Terminale S Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini

Terminale S I)

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 1

Notions sur les ensembles 1) Cardinal d’un ensemble fini Définition : On dit qu'un ensemble E est fini s'il a un nombre fini d'éléments. On appelle alors cardinal de E , noté card ( E ), le nombre de ses éléments.

Exemple: E = {1, 2,3, 4,5,6} card ( E ) = 6 Contre-exemples : certains ensembles ont une infinités d'élements comme
, ,  ou [ 0,1]. 2) Complémentaire d’un ensemble Définition : soit A est une partie ( ou un sous-ensemble ) d'un ensemble E. On appelle complémentaire de A dans E , noté C E A ou A , l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A. On peut représenter cette situation par un diagramme de Venn :

A A

Exemple : Si E = {1, 2,3, 4,5,6} , P = {2, 4,6} , I = {1,3,5} et J = {3,6} alors I = P, E = ∅ et T = {1, 2, 4,5} Propriété : Soient E est un ensemble fini et A une partie de E.

( )

Alors card A = card ( E ) − card ( A ) .

3) Intersection, réunion Définition : soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. On appelle intersection de A et B, notée A ∩ B, l'ensemble des éléments de E qui appartiennent à la fois à A et à B. On appelle réunion de A et B, notée A ∪ B, l'ensemble des éléments de E qui appartiennent à A ou à B ( soit à A, soit à B, soit à A et à B ) . On peut représenter cette situation par un diagramme de Venn :

A∩ B

B

A∪ B

A E

B

A E

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 2

Remarques : Lorsque l'intersection de deux ensembles est vide, on dit que les deux ensembles sont disjoints. Un sous-ensemble et son complémentaire sont toujours disjoints. Définition : soient A1 , A2 ,..., An des sous-ensembles d'un ensemble E. On dit que A1 , A2 ,..., An forment une partition de E , si A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = E et si Ai ∪ Aj = ∅ pour tout i ≠ j.

Exemples : Un sous-ensemble et son complémentaire forment une partition de E. Si A et B sont des sous-ensembles de E , A ∩ B et A ∩ B forment une partition de A. Propriété : Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. Si A et B sont disjoints, card ( A ∪ B ) = card ( A ) + card ( B ) . Et de façon générale, card ( A ∪ B ) = card ( A ) + card ( B ) − card ( A ∩ B ) .

Démonstration : Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. Si A et B sont disjoints, la propriété est imédiate. Sinon, on note X le complémentaire de A ∩ B dans A, c'est à dire les éléments de A qui ne sont pas dans B. De même, on note Y le complémentaire de A ∩ B dans B. Par construction, X , Y et A ∩ B forment une partition de A ∪ B et card ( A ∪ B ) = card ( X ) + card (Y ) + card ( A ∩ B ) . Or par construction, X et A ∩ B forment une partition de A et card ( A ) = card ( X ) + card ( A ∩ B ) . De même par construction, Y et A ∩ B forment une partition de B et card ( B ) = card (Y ) + card ( A ∩ B ) . Finalement : card ( A ∪ B ) = card ( A ) − card ( A ∩ B ) + card ( B ) − card ( A ∩ B ) + card ( A ∩ B ) = card ( A ) + card ( B ) − card ( A ∩ B )

Propriété : Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. A∪ B = A ∩ B

et

A∩ B = A ∪ B

démonstration: Considérons un élément x ∈ E. x ∈ A ∪ B ⇔ x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A et x ∉ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B x ∈ A ∩ B ⇔ x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A ou x ∉ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B ⇔ x ∈ A ∪ B

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 3

Bilan sur les ensembles : Exercice 1 : Un club de loisirs culturels dispense des cours de langues. Les adhérents paient leur carte de club, et une cotisation supplémentaire, pour chaque langue à laquelle ils s’inscrivent. Le trésorier a recueilli 73 adhésions, 42 cotisations pour l’anglais et 25 pour l’espagnol, 7 adhérents ont cotisé pour les deux langues. 1) Combien d’adhérents ont cotisé en anglais ou en espagnol ? 2) Combien d’adhérents ont cotisé ni en anglais, ni en espagnol ? Exercice 2 : Une population de 100 individus compte 55 femmes et 45 hommes. 60 % des femmes et 40 % des hommes pratiquent une activité sportive. 1) Combien de femmes ne pratiquent pas d’activité sportive Combien de personnes pratiquent une activité sportive Exercice 3 : A l’occasion d’un sondage, une enquête portant sur 300 auditeurs d’une station radio a montré que : • 200 de ses auditeurs apprécient les jeux radiophoniques • 180 apprécient la musique rock • 60 n’apprécient ni les jeux radiophoniques, ni la musique rock. 1) Combien d’auditeurs apprécient les jeux radiophoniques et n’aiment pas le rock. 2) Combien d’auditeurs sont amateurs de rock et n’apprécient pas les jeux radiophoniques ? 3) Combien d’auditeurs sont amateurs à la fois de rock et de jeux radiophoniques ? Exercice 4 : Une tentative d’homicide par balle a eu lieu au cours d’un bal. La police a retrouvé 18 personnes présentes au moment du drame. Elle leur a demandé de répondre par « oui » ou par « non » aux questions suivantes : • « Avez-vous entendu une détonation ? » • « Avez-vous vu quelqu’un s’enfuir ? » 10 personnes ont répondu « oui » à la première question. 6 personnes ont répondu « non » à la deuxième question. 5 personnes ont répondu « non » aux deux questions. Combien de personnes ont répondu « oui » aux deux questions ?

