Terminale S Chapitre 10 « Loi Normale »

Terminale S

Chapitre 10 « Loi Normale »

21/03/2013

I) Introduction On fait une étude statistique de la taille des individus d'une population. Dans chaque cas, la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm. On trace les histogrammes de la taille, avec des classes de 5cm de large. Echantillon de 10 individus

Echantillon de 100 individus 20

3

15

2

10

1

5

0 120

140

160

180

200

taille (cm)

120

Echantillon de 1000 individus

140

160

180

taille (cm)

200

Echantillon de 10.000 individus

150 1500

100

1000

50

500

0 120

0 120

140

160

180

200

taille (cm)

Echantillon de 100.000 individus. n o m b r e d’ i n d i v i d u s

6000 4000 2000 0 120

140

160

180

taille (cm)

200

140

160

180

taille (cm)

200

Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche, appelée loi normale. On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante (conditions de Borel). Historiquement, cette loi acquiert sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C’est pourquoi elle porte également les noms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de LaplaceGauss. La distribution normale est une distribution théorique, en ce sens qu'elle est une idéalisation mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature. Mais de nombreuses distributions réellement observées s’en rapprochent et ont cette fameuse forme de « cloche » (beaucoup d’individus autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon symétrique).

II) La loi binomiale pour un grand nombre d’épreuves Rappel : On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B ( n, p ) . X associe le nombre de succès lors de n répétitions d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Dans ce cas, E ( X ) = np et σ ( X ) = np (1 − p ) Exercice 1 : On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B (10,0.3) . Construire un tableau de la loi de X. Réaliser un histogramme de cette loi.

En faisant varier n :

La "cloche" se décale de gauche à droite Pour éliminer cet effet de décalage, il suffit d'ôter l'espérance µ = np. La variable est alors centrée.

En faisant varier p :

La "cloche" est plus ou moins large ( et haute ) . Pour éliminer cette dispersion, il suffit de diviser par l'écart type σ = np (1 − p )

Propriété : Etant donnés n ∈
et p ∈ ]0,1[ , on considère une variable aléatoire X n qui suit la loi binomiale B ( n, p ) . On lui associe la variable centrée réduite Z n =

Xn − E ( Xn )

σ ( Xn )

.

On a alors ∀n ∈
, E ( Z n ) = 0 et σ ( Z n ) = 1. Pour des grandes valeurs de n l’histogramme de la variable Z n décrit une courbe en cloche. Cette courbe est la densité de la loi normale centrée réduite. On le démontrera plus tard, c’est le théorème de Moivre-Laplace.

III)

Loi normale centrée réduite Définition : Soit Z une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle . On appelle loi normale centrée réduite, notée N ( 0,1) sur Z la loi ayant pour densité x → f ( x ) = On a alors P ( a ≤ Z ≤ b ) =

1 2π

∫

b

a

e

−

x2 2

1 2π

e

−

x2 2

.

dx.

Remarques :


La fonction de densité est paire. Sa représentation graphique est appelée courbe en cloche. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
C’est bien une fonction de densité. 2

Elle est continue, positive et on admettra que ∫

+∞

−∞

1 − x2 e dx = 1. 2π 2

1 − x2
Il n’est pas possible de déterminer une forme explicite des primitives de la fonction e . 2π On utilise des tables ou la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées des intégrales.

1

← p ( −1 ≤ Z ≤ 1) = ∫ e

−

x2 2

−1

dx  0.68

1) Avec la calculette : Pour tracer la fonction de densité : NormPD casio La fonction normalpdf TI

permet de tracer f ( x ) =

normPDF TI nspire

1 2π

e

−

x2 2

NormPD ( x ) normalpdf ( x ) pour calculer l’intégrale. normPdf ( x )

Pour calculer une probabilité : NormCD casio La fonction normalcdf TI normCdf

NormCD ( a, b )

permet de calculer P ( a ≤ X ≤ b ) = normalcdf ( a, b ) . normCdf ( a, b )

TI nspire

On peut donner à a et le b des valeurs infinis avec −∞  −1099 ou +∞  1099 Exemple : Calculer P ( −1 ≤ X ≤ 1) , P ( −2 ≤ X ≤ 2 ) , P ( −3 ≤ X ≤ 3) . Donner le résultat sous forme de pourcentage tronqué à l’entier.

