Terminale S Chapitre 2 « Lois de probabilités discrètes

Terminale S

Chapitre 2 « Lois de probabilités discrètes »

SAVOIR

SAVOIR FAIRE

Exercices

Rappels de 1ère S : Loi de probabilité d’une variable aléatoire et connaître les paramètres de position et de dispersion

- Savoir déterminer, à l’aide d’un tableau, la loi d’une variable aléatoire.

Probabilités conditionnelles

- Savoir calculer, interpréter, repérer une probabilité conditionnelle.

- Savoir calculer et interpréter l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire.

- Connaître la relation entre probabilités 1.1 conditionnelles et probabilité de l’intersection de deux évènements. Partitions et arbres

- Savoir compléter un arbre de probabilités à l’aide de probabilités conditionnelles . 1.2 - Connaître et savoir utiliser la formule des probabilités totales.

Indépendance

- Savoir déterminer si deux évènements sont indépendants.

Loi binomiale

- Savoir justifier qu’une loi est une loi binomiale. -

TICE

TS Lois de probabilités discrètes

1.3

Connaître les formules permettant de calculer l’espérance et l’écart-type d’une loi binomiale.

- Savoir calculer avec une calculatrice les valeurs d’une variable aléatoire suivant 1.4 une loi binomiale.

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1

Quelques rappels

Rappels sur l'espérance, la variance et l'écart type : Etant donné une loi discrète sur une variable aléatoire X : X p  X  xi 

x1 p1

x2 ... p2 ...

xn pn

L'espérance : E  X   p1 x1  p2 x2  ...  pn xn La variance : V  X   p1  x1  E  X    p2  x2  E  X    ...  pn  xn  E  X   2

ou

2

V  X   p1 x12  p2 x2 2  ...  pn xn 2   E  X  

2

2

L'écart type :   X   V  X  Linéarité : Si X est une variable aléatoire , pour tous réels a et b , on a : E  aX  b   aE  X   b

et

V  aX   a 2V  X 

Exercice de révision : Une urne contient six billets numérotés de 1 à 6. On réalise l’expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard deux billets successivement et sans remise. 1) Chaque tirage peut être modélisé par un couple  a, b  de deux nombres distincts. Par exemple le tirage du billet numéroté 3 suivi du billet numéroté 5 sera noté  3,5  . A l’aide du tableau ci – dessous , décrire les différentes issues de l’univers et donner son cardinal : ……. Urne 1

1

2

3

4

5

6

Urne 2

1 2 3 4 5 6

TS Probabilités conditionnelles

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2) On suppose que tous les tirages sont équiprobables. a) Soit A l’évènement : « le premier numéro tiré est plus petit que le second». Calculer la probabilité de A.

b) Quelle est la probabilité de l’événement contraire A ?

c) Calculer la probabilité de l’évènement B : « au moins l’un des numéros est pair ».

d) Quelle est la probabilité de l’intersection A  B ?

e) Quelle est la probabilité de la réunion A  B ?

3) Soit D la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres du couple. Ainsi au couple  3,5  , comme au couple  5,3 , la variable aléatoire D associe le réel 5  3  2 . a) Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire D ?

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b) Calculer les probabilités p  D  1 et p  D  3

c) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire D

d) Calculer l’espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire D.

2 2.1

Probabilités conditionnelles Situation et définition Exemple : Trois candidats se présentent à une élection. La répartition des votes selon le sexe des votants et le candidat choisi est donnée en pourcentage dans le tableau ci-dessous : A

B

C

Total

F : Femmes

42

13

5

60

H : Hommes

28

7

5

40

Total

70

20

10

100

On choisit au hasard l’une des personnes ayant voté. On note F et A les événements : F : « La personne choisie est une femme ». A : « La personne choisie a voté pour le candidat A ».

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1) Quelle est la probabilité de F ? 2) Quelle est la probabilité de A ? 3) Quelle est la probabilité de F  A ? 4) On interroge une femme. On note D l’événement : « la femme interrogée a voté pour le candidat A ». Calculer p  D  5) On interroge un personne ayant voté pour le candidat A. On note E l’événement : « la personne ayant voté pour le candidat A est une femme ». Calculer p  E  6) Calculer

p  F  A p  F  A et . pF  p  A

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Définition : On considère une probabilité p sur un univers  et un événement A   tel que p  A   0. On peut alors définir une autre probabilité, notée p A sur cet univers par :  B  ,

pA  B  

p  B  A . Cette probabilité est dite conditionnelle. p  A

On lit : " probabilité de B sachant A ". Exemple : On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On considère les événements suivants : C : « La carte est un cœur » et D : « La carte est une dame ». 1) Déterminer p  D  , P  C  , p  D  C  et pC  D  2) Sachant que la carte tirée est une dame, quelle est la probabilité que la carte soit un cœur ?