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 4

II) Dénombrement Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble fini à n éléments. 1) Listes (ordonnées) d’un ensemble fini a) Permutations Définition : Une permutation de E est une suite ordonnée des n éléments de E . Exemple :

Si E = {a, b, c, d } alors

( a, b, c, d ) , ( a, c, d , b ) et ( b, d , a, c ) sont des permutations de E.

En tout, il y en a 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Propriété : Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est n ! = 1 × 2 × 3 × ... × n Démonstration:  On a n − 1 choix pour le deuxième élément de la liste   On a n − 2 choix pour le troisième élément de la liste  Soit n × ( n − 1) × ( n − 2 ) × .... × 2 × 1 = n ! choix en tout.  ...  On a 1 choix pour le dernier élément de la liste  On a n choix pour le premier élément de la liste

Exercice 5 : Combien il y a-t-il d’anagrammes du mot marie ? Combien se terminent par une voyelle ? b) Listes sans répétitions de p éléments

Exemple : Si E = {a, b, c, d } alors

( a, c ) , ( b, d ) et ( d , c ) sont des listes sans répétition de 2 éléments de E.

En tout, il y en a 4 × 3 = 12 Propriété : Soit p un entier compris entre 0 et n. Le nombre de listes sans répétition de p éléments de E est n ( n − 1)( n − 2 ) ....( n − p + 1)    p facteurs

Démonstration:  On a n − 1 choix pour le deuxième élément de la liste   On a n − 2 choix pour le troisième élément de la liste  Soit n × ( n − 1) × ( n − 2 ) × .... × ( n − p + 1) choix en tout.  ...  On a n − 2 choix pour le pième élément de la liste  On a n choix pour le premier élément de la liste

Exercice 6 : Combien il y a-t-il de tiercés possibles dans une course quand 15 chevaux prennent le départ ?

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 5

2) Combinaisons (listes non ordonnées) Définition : Soit p un entier compris entre 1 et n. Une combinaison de p éléments de E est un sous-ensemble de p éléments de E.

Exemple : Si E = {a, b, c, d } alors

{a, b, c} , {a, c, d } et {b, c, d } sont des combinaisons de 3 éléments de E.

Remarques : L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'intervient pas: {a, b, c} = {b, c, a} = {c, b, a} = ... Les éléments sont distincts deux à deux. Propriété : Soit p un entier compris entre 0 et n Le nombre de combinaisons de p éléments de E est le nombre n ( n − 1)( n − 2 ) ... ( n − p + 1)

n  n! que l'on note   . p! p !( n − p )!  p Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. =

n  Vocabulaire : On lit   "p parmi n ".  p 0  n  n Par convention : 0!=1 et donc   =   =   = 1 0 0   n Exemples :

7 7×6×5 8 8× 7 × 6 × 5× 4 8× 7 × 6 = 35   = = = 56  =  3  3 × 2 ×1  5  5 × 4 × 3 × 2 ×1 3 × 2 ×1

n n   = n   =1 1  n

n   =1 0

Démonstration: Pour obtenir toutes les listes ( ie : ordonnées

) de p éléments deux à deux distincts, on procède en deux étapes:

1) On choisit une combinaison de E à p éléments.

n  On a noté   le nombre de ces combinaisons.  p 2) Pour obtenir une liste, on ordonne ensuite les p éléments de cette partie. Il y a alors p ! possibilités.

n  On obtient ainsi   × p ! listes de E à p éléments.  p Mais on a vu qu ele nombre de listes de E à p éléments était de n ( n − 1) ..... ( n − p + 1) . n   n  n ( n − 1) ..... ( n − p + 1) n! On a donc montré que   × p ! = n ( n − 1) ..... ( n − p + 1) et que   = = p! p !( n − p )!  p  p

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 6

Exercice 7 :  n + 1  n  Simplifier   ÷   pour 0 ≤ p ≤ n  p   p Exercice 8 : Lors d’une régate, cinq amis, Annie, Brigitte, Claude, Denis et Eric se répartissent sur deux voiliers. Trois d’entre eux courront sur le beau « Lovely » et les deux autres sur le rapide « Troll ». On suppose que les équipages se constituent au hasard. Combien il y a-t-il de répartitions possibles ? Par exemple : {A, B, E} et {C, D} est une répartition. Exercice 9 : Au loto, combien il y a t il de façons de cocher les 6 numéros (à choisir parmi 49) ?