Exercice 2 : Si une variable aléatoire X suit la loi N ( 0,1) , utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées à

10−3 près de P ( −0.3 ≤ X ≤ 0.6 )

P ( X ≤ 0.5 ) et

P ( X ≥ 0.1)

2) Graphiquement à partir de la courbe de densité :

Exemple : Soit Z une variable aléatoire suivant la loi N (0,1) dont la fonction de densité est tracée ci-contre. Estimer graphiquement à 5% près : 1) P (1 ≤ X ≤ 2 ) 2) P ( X ≥ 2 )

3) Avec une table :

On appelle Π la fonction qui à x ∈  associe Π ( x ) = P ( X ≤ x )

Propriété : 1 Si Z suit la loi N ( 0,1) alors ∀a, b ∈ , Π ( 0 ) = , Π ( −a ) = 1 − Π ( a ) 2 P ( Z ≤ b ) = Π ( b ) , P ( a ≤ Z ≤ b ) = Π ( b ) − Π ( a ) , P ( a ≤ Z ) = 1 − Π ( a ) et P ( −a ≤ Z ≤ a ) = 2Π ( a ) − 1 Remarque : Avant l’utilisation massive des calculatrices, on utilisait des tables de valeurs de la fonction Π pour calculer des probabilités avec la loi normale. Exemple : Cette table donne les valeurs de la fonction π : x → P ( Z < x ) où Z suit la loi N ( 0,1) . .

Utiliser cette table pour calculer donner des valeurs approchées de : P ( Z < 1.24 ) P ( −0.62 < Z < 1.24 ) et P ( −0.62 < Z ) 4) Calculs d’antécédents pour la fonction ૈ :

Etant donnée un réel α ∈ ]0,1[ , on peut aussi chercher la valeur x telle que π ( x ) = α . Pour cela on peut utiliser la fonction

InvNormCD (α ) InvNormCD casio permet de calculer x = invNorm TI et nspire invNorm (α )

Exemple : Déterminer a tel que Π ( a ) = 0.75 puis b tel que P ( −b ≤ Z ≤ b ) = 0.5

5) Espérance et écart type Propriété : Espérance et Variance Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N ( 0;1) , alors E ( Z ) = 0 et V ( Z ) = 1. Dem : E(X ) =

1 2π

∫

+∞

−∞

xe

−

x2 2

+∞

2 2  −x 1  − x2  1  2  lim  − e dx = − e  = 2π  2π  x →+∞   −∞

V ( X ) = E ( X 2 ) − E2 ( X ) = E ( X 2 ) =

IV)

1 2π

∫

+∞

−∞

x2e

−

x2 2

  −x  − lim  − e 2  x →−∞   

2

 1  = ( 0 − 0) = 0  2π 

dx = 1 ( se démontre avec une IPP )

Le cas général : La loi normale Définition : Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle .

(

On dit que X suit la loi normale de paramètres µ et σ 2 notée N µ ,σ 2 si la variable aléatoire associée Z =

Z −µ

σ

)

suit la loi N ( 0,1) .

b−µ  a−µ ≤Z ≤ P (a ≤ X ≤ b) = P  σ   σ

1) Avec la calculette : Pour calculer des probabilités : NormCD casio la fonction normalcdf TI

NormCD ( a, b, σ , µ )

Attention à l'ordre

permet de calculer P ( a ≤ X ≤ b ) = normalcdf ( a, b, µ , σ ) des paramètres !!!! normCdf TI nspire normCdf ( a, b, µ , σ )

On peut donner à a et le b des valeurs infinis avec −∞  −1099 ou +∞  1099 Exemples : 1) Si X ∼ N ( 5, 2 ) , déterminer P ( 4 ≤ X ≤ 6 ) 2) Si X ∼ N ( 7,3) , déterminer P ( X ≤ 8 ) 3) Si X ∼ N ( 0, 2 ) , déterminer P (1 ≤ X ) Exercice 3 : On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 178 et d'écart-type 10. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : 1) A : « Un homme interrogé au hasard a une taille supérieure ou égale 180 » 2) B : « Un homme interrogé au hasard a une taille strictement inférieure à 150 » 3) C : « Un homme interrogé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 » Exercice 4 : Déterminer σ connaissant une valeur Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois N ( 0, σ 2 ) et N ( 0,1)

