TERMINALE ES PROBABILITÉ 1/3 Conditionnement et indépendance

TERMINALE ES PROBABILITÉ 1/3 Conditionnement et indépendance _________________________________________________ _______________ I. CONDITIONNEMENT 1. Probabilité d’un événement A sachant un événement B Exemple Un sac contient 10 boules rouges et 7 boules jaunes. À l’intérieur de chaque boule, il y a une bille en terre ou une bille en verre. Toutes les boules ont le même poids, quelle que soit la nature de la bille à l’intérieur. Terre Verre Rouge 3 7 Jaune

5

2

On tire une boule au hasard, on l'ouvre et on observe la bille qu’elle contient. On considère les événements : R : « La boule tirée est rouge » ; V : « La boule tirée contient une bille en verre » On constate que la boule tirée est rouge. On se demande quelle est la probabilité qu’elle contienne une bille en verre. Solution : Parmi les 10 boules rouges, il y en a 7 qui contiennent une bille en verre. La probabilité 7 cherchée est donc . On dit que c’est la « probabilité de l’événement V sachant que 10 l’événement R est réalisé » et on la note PR(V). 10 7 P(R  V) On constate que P(R) = et P(R  V) = , donc que PR(V) = 17 17 P(R) Définition : Une loi de probabilité P est définie sur l’ensemble E des issues d'une expérience aléatoire. A et B sont deux événements et P(B)  0. La probabilité de l’événement A sachant que B s'est réalisé, notée PB(A) est définie par P(A B) PB(A) = p(B) Conséquence : probabilité de P(A  B) P(A B) , on tire P(A  B) = PB(A)  P(B) avec P(B)  0. p(B) On a aussi P(A  B) = PA(B)  P(A) avec P(A)  0. De PB(A) =

2. Représentation à l’aide d’un arbre de probabilité On représente la situation probabiliste étudiée à l’exemple par l’arbre pondéré suivant.

II. Indépendance – Probabilités totales. Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues E. 1. Indépendance de deux événements Définition Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que : P(A  B) = P(A)  P(B) Remarques • Si A et B sont indépendants et de probabilités non nulles, alors : PA(B) =

P(A  B) = P(A)

P(A)  P(B) = P(B). Et aussi bien-sûr, PB(A) = P(A) P(A) • Si A et B sont deux événements incompatibles avec P(A)  0 et P(B)  0 alors ils ne sont pas indépendants car P(A  B) = 0 et P(A)  P(B)  0 2. Indépendance de deux variables aléatoires Définition X et Y sont des variables aléatoires sur E. On note x1, x2, ..., xn les valeurs prises par X et y1, y2, ..., ym celles prises par Y. Dire que X et Y sont indépendantes signifie que pour tous i et j, les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants. 3. Formule des probabilités totales Définition Dire que les événements B1, B2, ..., Bn forment une partition de E signifie qu’ils sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est E. Théorème Les événements B1, B2, ..., Bn forment une partition de E. Alors, pour tout événement A, P(A) = P(A  B1) + P(A  B2) + … + P(A  Bn) c’est-à-dire : P(A) = PB1 (A)  P(B1) + PB2 (A)  P(B2) + … + PBn (A)  P(Bn) Démonstration Les événements A  B1, A B2, ..., A  Bn sont deux à deux incompatibles et leur réunion est A, la formule en découle