Exercice 10 : Dans un jeu de 32 cartes, on appelle « main » de 5 cartes tout sous-ensemble de 5 cartes. 1) Combien il y a-t-il de mains de 5 cartes possibles ? 2) Combien il y en a-t-il contenant a) Le valet de trèfle ? b) Un cœur et un seul ? c) Au moins un roi ? d) Exactement un cœur et un roi ? a)

Propriétés de coefficients binomiaux Propriété : Soit n un entier non nul. n  n  Pour tout entier p tel que 1 ≤ p ≤ n,   =   ( symétrie ) p n − p      n   n − 1   n − 1 Pour tout entier p tel que 1 ≤ p ≤ n − 1,   =  + .  p   p − 1  p  Démonstration: Il suffit de réduire au même dénominateur :  n − 1   n − 1 ( n − 1)! ( n − 1)! ( n − 1)! ( n − 1)! + = +  + =  p − 1  p  ( p − 1)!( n − 1 − ( p − 1) )! p !( n − 1 − p )! ( p − 1)!( n − p )! p !( n − p − 1)!

( n − 1)! ( n − 1)! ( n − 1)! × p + ( n − 1)! × ( n − p ) + = ( p − 1)!( n − p − 1)! × ( n − p ) ( p − 1)! ( n − p − 1)! × p ( p − 1)!( n − p − 1)! × p ( n − p ) ( n − 1)! × ( p + n − p ) ( n − 1)! × n n  n! = = = =  ( n − p )! p ! ( n − p )! p ! ( n − p )! p !  p 

=

b)

Le triangle de Pascal 0  n  n  n   n − 1   n − 1 En utilisant que   =   =   = 1 et   =  + , 0 0   n  p   p − 1  p  on construit le triangle de pascal :

Terminale S n\p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini » 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 1 6 4 10 10 15 20 21 35 28 56 36 84 45 120

5

1 5 15 35 70 126 210

6

7

8

9

10

1 6 1 21 7 1 56 28 8 1 126 84 36 9 252 210 120 45

1 10

1

c) La formule du binôme Corollaire: Formule du binôme : Soient a et b deux nombres réels ( ou complexes ) et n un entier naturel.

(a + b)

On a

n

n n  = ∑   a p bn − p p =0  p 

n  Remarque : cette formule explique que les   soient appelés "coefficients binomiaux".  p Démonstration: On démontre cette formule par récurrence:

0 b n − p =   a 0b 0 = 1. La propriété est bien vérifiée au rang 0. p=0   0 Supposons maintenant que la propriété soit vraie à un certain rang n ∈ . On a

(a + b)

0

0

= 1 et

n 

∑ p a

p

Montrons qu'elle est encore vérifiée au rang n + 1.

(a + b)

n +1

n n  n = ( a + b )( a + b ) = ( a + b ) × ∑   a p b n − p par hypothèse de récurrence. p =0  p  n n n n n  n  n  n  = a × ∑   a p b n − p + b × ∑   a p b n − p = ∑   a p +1b n − p + ∑   a p b n +1− p p =0  p  p =0  p  p =0  p  p =0  p  n −1 n n n   n  =   a n +1b0 + ∑   a p +1b n − p + ∑   a p b n −( p −1) p =0  p  p =0  p  n n  n  q n − ( q −1) n  n  p n −( p −1)  n  0 n +1 = a n +1 + ∑  + ∑ a b +  a b a b q =1  q − 1  p =1  p  0

n  n    n   p n −( p −1) = a n +1 + ∑   + b n +1  +  a b p 1 p − p =1      n n +1 n + 1  n + 1 p n +1− p   p n +1− p n +1 = a n +1 + ∑  a b + b = ∑   a b p =1  p p =0  p   La propriété est donc encore vraie au rang n + 1. n n  n On a donc montré par récurrence que ( a + b ) = ∑   a p b n − p pour tout n ∈ . p =0  p 

Page 7

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 8

Exercice 11 : 6

Développer (1 + i ) .

Exercice 12 : Le jeu du « Master Mind » consiste à deviner une « figure » obtenue en plaçant des pions de 6 couleurs différentes dans 4 trous à raison d’un pion par trou. Les 6 couleurs sont le jaune, le bleu, le rouge, le vert, l’orange et le noir. Nous les coderons par J, B, R, V, O et N. Une figure correspond au choix de 4 éléments de l’ensemble {J,B,R,V,O, N}. Les couleurs peuvent apparaitre plusieurs fois. 1) Quel est le nombre n de figures possibles ? 2) Quel est le nombre n1 des figures qui n’utilisent qu’une seule couleur ? 3) Déterminer le nombre n4 des figures utilisant exactement 4 couleurs. 4) a) Dénombrer les figures qui utilisent • Deux pions rouges et deux pions verts • Un pion rouge et trois pions verts • Trois pions rouges et un pion vert. En déduire qu’il y a 14 figures utilisant exactement les deux couleurs rouge et vert. b) Déterminer le nombre n2 des figures qui utilisent deux couleurs exactement. 5) a) Montrer qu’il y a 36 figures qui utilisent exactement les trois couleurs jaune, bleu et orange. b) Déterminer le nombre n3 des figures qui utilisent trois couleurs exactement. 6) Vérifier que n1 + n2 + n3 + n4 = n . Ce résultat était-il prévisible ?

