Thème : Probabilités, probabilités conditionnelles Voici le t

Épreuve sur dossier

Thème : Probabilités, probabilités conditionnelles Exemple : Thème : Probabilités, probabilités conditionnelles Voici le texte d'un exercice relevé dans un livre destiné à des élèves de Terminale S. Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours. La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R1 et R2. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2500 mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3, ou atteindre le sommet directement.

La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R1 est égale à monter directement au sommet en partant de R1 est égale à directement au sommet en partant de R2 est égale à

1 . La probabilité de 3

3 . La probabilité de monter 4

2 . 3

1) Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S.

2) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : E1 : " Les randonneurs ont fait halte au refuge R3 sachant qu'ils ont passé la nuit au refuge R1 "

E2 : " Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 " E3 : " Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu'ils ont fait halte au refuge R3 " E4 : " Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S " 3) On note MN la distance, en kilomètres, à parcourir pour se rendre du point M au point N. On donne : DR1 = 5 ; DR2 = 4 ; R1R3 = 4 ; R2R3 = 4,5 ; R3S = 2 ; R1S = 5,5 ; R2S = 6. Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S. a) Déterminer la loi de probabilité de X b) Calculer l'espérance mathématique de X.

Travail demandé au candidat : En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l'exercice. Celle-ci pourra néanmoins lui être demandée, partiellement ou en totalité, lors de l'entretien avec le jury. Après avoir résolu et analysé l'exercice le candidat rédigera les réponses aux questions suivantes : Réponses (en vert, les réponses de votre/vos camarade/s – en rouge, des éléments de réponses personnels). 1) Quelles sont les méthodes et les connaissances mises en jeu ? Méthodes : • Utilisation d’un arbre pondéré : 1. Un chemin complet représente l’intersection de tous les événements associés aux différentes branches du chemin ; 2. La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui le constituent ; 3. La probabilité d’un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E ; 4. Règle des nœuds : La somme des probabilités des branches qui sont issues d’un même nœud est égale à 1. • Probabilité d’une intersection : p( A ∩ B) = p( A). p A ( B) = p( B). pB ( A) , lorsque p( A) et

p( B) sont non nuls. Connaissances : • Définition d’une var ; • Définition d’une loi de probabilité ; • Espérance mathématique d’une var ; • Formule des probabilités totales ; • Définition d’une probabilité conditionnelle.

METHODES: • Arbres pondérés:

- Règle d'utilisation d'un arbre pondéré : Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités de chacune des branches qui constituent ce chemin. -Régle des noeuds: La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même noeud est égale à 1. •

Passage à l’événement contraire : A .

A est l'ensemble de tous les événements élémentaires qui ne sont pas dans A : p(A) + p( A )=1. •

Calcul de la probabilité d’une intersection : p(A ∩ B) = p(A).pA(B) = p(B).pB(A).

CONNAISSANCES MISES EN JEU: • Propriétés élémentaires d’une probabilité. • Événement A ∩ B : A ∩ B est l'événement constitué des événements élémentaires qui sont à la fois dans A et dans B. • Définition d'une probabilité conditionnelle. Si p(A) est non nul ; on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre; noté pA(B) ou p(A|B) défini par pA(B)= p(A∩B) . p(A) • Définition de l’indépendance : Deux événements A, B sont indépendants signifie que : p(A ∩ B)=p(A).p(B). • Formule des probabilités totales : A1, A2, ..., An forment une partition de E, alors la probabilité d'un événement quelconque B est donnée par : p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + ...+ p(B ∩ An). C'est-à-dire, lorsque p(Ai) non nul pour tout i : p(B) = p(A1).p(B|A1)+...+p(An).p(B|An) • Définition d'une variable aléatoire : Lorsqu'à chaque réalisation d'une expérience aléatoire, on associe un nombre réel, on dit que l'on définit une variable aléatoire réelle. • Définition d'une loi de probabilité : Lorsque pour toute valeur ai (avec 1 < i < n) prise par une variable aléatoire X, on détermine la probabilité pi de l'événement [X = ai], on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. • Espérance de la loi d’une variable aléatoire : E(X) = a1.p[X = a1] + ...+ an.p[X = an].

2) Quelle critique vous suggère l'énoncé de la question 2 ? Reformulez cette question. Voir ci-dessous. On décèle un abus de langage relatif à l’expression « sachant que … ». Voici une reformulation. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : E1 : "les randonneurs ont fait halte au refuge R3" sachant que l'événement "les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1" est réalisé. E2 : "les randonneurs ont fait une halte au refuge R3". E3 : "les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1" sachant que l'événement "les randonneurs ont fait halte au refuge R3" est réalisé. E4 : "les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2" sachant que l'événement "le deuxième jour, les randonneurs sont montés directement au sommet S" 3) Proposer deux exercices mettant en valeurs d'autres compétences exigibles d'élèves de Terminale S ou ES en calcul de probabilités. Exercice 1 (Terminale S et ES) : thème probabilité conditionnelle et loi binomiale Pour chaque résultat on donnera une approximation à 10−3 près ; un club hippique possède 20 chevaux : 6 blancs, 5 noirs, 9 gris ; IL possède aussi une calèche prévue pour être tirée par 2 chevaux. Le cocher de la calèche choisit au hasard les 2 chevaux de l’attelage parmi les 20 chevaux du club. 1. Calculer la probabilité des événements suivants.