5  1) Montrer que ∀σ > 0, P ( X < 5 ) = P  Z <  σ  2) Donner le réel x tel que P ( Z < x ) = 0.8

3) En déduire la valeur de σ telle que P ( X < 5 ) = 0.8

Exercice 5 : Déterminer µ connaissant une valeur Soient X et Z des variables aléatoires suivant respectivement les lois N ( µ , 42 ) et N ( 0,1)

20 − µ   1) Montrer que ∀µ ∈ , P ( X > 20 ) = P  Z >  4   2) Donner le réel x tel que P ( Z > x ) = 0.01 3) En déduire la valeur de µ telle que P ( X > 20 ) = 0.01

2) Avec une table : On utilise encore une table de valeurs de la fonction π : x → P ( Z < x ) où Z suit la loi N ( 0,1) . . Par exemple :

Si X une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres µ = 11 et σ = 3.22 , pour calculer la X − 11 qui suit la loi normale centrée et réduite. probabilité P ( 7 ≤ X ≤ 15 ) , on pose Z = 3.22 X − 11 Comme 7 ≤ X ≤ 15 ⇔ −1.24 ≤ ≤ 1.24 ⇔ −1.24 ≤ Z ≤ 1.24 3.22 P ( 7 ≤ X ≤ 15 ) = P ( −1.24 ≤ Z ≤ 1.24 ) = Π (1.24 ) − Π ( −1.24 ) = 0.892 − 0.108 = 0.78

3) Espérance et écart type Propriété : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N ( µ ,σ 2 ) , alors E ( X ) = µ et V ( X ) = σ 2 . Dem : On pose Z =

X −µ

σ

. D'après le cours, la variable Z suit la loi N ( 0,1) et E ( Z ) = 0 et V ( Z ) = 1.

Comme X = σ Z + µ , par linéarité E ( X ) = E (σ Z + µ ) = σ E ( Z ) + µ = µ . 2

(

2

)

On a V ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) = E (σ Z + µ ) − µ 2 = E (σ 2 Z 2 + 2 µσ Z + µ 2 ) − µ 2 = σ 2 E ( Z 2 ) + 2 µσ E ( Z ) + µ 2 − µ 2σ 2 = σ 2 E ( Z 2 ) + 2 µσ E ( Z ) = σ 2 car E ( Z ) = 0 et V ( Z ) = 1 ⇔ E ( Z 2 ) − E 2 ( Z ) = 1 ⇔ E ( Z 2 ) = 1 A connaitre : Si X ∼ N ( µ , σ 2 ) et Z ∼ N ( 0,1) alors P ( X ∈ [ µ − σ , µ + σ ]) = P ( Z ∈ [ −1,1])  0.683 P ( X ∈ [ µ − 2σ , µ + 2σ ]) = P ( Z ∈ [ −2, 2])  0.954 P ( X ∈ [ µ − 3σ , µ + 3σ ]) = P ( Z ∈ [ −3,3])  0.997

Dem : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N ( µ ,σ 2 ) , alors Z = On a alors : µ − iσ ≤ X ≤ µ + iσ ⇔

µ − iσ − µ

σ

≤

X −µ

σ

µ + iσ − µ

≤

σ

X −µ

σ

suit la loi N ( 0,1) .

⇔ −i ≤ Z ≤ i pour i ∈
.

Exercice 6 : On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population avec une moyenne de 1 g/l et un écart-type de 0.03 g/l. On mesure la glycémie chez un individu. 1) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit inférieure à 1.06. 2) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit comprise entre 0.94 et 1.08. 3) On mesure la glycémie chez 1000 individus. Donner le nombre moyen d’individus dont la glycémie est supérieure à 0.99. 4) Donner le taux moyen de la glycémie dans la population. Exercice 7 : Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en poudre. Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flocon est une variable aléatoire de loi normale de moyenne m et d’écart type 1.1 mg. Les flacons sont vendus comme contenant 100 mg de produit. 1) La machine est réglée sur m = 101.2 mg . Quelle est la probabilité que le poids de produit dans un flacon soit inférieur au poids annoncé de 100 mg ? 2) Donner une valeur approchée de la valeur de m sur laquelle il faut régler la machine pour qu’au plus 4 % des flacons aient un poids inférieur au poids annoncé de 100 mg ? 1ère méthode : On pourra tracer la courbe de la fonction x → PN ( x ,1.1) ( X ≤ 100 ) . 2ème méthode : On pourra utiliser la démarche de l’exercice 5.