Exercice 13:  n − 1  n − 1   n  Partie A : On rappelle que pour tous entiers naturels n et p tels que 1 ≤ p ≤ n − 1 , on a  + =   p   p − 1  p  n − 2   n − 2   n − 2  n  En déduire que pour tous entiers naturels n et p tels que 2 ≤ p ≤ n − 2 , on a   + 2 + =   p − 2  p − 1  p   p  Partie B : On considère deux entiers n et p tels que 2 ≤ p ≤ n − 2 On dispose d’une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres blanches. On tire simultanément p boules de l’urne.

1) Combien il y a-t-il de tirages possibles ? 2) On appelle R l’ensemble des tirages pour lesquels au moins une boule rouge a été tirée. n  a) Exprimer en fonction des nombres   le cardinal de l’ensemble R , complémentaire de R.  p En déduire la cardinal de R. b) Calculer d’une autre manière le cardinal de R et montrer, à l’aide de la formule obtenue dans la partie A que l’on retrouve le même résultat.

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 9

III) Probabilités élémentaires 1) Vocabulaire des probabilités Définition: L'ensemble de tous les résultats possibles est appelé univers et noté Ω.

Une éventualité ( ou issue ) , notée ω est un résultat possible. Un événement est un sous-ensemble de l'univers. Vocabulaire ensembliste Vocabulaire probabiliste Ensemble non vide Univers ω est un élément de Ω ω est une éventualité {ω} est un singleton {ω} est un événement élémentaire A est une partie non vide de Ω A est un événement A est vide A est l'événement impossible A est égal à Ω A est l'événement certain C est la réunion de A et B C est l'événement "A ou B " C est l'intersection de A et B C est l'événement "A et B " A et B sont disjoints A et B sont des événements incompatibles A et B sont complémentaires

A et B sont des événements contraires

Notation Ω ω ∈Ω

{ω} ⊂ Ω A⊂Ω A=∅ A=Ω C = A∪ B C = A∩ B A∩ B = ∅ B=A

2) Loi de probabilité Définition: Soit Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ... , ωn } un univers. On définit une probabilité sur Ω lorsque, à chaque élément ωi de Ω, on associe un réel de l'intervalle [ 0;1] tel que: 1) La probabilité d'un événement A, notée P ( A ) est la somme des probabilités des événements élémentaires inclus dans A 2) La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1. Remarque : Une probabilité sur Ω est une fonction définie sur les parties de Ω à valeurs dans [ 0,1] .

Exercice 14 : Un dé cubique possède une face noire, deux faces blanches et trois faces rouges. On lance le dé une fois et on regarde la couleur de la face supérieure. 1) Proposer un univers 2) Définir une loi de probabilité associée à cet univers. Exercice 15 : Un dé cubique a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du 6 soit le triple de la probabilité de la sortie des autres numéros qui eux ont tous la même probabilité de sortie. 1) Calculer la probabilité de sortie de chaque numéro 2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : « On obtient un nombre impair » B : « On obtient un nombre impair inférieur à 3 » C : « On obtient un nombre supérieur à 3 » 3) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : D : « On obtient un nombre pair, ou impair inférieur à 3» E : « On obtient un nombre pair ou supérieur à 3 »

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 10

Propriété : Soient Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ... , ωn } un univers et P une probabilité sur Ω. Alors : P (Ω) = 1  P (∅ ) = 0   Pour tous événements incompatibles A et B , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )   Pour tous événements A et B , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )   Pour tout événement A, on a P A = 1 − P ( A )

( )

Exercice 16 : Une urne contient des boules blanches et des boules noires. Sur chacune d’elle est inscrit un nombre entier. La probabilité de tirer une boule noire est 3 / 4 . La probabilité de tirer une boule avec un numéro pair est 2 / 3 . Montrer que la probabilité de tirer une boule noire avec un numéro pair est supérieure à 5 / 12 . 3) Cas particulier : équiprobabilité

Définition: On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Remarque : C’est le cas, par exemple, dans les situations suivantes : on lance un dé non truqué, on jette une pièce équilibrée, on tire au hasard une carte d’un jeu de cartes non biseautées, un urne contient des boules indiscernables au toucher … Propriété : Lorsqu'il y a équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est P ( A) =

card ( A ) card ( Ω )

=

nombre de cas favorables nombre de cas possibles

Exercice 17 : On tire au hasard un domino dans un jeu de dominos (qui contient 28 pièces). Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants : A : « Le domino tiré est le double-six » B : « Le domino tiré est un double » C : « La somme des points marquée sur le domino tiré est inférieure à 4» Exercice 18 : On considère l’équation d’inconnue réelle x : ( E ) x 2 + ax + b = 0 . Le nombre a est le résultat obtenu en lançant un dé cubique vert non pipé, b est le résultat obtenu en lançant un dé cubique rouge non pipé. Quelle est la probabilité que : 1) (E) admette deux solutions distinctes. 2) (E) admette une solution double. (E) n’admette pas de solutions. Exercice 19 : On tire simultanément au hasard deux cartes d’un jeu de trente deux cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir : 1) Deux piques ?