A = « Les 2 chevaux sont blancs » ; B = « L’un des chevaux, au moins, est blanc » ; C = « Les deux chevaux sont de la même couleur ». Rép. P(A) =

3 99 61 ≈ 0, 079 ; P(B) = ≈ 0, 521 ; P(C) = ≈ 0, 321 . 38 190 190

2. Sachant que les deux chevaux de l’attelage sont de couleurs différentes, quelle est la probabilité que l’un d’entre eux soit blanc ? Rép.

28 ≈ 0, 651 . 43

3. Des enfants effectuent un stage de 3 jours dans le club hippique. Le cocher organise, chaque jour, une promenade en calèche. Chaque jour, il choisit au hasard l’attelage. On note X la var qui représente le nombre de fois où l’équipage de la calèche est unicolore. a. Déterminer la loi de probabilité de X. Quelle est sa nature ? Rép. X est une var binomiale de paramètres n = 3 et p = P(C) calculé dans la 1e question. b. Calculer l’espérance mathématique de X. Application de la formule E(X) = np. Exercice 2 : Loi uniforme à densité À partir de 7h, les bus passent toutes les 15 mn à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30 ; on fait l’hypothèse que l’heure exacte de son arrivée à cet arrêt est une va uniformément répartie sur l’intervalle [0 ; 30] 1. Quelle est la probabilité que l’usager attende moins de 5 mn le bus ? rép.

1 . 3

2. Quelle est la probabilité qu’il attende plus de 10 mn ? rép.

1 . 3

Exercice 3 : Loi continue : durée de vie sans vieillissement On suppose que la durée d’une conversation téléphonique, mesurée en mn, est une va exponentielle de paramètre

1 . Vous arrivez à une cabine téléphonique et juste à ce moment précis une personne passe 10

devant vous. Quelle est la probabilité que vous attendiez : 1. plus de 10 mn ? 2. entre 10 et 20 mn ? Rép. On utilise la densité de la loi : f (t ) =

1 −10t e , pour t ≥ 0 . 10

EXERCICE DE TERMINALE S: Événements indépendants : Indépendance de trois événements : Par définition, dire que trois événements A, B, C sont indépendants, c'est affirmer que : (1) : {p(A ∩ B)=p(A).p(B) ; p(A ∩ C)=p(A).p(C), p(B ∩ C)=p(B).p(C)} et (2) : p(A ∩ B ∩ C) = p(A).p(B).p(C). Le but de l'exercice est de montrer que (1) n'implique pas (2). On lance deux pièces de monnaie discernables et bien équilibrées. On note A l'événement "la première pièce donne face", B l'événement "la deuxième pièce donne pile" et C l'événement "les deux pièces donnent ou toutes les deux faces ou toutes les deux piles". 1) Les relations (1) sont-elles vraies ? 2) La relation (2) est-elle vraie ? EXERCICE DE TERMINALE ES: Tir à l'arc.

La probabilité qu'un tireur à l'arc touche la cible est 0,9. On suppose que les résultats de deux tirs consécutifs sont indépendants. 1) S'il tire trois fois, quelle est la probabilité qu'il touche la cible a) deux fois exactement ? b) une seule fois ? 2 )Il tire à présent six fois. Calculez la probabilité qu'il touche la cible exactement quatre fois sachant qu'il l’a déjà touchée exactement deux fois dans les trois premiers tirs. RÉSOLUTION DES EXERCICES TS ET TES: EXERCICE TS: A ∩ B est l'événement constitué des événements élémentaires qui sont à la fois dans A et dans B . A = {fp ; ff} ; B = {pp ; fp} et C = {pp ; ff} et p(A) = 1 ; p(B) = 1 ; p(C) = 1 2 2 2 1 1 1 A ∩ B = {fp} ; p(A ∩ B) = = . = p(A).p(B) donc A et B sont indépendants. 4 2 2 1 1 A ∩ C = {ff} ; p(A ∩ C) = = . 1 = p(A).p(C) donc A et C sont indépendants. 4 2 2 1 B ∩ C = {pp} ; p(B ∩ C) = = 1 . 1 = p(B).p(C) donc B et C sont indépendants. 4 2 2 Il en résulte que (1) est vrai. 2) A ∩ B ∩ C = ∅ . Or, p( ∅ ) = 0 ≠ 1 . 1 . 1 = 1 . Donc (2) est faux. 8 2 2 2 EXERCICE TES: On note A l'événement "le tireur à l'arc touche la cible". Alors, p(A) = 0,9 et p( A ) = 0,1 ; c'est une épreuve de Bernoulli. 1) On tire trois fois. On répète donc trois fois cette épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions. Soit X la var qui donne le nombre de succès. Alors [X = k] est l’événement « le tireur à l'arc touche la cible k fois ».

 3   p k (1 − p)3−k p[X=k] =    k    a) Deux fois exactement ?

b) Une seule fois ?

avec p = 0,9 et k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}.