V) Théorème de Moivre-Laplace 1) Convergence de la loi binomiale Théorème de Moivre - Laplace : Pour tous n ∈
∗ et p ∈ ]0;1[ , on considère une variable aléatoire X n qui suit la loi binomiale B ( n, p ) . et Z n =

Xn − E ( Xn )

σ ( Xn )

la variable centrée réduite associée. 2

Alors ∀a, b ∈ , tels que a < b, on a lim P ( a ≤ Z n ≤ b ) = ∫ n →+∞

b

a

1 − x2 e dx. 2π

Application pratique : On considère que la limite dans la théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsqu’on a simultanément n ≥ 30, np ≥ 5 et n (1 − p ) ≥ 5 . C’est-à-dire un échantillon de taille supérieure ou égale à 30 avec une espérance de posséder ou pas le caractère supérieure ou égale à 5.

  X n − np ≤ b   P ( a ≤ Z ≤ b ) où Z ∼ N ( 0,1) . Dans ces conditions P  a ≤   np (1 − p )   Exemple :

Avec X ∼ B ( 60,0.25 ) , on a bien : n = 60 ≥ 30, np = 60 × 0.25 = 15 ≥ 5 et n (1 − p ) = 60 × 0.75 = 45 ≥ 5. P (18 ≤ X ≤ 22 ) = P ( X = 18 ) + P ( X = 19 ) + P ( X = 20 ) + P ( X = 21) + P ( X = 22 )

 60   60   60  =   × 0.2518 × 0.7542 +   × 0.2519 × 0.7541 +   × 0.2520 × 0.7540  18   19   20   60   60  +   × 0.2521 × 0.7539 +   × 0.2522 × 0.7538  0.20  21   22  On a np = 15

np (1 − p ) = 60 × 0.25 × 0.75  3.35 et Z =

X − 15 ∼ N ( 0,1) 3.35

 18 − 15 X − 15 18 + 15  P (18 ≤ X ≤ 22 ) = P  ≤ ≤  = P ( 0.89 ≤ Z ≤ 9.84 ) = 0.19 3.35 3.35   3.35 Exercice 8 : (BTS biochimie 1994) On effectue des contrôles d’alcoolémie d’automobilistes dans une région donnée, un jour donné, pendant une période horaire donnée. Les statistiques permettent d’établir que la probabilité pour qu’un automobiliste choisi au 1 . On considère un échantillon de la hasard dans les conditions précédentes présente un contrôle positif est 50 population constitué de 2000 automobilistes dont on veut contrôler le taux d’alcoolémie dans les conditions précédentes. On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de contrôles positifs parmi ces 2000. 1) Quelle loi suit la variable X ? En donner les paramètres. Calculer l’espérance et l’écart type de X. 2) Calculer la probabilité que X soit compris entre 33 et 43. 3) Est-il raisonnable d’utiliser une approximation normale pour calculer cette probabilité ? Quels sont alors ses paramètres. 4) En utilisant cette loi normale calculer les probabilités P ( X ≥ 36 ) et P ( 33 ≤ X ≤ 43) . Exercice 9 : (BTS biochimie 1998) Dans un pays d’Afrique, 15% de la population est atteinte du virus du sida. Partie A : La stratégie de dépistage met en place un test biologique qui doit être négatif si la sujet est sain, et positif si le sujet est contaminé. La probabilité qu’un test soit positif sachant que le sujet est sain est 0.004. La probabilité qu’un test soit négatif sachant que le sujet est contaminé est 0.024. On choisit un individu au hasard dans ce pays. 1) Calculer la probabilité que le test soit positif et l’individu sain. 2) Calculer la probabilité que le test soit négatif et l’individu contaminé. 3) En déduire la probabilité que le résultat soit erroné. Partie B : Une campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population. On suppose que l’effectif de la population est très grand. On suppose que les risques d’erreur du test sont négligeables et on admet que la probabilité qu’un test réalisé sur une personne prise au hasard soit positif est 0.15. On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de tests positifs sur les 500 tests effectués. 1) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Calculer son espérance et son écart type. 2) Par quelle loi peut-on approcher la loi définie ci-dessus ? 3) En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que plus de 80 individus soient positifs au test. Exercice 10 : Un revendeur de téléphones désire s’implanter dans une galerie marchande. Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils par jour et les ventes sont deux à deux indépendantes. Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, la marque A réalise 38.6 % du marché. 1) On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre d’appareils de marque A vendus ce jour-là. 2) a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Préciser ces paramètres. b) Calculer la probabilité que , sur 40 appareils vendus par jour, 20 soient de marque A. Calculer l’espérance de X . Calculer l’écart type à 0.1 près.