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 11

2) Aucun pique ? 3) Au moins un pique ? Exercice 20 : Une urne contient trois boules blanches et cinq boules noires. On en prend trois simultanément au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « Les trois boules sont blanches » B : « Le tirage est bicolore » IV) Probabilités conditionnelles 1) Définition et propriétés Exemple : Trois candidats se présentent à une élection. La répartition des votes selon le sexe des votants et le candidat choisi est donné en pourcentage dans le tableau ci-dessous : Candidat A B C total Sexe F : Femmes 42 13 5 60 H : Hommes 28 7 5 40 Total 70 20 10 100 On choisit au hasard l’un des votants : La probabilité que ce soit une femme est de 0.60 La probabilité pour que ça soit une femme ayant voté A est P ( F ∩ A ) = 0.42 On interroge une femme. Sur 60 femmes, 42 ont voté pour A. 42 = 0.70 . Donc la probabilité pour que la femme interrogée ait voté A est de 60 P ( F ∩ A) 0.42 = = 0.70 . On remarque que P(F ) 0.60 Finalement, on interroge une personne ayant voté B. 7 P ( H ∩ B) = La probabilité pour que cette personne soit un homme est de 20 P ( B) Définition: Soient A et B deux événements d'un même univers Ω. On suppose que P ( B ) ≠ 0. La probabilité de A sachant que B est réalisé est le nombre PB ( A ) défini par PB ( A ) = La probabilité PB ( A ) se lit " probabilité de A sachant B ".

Propriété : Pour tout événement A, on a :0 ≤ PB ( A ) ≤ 1 Pour tous événements A1 , A2 , on a : PB ( A1 ∪ A2 ) = PB ( A1 ) + PB ( A2 ) − PB ( A1 ∩ A2 )

( )

Pour tout événement A de contraire A , on a PB A = 1 − PB ( A )

2) Probabilité conditionnelle et intersection

P( A ∩ B) P ( B)

.

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 12

Propriété : Soient A et B deux événements d'un même univers et de probabilité non nulle. P ( A ∩ B ) = P ( B ) × PB ( A) = P ( A) × PA ( B )

Exercice 21 : Dans chacun des cas suivants, calculer les probabilités manquantes parmi les probabilités suivantes : P ( A ) , P ( B ) , P ( A ∩ B ) , PB ( A ) et PA ( B ) . 1) P ( A) = 0.3 PA ( B ) = 0.5 PB ( A) = 0.2 2) P ( A) = 0.6 P ( B ) = 0.5 P ( A ∪ B ) = 0.8 3) P ( A ) = 0.8 PA ( B ) = 0.1 PB ( A ) = 0.6 Exercice 22 : Dans un concours, la probabilité d’être admissible est de 0,45 et la probabilité d’être admis quand on est admissible est de 0,73. Quelle est la probabilité d’être admis ? Exercice 23 : Une urne contient 26 jetons portant les lettres de l’alphabet. On tire successivement et sans remise deux jetons. Quelle est la probabilité de tirer une voyelle suivie d’une consonne ? 3) Formule des probabilités totales Exemple : Une urne U 1 contient trois boules blanches et deux boules noires. Une urne U 1 contient une boule blanche et quatre boules noires. On choisit au hasard l’une des deux urnes dont on extrait une boule. Quelle est la probabilité que la boule soit blanche ? U1: l'événement : "choisir une l'urne U1" Soient B : l'événement : "choisir une boule blanche" N : l'événement : "choisir une boule noire" On remarque que N = B .

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 13

1 3 2 1 4 = 0,5 PU1 ( B ) = = 0,6 PU1 ( N ) = = 0, 4 PU 2 ( B ) = = 0, 2 PU 2 ( N ) = = 0,8 2 5 5 5 5 Les événements B ∩ U1 et B ∩ U 2 forment une partition de B. P (U1 ) = P (U 2 ) =

Donc P ( B ) = P ( B ∩ U1 ) + P ( B ∩ U 2 ) = P (U1 ) × PU1 ( B ) + P (U 2 ) × PU 2 ( B ) =

1 3 1 1 4 × + × = = 0, 4 2 5 2 5 10

Théorème: Formule des probabilités totales Soit A1 , A2 , ..., An une partition de Ω. Si tous les Ai alors pour tout évènement C de Ω, P ( C ) = PA1 ( C ) × P ( A1 ) +PA2 ( C ) × P ( A2 ) + ...PAn ( C ) × P ( An ) Démonstration: On fait la démonstration pour n = 2. Comme A et B forment une partition de Ω, on a C = ( C ∩ A ) ∪ ( C ∩ B ) . Comme A et B sont incompatibles, ( C ∩ A ) et

( C ∩ B ) le sont aussi et P ( C ) = P ( C ∩ A)+ P ( C ∩ B ) . Comme P ( C ∩ A ) = PA ( C ) × P ( A ) et P ( C ∩ B ) = PB ( C ) × P ( B ) , on a bien P ( C ) = PA ( C ) × P ( A ) +PB ( C ) × P ( B ) . Cas particulier : Si B est différent de Ω et ∅, alors B et B forment une partition de Ω.

