TES/L NOM : …………………..…… 18 juin 2013 DS 3

TES/L NOM : …………………..……

18 juin 2013 DS 3 - Probabilités

Présentation et rédaction : 1 point. Exercice 1 : (5 points) Une maladie atteint 1% d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes : -

Chez les individus malades, 99% des tests sont positifs Chez les individus non malades, 98% des tests sont négatifs.

Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test. On note 𝑀 l’événement « l’individu est malade », 𝑇 l’événement « le test pratiqué est positif ». Pour chaque affirmation suivante, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. On représentera la situation par un arbre de probabilités. (a) 𝑃(𝑇 ∩ 𝑀) = 0,99 (b) 𝑃(𝑇) = 0,0297 (c) Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l’individu soit malade. Exercice 2 : (8 points) Dans un club de tennis, on propose également une activité ping-pong, utile quand tous les courts sont occupés. La probabilité que tous les courts soient occupés est 0,8. Un couple de membres du club se présente sans avoir réservé de court : si les courts sont tous occupés, ils jouent au ping-pong dans 70% des cas ; si les courts ne sont pas tous occupés, ils jouent au ping-pong dans 30% des cas. On interroge au hasard un couple qui n’a pas réservé. On note 𝐴 ∶ « Les courts sont tous occupés » et 𝐵: « le couple joue au ping-pong » 1. a) Traduire l’énoncé par un arbre pondéré.

b) Donner 𝑃𝐴 (𝐵) et 𝑃𝐴̅ (𝐵). c) Calculer la probabilité que tous les courts soient occupés et que le couple joue au ping-pong. d) Déduire des questions précédentes la probabilité que le couple joue au ping-pong. 2. Sachant qu’un couple joue au ping-pong, calculer la probabilité que tous les terrains soient occupés. 3. Trois couples se présentent successivement et indépendamment les uns des autres. Aucun des couples n’a réservé. Déterminer la probabilité qu’au moins un des couples ne joue pas au ping-pong. Exercice 3 : (6 points) Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à 3 sondages successifs en 3 points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le sondage réalisé donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L’événement « le 𝑛-ième sondage est positif » est noté 𝑉𝑛 . L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que : Si un sondage est positif, la probabilité que le sondage suivant soit aussi positif est 0,6. Si un sondage est négatif, la probabilité que le sondage suivant soit aussi négatif est 0,9. On suppose que le premier sondage est positif. 1. Calculer la probabilité des événements suivants (on pourra s’aider d’un arbre) : (a) A : « Les 2ème et 3ème sondages sont positifs » (b) B : « Les 2ème et 3ème sondages sont négatifs » 2. Calculer la probabilité que le 3ème sondage soit positif. 3. Sachant que le 3ème sondage est positif, quelle est la probabilité que le deuxième sondage ait été positif également ?