3) On décide d’approcher cette loi par une loi normale de paramètres µ et σ a) Expliquer pourquoi µ = 15.44 et σ = 3 b) On note Y la variable aléatoire qui suit la loi normale N (15.44,3) . Donner une valeur approchée à 0.01 près de P (19.5 ≤ Y ≤ 20.5 ) c) Déterminer la probabilité de l’événement : « un jour donné, 20 au moins des appareils vendus sont de marque A ». d) Déterminer une valeur approchée de l’événement : « un jour donné, le nombres d’appareils de marque A vendus est compris entre 15 et 25 ».

2) Intervalles de fluctuation La population On étudie un caractère dans une population. Chacun des individus possède ce caractère ou pas. On note p la proportion du caractère dans la population. L’échantillon Un échantillon de taille n de cette population est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience. On note X la variable aléatoire qui compte de nombre de succès (l’individu possède le caractère). np (1 − p ) .

Cette variable suit une loi binomiale B ( n, p ) d’espérance np et d’écart type Propriété : Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N ( 0;1) ,

alors pour tout α ∈ ]0,1[ , il existe un unique réel uα tel que P ( −uα ≤ Z ≤ uα ) = 1 − α . Dem : x

On définit la fonction g sur  + par g ( x ) = P ( − x ≤ X ≤ x ) = 2∫ f ( x ) dx. 0

x

On rappelle que la fonction x → ∫ f ( x ) dx est la primitive ( sous forme intégrale ) de f qui s'annule en 0. 0

La fonction g est donc continue et dérivable de dérivée 2 f ( x ) . Comme ∀x ∈ , f ( x ) > 0, la fonction g est donc strictement croissante. +∞

1

−∞

2π

La fonction g est continue, strictement croissante sur  et F ( 0 ) = 0 et lim g ( x ) = ∫ +

x →+∞

D'après le TVI, comme 1 − α est compris entre F ( 0 ) et lim g ( x ) , x →+∞

+

il existe un unique réel uα ∈  tel que g ( uα ) = 1 − α . Exemple :

Déterminer u0.05  1.96 et u0.01  2.58

Avec la calculette :

1ère méthode : On utilise P ( − x ≤ Z ≤ x ) = α ⇔ 2 × π ( x ) − 1 = α ⇔ π ( x ) =

α +1 2

e

−

x2 2

dx = 1.

InvNormCD  α 2+1  InvNormCD casio la fonction permet de calculer x = invNorm TI et nspire invNorm  α2+1 

2ème méthode : On trace le graphe x ∈  + → P ( − x ≤ X ≤ x ) NormCD casio la fonction normalcdf TI normCdf

NormCD ( − x, x )

permet de tracer P ( − x ≤ Z ≤ x ) = normalcdf ( − x, x ) normCdf ( − x, x )

TI nspire

Exercice 11 : Si la variable aléatoire X suit la loi normale N(0,1), déterminer u0.10 .

Propriété : Corollaire du théorème de Moivre-Laplace Si la variable aléatoire X n suit une binomiale B ( n, p ) , alors la fréquence des succès Fn =  p (1 − p ) vérifie pour tout α ∈ ]0,1[ , lim P  p − uα ≤ Fn ≤ p + uα n →+∞  n  où uα vérifie P ( −uα ≤ Z ≤ uα ) = 1 − α avec Z ∼ N ( 0,1) .