( )

Dans ce cas, P ( C ) = P ( B ) × PB ( C ) + P B × PB ( C ) Le schéma ci-dessous résume bien la situation :

Exercice 24 : Une enquête auprès des candidats en fin de Licence de Mathématiques a fourni les résultats suivants : • 81 % ont eu la moyenne en Mathématiques au BAC • Parmi ceux qui ont eu la moyenne, 45 % ont eu leur Licence. • Parmi ceux qui n’ont pas eu la moyenne, 68 % n’ont pas eu non plus leur Licence. On rencontre un candidat. Quelle est la probabilité qu’il ait été reçu ? Exercice 25 : Pour un examen blanc, un sujet de Sciences Physiques est crée par l’un des trois professeurs X, Y ou Z. La probabilité que X propose le sujet est de 0,35, celle que ce soit Y est de 0,40 et celle que ça soit Z est de 0,25. Les étudiants craignent un sujet portant sur la relativité (événement R) et , connaissant leurs professeurs, ils pronostiquent : PX ( R ) = 0,2 PY ( R ) = 0,5 PZ ( R ) = 0,8 1) Quelle est la probabilité que le sujet porte sur la relativité ?

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 14

2) Le sujet porte sur la relativité. Quelle est la probabilité pour que le professeur X ait posé le sujet ?

V) Indépendance 1) Evénements indépendants Exemple : Dans une population de mille personnes, la répartition des fumeurs selon le sexe est la suivante : H : Hommes

F : Femmes

Total

T : Fumeurs

324

276

600

T : Non fumeurs

216

184

400

540

460

1000

On rencontre un individu au hasard. La probabilité qu’il soit fumeur est P (T ) =

600 = 0.6 1000

324 = 0.6 540 276 = 0.6 La probabilité qu’il soit fumeur sachant que c’est une femme est de PF ( T ) = 460 Donc la probabilité d’être fumeur ne dépend pas du sexe de l’individu. P (T ∩ H ) et PH (T ) = P (T ) donc P (T ∩ H ) = P ( T ) × P ( H ) On a PH (T ) = P(H ) La probabilité qu’il soit fumeur sachant que c’est un homme est de PH ( T ) =

Définition : Deux événements A et B sont dits indépendants lorsque P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B ) Si de plus P ( A ) ≠ 0, alors PA ( B ) = P ( B )

Exercice 26 : Chaque élève de 1ère S choisit une et une seule spécialité en Terminale, suivant la répartition ci-dessous : Sciences Sciences et Vie M SP SVT Mathématiques Physiques de la Terre Fille 45 % 24 % 60 % 40% 25% 35% Garçon 55 % 76 % 40 % On interroge un élève au hasard. Etudier l’indépendance des événements « L’élève a choisi la spécialité Mathématiques », « L’élève a choisi la spécialité SVT » et « L’élève est une fille ».

Propriété: Si A et B sont deux événements indépendants, A et B , A et B , A et B , le sont aussi.

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 15

Démonstration de la propriété précédente lorsque P ( A ) et P ( B ) sont non nuls.

Exercice 27 : Une ouvrière surveille deux métiers à tisser qui fonctionnent indépendamment l’un de l’autre. En 1 heure, la probabilité qu’elle ait à intervenir sur le premier métier est de 0.12 , et de 0.2 sur l’autre. Quelle est la probabilité que l’ouvrière ne soit pas dérangée pendant 1 heure ?

2) Expériences indépendantes enchaînées Exemples : a) On lance un dé cubique numéroté de 1 à 6, puis on tire une carte d’un jeu de 32, puis on lance une pièce équilibrée. Le résultat est un triplet. Ex : (3, roi de pique, face) b) Trois archers tirent sur une cible, de façon indépendante. Le résultat est encore un triplet. Ex : a, a, a

(

)

c) Un urne contient cinq boules indiscernables au toucher : trois blanches et deux noires. i) On tire successivement, avec remise, deux boules de l’urne et l’on note les couleurs obtenues. ii) On tire successivement, sans remise, deux boules de l’urne et l’on note les couleurs obtenues. Dans le premier cas, le deuxième tirage dépend du résultat du premier tirage. Dans les deux cas le résultat est un couple. Ex : (B,N).

Définition: Soit E une expérience aléatoire obtenue par la succession de plusieurs expériences aléatoires E1 ,E2 , E3 ,..., En . Quand le résultat de chacune des expériences E1 ,E2 , E3 ,..., En n'a aucune influence sur le déroulement des autres, on dit que ces expériences sont indépendantes. Le résultat de E est un n-uplet

( a1 , a2 ,.., an )

ou ak est le résultat obtenu à l'épreuve Ek .

