Term S - Lois de probabilité (1/2) 1) X suit la loi binomiale de

Term S - Lois de probabilité (1/2)

1)

X suit la loi binomiale de paramètres n et p. a) n  8 et p  0,5 . Calculer p(X  3) . b) n  10 et p  0,7 . Calculer p(X  8) .

2)

On lance simultanément six pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement quatre « pile » ?

3)

Un démarcheur rencontre vingt personnes par jour. La probabilité qu’une d’entre elles achète ce que le démarcheur lui propose est de 0,1. a) Calculer la probabilité qu’au cours d’une journée, le démarcheur ne rencontre aucun acheteur. b) Calculer la probabilité qu’il rencontre au moins deux acheteurs.

4)

X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0 ;10]. Calculer : a) p(X  3) b) p(X  6) c) p(3  X  8)

5)

La durée de vie d’un composant électronique est une variable aléatoire T (exprimée en jours) qui suit la loi exponentielle de paramètre    . Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce composant excède 300 jours ?

6)

Soit f la fonction définie

7)

Une personne arrive à un arrêt de bus à 10h00 sachant que le bus arrivera à un certain instant T qui suit une loi uniforme entre 10h00 et 10h30. a) Quelle est la probabilité que la personne attende 10 min ou plus ? b) Si à 10h15, le bus n’est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que votre attente dure au moins 10 min supplémentaires ?

8)

(voir éventuellement avant l’exercice 3) Un vendeur propose des encyclopédies à domicile. Il visite 10 clients par jour. 1 On admet que la probabilité qu’un client passe commande est de . 15 Les décisions des clients sont indépendantes. X est le nombre d’encyclopédies vendues en une journée. a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres n et p. b) Exprimer p(X  k ) pour k entier de 0 à n. Calculer à 104 près : p(X  0) ; p(X  1) et p(X  5) . c) Calculer E(X) . d) Le vendeur gagne 100€ par encyclopédie vendue. Quel gain moyen le vendeur peut-il espérer à la fin d’une journée ?

1 . (t  1)2 a) Démontrer que f est une densité de probabilité. b) On note X la variable aléatoire associée à la densité f. Soit a et b deux réels positifs ba tels que a  b . Démontrer que : p(a  X  b)  . (a  1)(b  1) c) Calculer p(X  100) et p(X  1) . 

par : f (t ) 

Term S - Lois de probabilité (2/2) 9)

Un bureau est équipé de 25 ordinateurs. La probabilité que l’un d’eux tombe en panne dans l’année est de 0,3. On suppose que les pannes sont indépendantes. a) Calculer la probabilité que 5 ordinateurs tombent en panne au cours de l’année. b) Calculer la probabilité qu’au plus 5 ordinateurs tombent en panne dans l’année.

10)

Statistiquement, lors d’une naissance, les événements « avoir un garçon » et « avoir une fille » ne sont pas équiprobables . On suppose ici que la probabilité d’avoir un garçon est de 0,51. Quelle est la probabilité qu’il y ait plus de filles que de garçons dans une famille : a) de 5 enfants ? b) de 6 enfants ? On suppose qu’il n’y a pas de naissances multiples.

11)

Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle. a) Trouver le paramètre de cette loi sachant que : p(T  70)  0,05 . b) En déduire p(T  30) .

12)

La durée de vie mesurée en heures du filament d’une ampoule suit la loi exponentielle T de paramètre 0,002. a) Déterminer le nombre t tel que : p(T  t )  0,8 . b) Calculer p(300