulet hos en cykel, att för att svänga åt höger bör man luta sig åt höger. Hur ändras hjulaxelns riktning om man bara svänger åt höger med styret? 13. Betrakta ett litet masselement dm i en stel kropp som roterar med vinkelhastigheten ω kring en axel med fix riktning z. Visa att z-komposanten av dm´s rörelsemängdsmoment relativt två godtyckliga punkter A och B på axeln är lika.

RÖ8