Xn n

p (1 − p )   =1−α  n 

 p (1 − p ) p (1 − p )   est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de Fn . L'intervalle I n =  p − uα , p + uα n n   Démonstration : Si X n suit la loi binomiale B ( n, p ) alors d'après le théorème de Moivre-Laplace :

  X − E( Xn ) lim P  −uα ≤ n ≤ uα  = P ( −uα ≤ Z ≤ uα ) où Z ∼ N ( 0,1) .   n →+∞ σ ( Xn )   X On note Fn = n : n X − E ( Xn ) X n − np −uα ≤ n ≤ uα ⇔ −uα ≤ ≤ uα ⇔ −uα np (1 − p ) + np ≤ X n ≤ uα np (1 − p ) + np σ ( Xn ) np (1 − p ) ⇔ p − uα

np (1 − p ) n

≤ Fn ≤ p + uα

np (1 − p ) n

 p (1 − p ) Donc lim P  p − uα ≤ Fn ≤ p + uα n →+∞  n  = P ( −uα ≤ Z ≤ uα ) = 1 − α

+ p ⇔ p − uα

p (1 − p ) n

≤ Fn ≤ p + uα

p (1 − p ) n

p (1 − p )    X − E ( Xn )  = lim P  −uα ≤ n ≤ u  α   n→+∞  σ ( Xn ) n  

A connaitre : u0.05  1.96 et u0.01  2.58 En pratique : On rappelle que la limite du théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte quand n ≥ 30, np ≥ 5 et n (1 − p ) ≥ 5 . a) Application pratique : « Intervalles de fluctuations asymptotiques à 95 % »

On souhaite, par exemple déterminer les intervalles de fluctuation au seuil 0.95 (c’est-à-dire avec α = 0.05 ).

On a vu que u0.05  1.96 :

Intervalles de fluctuation au seuil 95 % Si la variable aléatoire X n suit une binomiale B ( n, p ) ,  p (1 − p ) p (1 − p )   , p + 1.96 alors la fréquence des succès Fn fluctue dans l'intervalle I n =  p − 1.96 n n   avec une probabilité d'autant plus proche de 0.95 que n est grand. Exemple : Si on reprend l’exemple du dé avec p = 0.5 , on a n ≥ 30 et np = n (1 − p ) = 30 × 0.5 = 15 ≥ 5 et : I100 = [0.40,0.60] I1000 = [0.47,0.53] I 4000 = [0.48, 0.52] La fréquence d’apparition du pile appartient donc à l’intervalle [0.48,0.52] avec une probabilité proche de 0.95. b) Version simplifiée (programme de seconde)

Si la variable aléatoire X n suit une binomiale B ( n, p ) , alors pour tout p ∈ ]0,1[ , il existe un entier n0 tel que ∀n ≥ n0 , 1 1   Fn fluctue dans l'intervalle  p − ,p+  avec une probabilité supérieure à 95 %. n n  Dem:  p (1 − p ) p (1 − p )   1 1   ⊂ p− 1) Montrons d'abord que  p − 2 ,p+2 ,p+  n n n n    En étudiant la fonction x → x (1 − x ) sur [ 0,1] , on montre qu'elle admet un maximum égal à p (1 − p )

1 . 4

1 et donc l'inclusion. n n 2) Prenons uα = 2, on calcule alors α  0.045. On en déduit que 2