Propriété : Soit E une expérience aléatoire obtenue par la succession de plusieurs expériences aléatoires E1 ,E2 , E3 ,..., En . Lorsque ces expériences sont indépendantes. P ( a1 , a2 ,.., an ) = P ( a1 ) × P ( a2 ) × ... × P ( an ) Exemples :

1 1 1 1 P ( ( 3, RP, F ) ) = P ( 3) × P ( RP ) × P ( F ) = × × = 6 32 2 384 b) Si les probabilités que les archers atteignent leur cible son respectivement égales à 0.6, 0.75 et 0.9 alors a)

({

}) = 0.6 × 0.75 × 0.1 = 0.045 .

P a , a, a

c) Un urne contient cinq boules indiscernables au toucher : trois blanches et deux noires. i) On tire successivement, avec remise, deux boules de l’urne et l’on note les couleurs obtenues. 2 2 4 P ({ N , N } ) = × = 5 5 25 ii) On tire successivement, sans remise, deux boules de l’urne et l’on note les couleurs obtenues.

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 16

2 1 2 P ({ N , N } ) = × = 5 5 25

Exercice 28 : On lance quatre fois de suite un dé cubique. Quelle est la probabilité a) d'obtenir « 6 » seulement au premier lancer ? b) d'obtenir exactement un « 6 » en quatre lancers ? c) d'obtenir au moins « 6 » en quatre lancers ?

Exercice 29 : Un missile atteint sa cible avec la probabilité p = 0.4 . Quel nombre minimum de missiles faut-il envoyer sur la cible pour que la probabilité de l’atteindre au moins une fois soit supérieure à 0.99 ? VI) Variable aléatoire 1) Définition-Loi de probabilité Exemple : Une personne a, dans sa poche 4 pièces de monnaie : une pièce de 10 centimes, deux pièces de 5 centimes et une pièce de 1 centime. Elle en tire deux au hasard. On s’intéresse aux différentes sommes possibles qu’elle obtient et la probabilité avec laquelle elle les obtient.

Somme obtenue Avec une probabilité de

6

10

11

15

1 1 1 1 1 1 1 × + × = + = 2 3 2 3 6 6 3

1 1 1 × = 2 3 6

1 1 1 1 1 1 1 × + × = + = 4 3 4 3 12 12 6

1 2 1 2 1 1 1 × + × = + = 4 3 4 3 6 6 3

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 17

Définition: Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire toute fonction X : Ω →
qui à chaque éventualité ωi associe un réel xi . L'ensemble des valeurs prises par X est noté X ( Ω ) . Si X ( Ω ) = { x1 , x2 ,..., xn } ,on appelle loi de probabilité de X la donnée des probabilités des événements élémentaires "X = xi ". On note pi = P ( X = xi ) . Remarque : n

Les événements "X = xi " forment une partition de Ω donc

∑ P( X = x ) =1. i

i =1

Dans l’exemple précédent, la loi de probabilité est : X 6 10 11 15 1 1 1 1 P( X ) 3 6 6 3 et on a bien

1 1 1 1 + + + =1 3 6 6 3

Exercice 30 : On jette deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note S la somme des points obtenus. Définir la loi de probabilité de S. Exercice 31 : Une urne contient 10 boules : 3 noires, 5 blanches et 2 rouges. On en tire simultanément deux. On gagne 1 point si on tire une boule blanche et 0 point si on tire une boule noire. On perd 1 point si on tire une boule rouge. On note X la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus. Définir la loi de probabilité de X. 2) Caractéristiques d’une variable aléatoire On désigne par X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn . a) Espérance mathématique Définition: L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel E ( X ) n

défini par E ( X ) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn = ∑ pi xi . i =1

Remarque : E ( X ) est la valeur moyenne des valeurs xi , pondérées par les probabilités pi . Lorsque X désigne un gain, l’espérance est le gain moyen que peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties. Le jeu est dit équitable lorsque E ( X ) = 0 .

1 1 1 1 12 + 10 + 11 + 30 63 21 = =  10.5 . Dans l’exemple précédent, E ( X ) = 6 × + 10 × + 11 × + 15 × = 3 6 6 3 6 6 2 La personne sort en moyenne 10,5 € de sa poche.

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 18

b) Variance, écart type Définition: La variance de la variable aléatoire X est le réel V ( X ) n

défini par V ( X ) = p1 ( x1 − E ( X ) ) + p2 ( x2 − E ( X ) ) + ... + pn ( xn − E ( X ) ) = ∑ pi ( xi − E ( X ) ) . 2

2

2

2

i =1

L'écart type de X est le réel noté σ ( X ) = V ( X ) . Remarque : La variance est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance. L’écart type donne une indication sur la dispersion des valeurs par rapport à l’espérance. Dans l’exemple précédent, 1 1 1 1 81.5 2 2 2 2 V ( X ) = ( 6 − 10.5 ) × + (10 − 10.5 ) × + (11 − 10.5 ) × + (15 − 10.5 ) × = 3 6 6 3 6 . 81.5 σ (X )=  3.69 6 Propriété: Autre formule pour la variance: n