2.2

Probabilité conditionnelle et intersection

Propriété : Formules de Bayes Soient A et B deux événements d'un même univers et de probabilité non nulle. On a : p  A  B   p  B   pB  A  p  A   p A  B  Exemple :

1 3

Soient A et B deux événements d’un même univers tels que p  A   , p A  B   Déterminer p  A  B  , p  B  et p  A  B  .

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1 1 et pB  A   . 4 6

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3

3.1

Partitions et arbres

Arbres

Définition : Soient A1 , A2 , A3 ,...., An des événements d'un univers . On dit qu'ils forment une partition de  s'ils sont deux à deux disjoints et si

n

Ai  .

i 1

Dans ce cas, on peut construire un arbre probabiliste : Règles

Illustration

A A l’origine de l’arbre, on place l’événement certain. Une branche représente un lien probabiliste entre deux événements, par exemple A et B. La probabilité sur cette branche est la probabilité conditionnelle pA  B  . Pour les branches issues de Ω, on a p  A  p  A

Une succession de branches est appelée un chemin. Ce chemin représente l’intersection des événements rencontrés et sa probabilité est égale au produit des probabilités notées sur les branches. p  A  B  C   p  A  pA  B   pB C   0.4  0.3 0.2

La somme des probabilités des branches issues d’un même événement est toujours égale à 1.

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Exemple :

 

Sachant que p  A  0.2 pA  B   0.3 et pA B  0.4 , compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

3.2

Formule des probabilités totales Théorème: Formule des probabilités totales Soit A1 , A2 , ..., An une partition de . Pour tout évènement C de  ,

p  C   p A1  C   p  A1  +p A2  C   p  A2   ...  p An  C   p  An 

Démonstration:

TS Probabilités conditionnelles

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Exemple : Une première urne contient trois boules blanches et deux boules noires. Une seconde urne contient une boule blanche et quatre boules noires. On choisit au hasard l’une des deux urnes dont on extrait une boule. On considère les événements U1 : « Choisir la première urne » et B : « Choisir une boule blanche » Quelle est la probabilité que la boule choisie soit blanche ?

Cas particulier : Si B est différent de  et , alors B et B forment une partition de .

 

Dans ce cas, p  C   p  B   pB  C   p B  p B  C 

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4 4.1

Indépendance Définition

Exemple : Dans une population de mille personnes, la répartition des fumeurs selon le sexe est la suivante : H : Hommes

H : Femmes

Total

324

276

600

216

184

400

540

460

1000

F : Fumeurs F : Non fumeurs

Total

On rencontre un individu au hasard. 1) Quelle est la probabilité que l’individu soit fumeur ? 2) Quelle est la probabilité que l’individu soit fumeur sachant que c’est un homme ? 3) Quelle est la probabilité que l’individu soit fumeur sachant que c’est une femme ? 4) Que peut-on dire de l’influence du sexe sur le tabagisme dans ce cas ? 5) Montrer que dans ce cas p  F  H   p  F   p  H 

Définition : Deux événements A et B sont dits indépendants lorsque p  A  B   p  A   p  B  Exemple : On fait l’hypothèse que chacun des moteurs d’un avion bimoteur tombe en panne avec une probabilité égale à 104 et ceci de façon indépendante. On considère les événements suivants : G « le moteur gauche tombe en panne » et D « le moteur gauche tombe en panne ». Calculer p  G  D  .

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Propriété: Si A et B sont deux événements indépendants, A et B ainsi que A et B le sont aussi. demonstration :

Exemple : Dans l’exemple précédent, l’avion étant conçu pour continuer à voler avec un seul moteur en état de fonctionnement, calculer la probabilité qu’il arrive à bon port.

4.2

Application : loi binomiale

Définition : Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, identiques et indépendantes, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus suit la loi, dite binomiale, de paramètres n et p. On la note B  n, p  . Théorème : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B  n, p  .

A connaitre :

n k Pour tout entier k  1, 2,..., n , p  X  k     p k 1  p  . k  On a E  X   np et V  X   np 1  p 

n n      1 0 n

n n    n  1   n  1

Exemple : On lance une pièce de monnaie 10 fois de suite, ou bien on lance 10 pièces de monnaie identiques. On note X la variable qui compte le nombre de « pile » obtenus. 1) Quelle loi suit la variable X ? 2) Calculer p  X  2 . 3) Déterminer la probabilité d’obtenir au moins une fois pile.

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4.3.

Coefficients binomiaux Le triangle de Pascal 0  n  n  n   n  1   n  1 En utilisant que          1 et       , on construit le triangle de Pascal : 0 0   n  p   p  1  p  n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 1 6 4 10 10 15 20 21 35 28 56 36 84 45 120

4

1 5 15 35 70 126 210

5

6

7

8

9

10

1 6 1 21 7 1 56 28 8 1 126 84 36 9 252 210 120 45

1 10

1

Binôme de Newton Si a et b deux nombres réels  ou complexes  et n un entier naturel. On a

 a  b

n

n n      a pbn p p 0  p 

Exemple : A l'aide du triangle de Pascal , développer 1  x  . 5

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