≤

 p (1 − p ) p (1 − p )    0.9545. D'après le corallaire du Théorème de Moivre-Laplace lim P  p − 2 ≤ Fn ≤ p + 2 n →+∞   n n    p (1 − p ) p (1 − p )   > 0.95 Il existe donc un entier n0 tel que dès que n ≥ n0 : P  p − 2 ≤ Fn ≤ p + 2   n n    p (1 − p ) p (1 − p )  1 1     > 0.95 Comme P  p − ≤ Fn ≤ p + ≥ P p − 2 ≤ F ≤ p + 2 n    n n n n    . Exercice 12 : 110 du livre page 407 Un fabricant de diodes électroluminescentes (LED) garantit que la probabilité qu’une diode ne fonctionne pas vaut au plus 0.03. Pascal s’est fait livrer 5000 diodes. On note X le nombre de diodes défectueuses parmi les 5000 diodes et F leur fréquence. 1) Quelle est la loi suivie par X ? 2) D’après Moivre-Laplace, dans quel intervalle fluctue F avec une probabilité 0.95 ? 3) En déduire que X fluctue à plus de 95% dans l’intervalle [127,174]. Pascal a constaté que 172 diodes ne fonctionnaient pas dans le lot de 5000 qu’il a commandé. Il trouve que ce nombre est trop élevé. Peut-il considéré que le lot est « non conforme » ? 4) Quelle est la probabilité pour qu’un lot ne soit pas conforme ? 5) Si le lot de Pascal n’avait contenu aucune diode défectueuse, aurait-il été considéré comme conforme ?

6) Pascal trouve cette règle de décision absurde, il propose une autre règle : si le lot contient moins de 170 diodes défectueuses, alors il est jugé conforme. Suivant cette nouvelle règle, qu’elle est la probabilité qu’un lot ne soit pas conforme ? 7) Quelle règle de décision vous parait plus adaptée au problème : celle de fabricant ou celle de Pascal ? 8) Selon sa règle de décision, le lot reçu par Pascal est-il conforme ?

1) Estimation du paramètre p d’une loi B(n,p) Situation : Considérons une expérience à deux issues contraires dont on ne connait pas la probabilité p. On désire estimer au mieux p à partir ne n expériences indépendantes. En notant X n le nombre de succès, il est naturel de proposer X comme estimation Fn = n . A quel point peut-on se fier à cette estimation ? n Propriété :  1 1   Lorsque n est assez grand ( en pratique n ≥ 30, np ≥ 5 et n (1 − p ) ≥ 5 ) , P  p ∈  Fn − , Fn +   ≥ 0.95. n n    1 1   On dit que  Fn − , Fn +  est un intervalle de confiance à 95 %. n n  Admis. Exemple : Lors d’un scrutin électoral, on souhaite connaître la proportion p de français qui voteront pour un candidat « A ». Un institut de sondages mène une enquête auprès de 1000 personnes tirées au hasard. Le résultat indique de 49% d’entre-elles voteront pour le candidat « A ». 1) Quelle est la loi suivie par le nombre de personnes votant « A » dans cette enquête ? 2) Etant donné le résultat de l’enquête, donner un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion p. 3) Peut-on affirmer d’après l’enquête que le candidat « A » n’aura pas la majorité des votes ?

Exercices résolus 4 et 5 page 390-1

A savoir ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Rappel de seconde : 1 1   En seconde, on a vu que pour n > 25 et 0.2 < p < 0.8, l'intervalle  p − ,p+  constitue un intervalle de n n  fluctuation au seuil 95 %. On veut tester l’hypothèse selon laquelle la pièce est équilibrée, c’est-à-dire que p = 0.5 . On a n = 4040 et l'intervalle de fluctuation au seuil 95% est donc [ 0.48,0.52].

2048  0.51 . 4040 Cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation, on peut donc accepter l’hypothèse « la pièce est équilibrée ».

La fréquence du pile dans l’échantillon est f =

Rappel de première : En supposant que la pièce est équilibrée, la variable aléatoire X qui dénombre les résultats pile obtenus dans l’échantillon suit une loi binomiale B ( 4040,0.5 ) .

k k  On a vu en première que l’intervalle de fluctuation à 95% associé à X est l’intervalle  1 , 2  où n n  k1 est le plus petit des entiers k vérifiant P ( X ≤ k ) > 0.025 k1 est le plus grand des entiers k vérifiant P ( X ≤ k ) ≥ 0.975 On détermine k1 et k2 en réalisant des simulation sur tableur : = LOI.BINOMIALE ( Nbsuccès; Nbtirages; proba;1)

On obtient k1 = 1958 et k2 = 2082 .

 1958 2082  L'intervalle de fuctuation est donc  ;  = [ 0.4847;0.5153] .  4040 4040  Ce qui est assez proche des valeurs approchées obtenues en seconde.