V ( X ) = p1 x12 + p2 x2 2 + ... + pn xn 2 − E ( X ) = ∑ pi xi − E ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) . 2

2

2

i =1

Dém: 2

2

V ( X ) = p1 ( x1 − E ( X ) ) + p2 ( x2 − E ( X ) ) + ... + pn ( xn − E ( X ) )

(

2

)

(

2

2

)

(

= p1 x12 − 2 x1 E ( X ) + E ( X ) + p2 x2 2 − 2 x2 E ( X ) + E ( X ) + ... + pn xn 2 − 2 xn E ( X ) + E ( X )

2

)

= p1 x12 + p2 x2 2 + ... + pn xn 2 − 2 ( p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn ) E ( X ) + ( p1 + p2 + ... + pn ) E ( X ) 2

= p1 x12 + p2 x2 2 + ... + pn xn 2 − 2 E ( X ) + E ( X ) = p1 x12 + p2 x2 2 + ... + pn xn 2 − E ( X )

2

Exercice 32: On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Lorsqu’on lance ce dé, la probabilité d’apparition d’une face portant un numéro pair est le double de la probabilité d’apparition d’un numéro impair. 1) Calculer la probabilité d’apparition de chaque numéro. 2) Un joueur lance le dé : • Si le 1 ou le 6 apparait, il reçoit 10 €. • Si le 3 apparait, il ne reçoit rien. • Si un autre résultat apparait il donne 5 €. Soit S la variable aléatoire égale à la somme reçue par le joueur. a) Donner la loi de probabilité de S b) Calculer l’espérance de S. Quelle doit être la mise du joueur pour que le jeu soit équilibré ? c) Calculer la variance et l’écart type de S. 3) Variables aléatoires indépendantes

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 19

Définition : Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même univers Ω. Si X prend les valeurs x1 , x2 ,..., xn et Y les valeurs y1 , y2 ,..., ym . On dit que X et Y sont indépendantes lorsque, les événements ( X = xi ) et

(Y = yi ) sont indépendants pour tous entiers 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤

j ≤ m.

Propriété : Les variables X et Y sont indépendantes si et seulement si: P ( ( X = xi ) ∩ (Y = yi ) ) = P ( X = xi ) × P (Y = yi ) pour tous entiers 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Exercice 33: Un QCM comporte dix questions différentes offrant chacune trois réponses possibles dont une seule est exacte. On répond complètement au hasard. Quelles sont les probabilités : a) D’avoir deux réponses exactes ? b) D’avoir la moyenne, c'est-à-dire au moins cinq réponses exactes ? 4) Loi de Bernoulli, loi binomiale a) Loi de Bernoulli Définition : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires

( appelées succès "S" ou échec "E") de probabilités respectives p et q = 1 − p. Exemples : On est en présence d’une épreuve de Bernoulli lorsque : i) On lance une pièce de monnaie équilibrée. Les deux issues contraires sont S : « obtenir face » et E : « obtenir pile » toutes deux de probabilité 0.5. ii) On tire une boule dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. S : « obtenir une boule blanche », p ( S ) = 0.7 E : « obtenir une boule rouge », p ( E ) = 0.3

Définition : On associe à une épreuve de Bernoulli d' issues contraires S et E de probabilités respectives p et 1 − p, la variable aléatoire X ,définie par :  X = 1 si l'issue de l'épreuve est S   X = 1 si l'issue de l'épreuve est S La loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

Propriété : Si X est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p, alors E ( X ) = p et b) Loi binomiale

V ( X ) = p (1 − p )

Terminale S

Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »

Page 20

Définition : Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, identiques et indépendantes, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus suit la loi, dite binomiale, de paramètres n et p. On la note B ( n, p ) Exemple : On lance une pièce de monnaie 10 fois de suite, ou bien on lance 10 pièces de monnaie identiques.

Théorème : Soit X une variable aléatoire X suit la loi binomiale B ( n, p ) . n k Pour tout entier k ∈ {1, 2,..., n} , P ( X = k ) =   p k (1 − p ) k   Démonstration: L'issue d'une expérience est une liste de n lettres à valeurs dans {S , E} L'événement ( X = k ) est l'ensemble des listes comportant exactement k "S" et n − k "E". n n−k Il y a   listes de ce type. Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'une liste est p k (1 − p ) . k  n k Donc P ( X = k ) =   p k (1 − p ) . k  Propriété : Si X est une variable aléatoire suivant la loi de Binomiale B ( n, p ) , alors E ( X ) = np et

V ( X ) = np (1 − p )

Exercice 34: Un tireur atteint sa cible six fois sur dix. Combien faut-il de tirs au minimum pour que la probabilité d’atteindre au moins deux fois la cible soit supérieure à 99% ? Exercice 35: Un test se compose de 5 questions auxquelles on doit répondre par Vrai ou Faux. Chaque bonne réponse est notée +4, chaque mauvaise réponse est notée -2. On note X le nombre de bonnes réponses et Y la note obtenue au test. Un candidat répond au hasard à chacune des questions. a) Donner les lois de probabilité de X et Y. b) Calcule l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de X et Y.