 3  p[X=2] =    p 2 (1 − p)  2 

= 0,243.

 3  p[X = 1] =    p(1 − p)2  1 

= 0,027.

Remarque: p[X = 3] = 0,729 et p[X = 0] = 0,001. 2) Il tire à présent six fois 1ère technique: 6 U = {S ; E} , p(A|B) = pB(A) = p(A∩B) . Si B est l’événement « toucher 2 fois la cible lors des 3 premiers p(B) tirs » alors, p(B) =

 3    p 2 (1 − p) = 0,243.  2 

Soit A l’événement « toucher 4 fois la cible lors de 6 tirs ». On a : A ∩ B = A' ∩ B ou A' est l'événement

"toucher 2 fois la cible lors des 3 dernier tirs". Car A ∩ B = {SSESSE ; SSESES ; SSEESS ; SESSSE ; SESSES ; SESESS ; ESSSSE ; ESSSES ; ESSESS} et A' ∩ B = {SSESSE ; SESSSE ; ESSSSE ; SSEESS ; SESESS ; ESSESS ; SSESES ; SESSES ; ESSSES}. p(A|B) = p(A'∩B) = p(A’).p(B) = p(A' ) = p(B) p(B)

 3    p 2 (1 − p)  2 

= 0,243.

On a utilisé l’indépendance des événements A’ et B. Celle-ci peut être justifiée en revenant aux événements élémentaires. L’événement A’ est composé des événements élémentaires de la forme xxxSSE, xxxSES, xxxESS, où x désigne indifféremment un succès ou un échec. P(A’) = 1×× p2(1-p) + 1× p× (1-p)× p + 1× (1-p)× p2 = 0,243. P(B) a été calculé dans la première question et vaut aussi 0,243. La décomposition de A’ ∩ B montre que cet évènement est composé de 9 événements élémentaires et P(A’ ∩ B) =

9p 4 (1 − p)2

= 0,2432. Ainsi, p(A’ ∩ B) = p(A’).p(B) et A’ et B sont indépendants.

Si le résultat des 3 premiers tirs est connu, on peut modéliser l'expérience relative aux 3 derniers tirs par un schéma binomial de paramètres 3 et p, noté B(3 ; p). Alors, p("toucher 2 fois sur 3") =

 3    p 2 (1 − p) = 0,243.  2 

C’est une autre façon de modéliser la situation. 2éme technique : Après avoir explicité A ∩ B en fonction des événements élémentaires. p(A∩B) = p(SSESSE) + p(SSESES) + p(SSEESS) + p(SESSSE) + p(SESSES) + p(SESESS) + p(ESSSSE) + p(ESSSES) + p(ESSESS) = 9.p(S)4.p(E)2 p(A|B) = PB(A) = p(A∩B) p(B) 4 2 = 9.p 2.(1-p) = 3.p2.(1-p) = 0,243. 3.p .(1-p) RÉSOLUTION DE L’EXERCICE DU JURY : 1) Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S

2) Déterminer la probabilité de chacun des événements E1, E2, E3, E4 : p(E1) = p(R3 | R1) = 1-p(S | R1) = 1- 3 = 1 . 4 4 p(E2) = p(R3) = p(R3 ∩ R1) + p(R3 ∩ R2) = p(R1).p(R3 | R1) +p(R2).p(R3 | R2) = 11 . 36

p(E3) = p(R1 | R3) = p(R1∩R3) = p(R1).p(R3|R1) = 3 . p(R3) p(R3) 11

1 3 2 2 25 et p(E4) = p(R2 | S) = p(R2∩S) , or p(S) = × + × = p(S) 3 4 3 3 36 p( R2 ∩ S ) = p(S | R2 ) × p( R2 ) =

2 2 16 × . D’où : p(E4) = . 3 3 25

3) a) Déterminer la loi de probabilité de X : U = {DR1S ; DR1R3S ; DR2S ; DR2R3} et X(U)={10 ; 10,5 ; 11}. On a : p[X = 10] = 4 ; p[X = 10,5] = 17 et p[X = 11] = 1 . 9 36 12 b) Calculer l'espérance mathématique de X : E(X) = a1.p[X = a1] + a2.p[X = a2] + a3.p[X = a3] = 4 .10 + 17 .10,5 + 1 .11 = 10,3. 36 12 9 Voici une autre proposition d’exercice niveau TS :

• Soit I = [0,1] et une loi de probabilité de densité f avec f(t) = 4 t3. Calculer P([0,25 ; 0,75]). Calculer m tel que si on choisit un nombre dans I suivant cette loi de probabilité, la probabilité qu’il soit inférieur à m soit 0,5. • Soit I = [0, + ∞) et une loi de probabilité de densité f avec f(t) = 2 e-2t. Calculer P([n, n+1]). Calculer m tel que si on choisit un nombre dans I suivant cette loi de probabilité, la probabilité qu’il soit inférieur à m soit 0,5. • Soit I = [1,10] et une loi de probabilité de densité f avec f(t) = λt-2. Déterminer λ. • Soit I = [1, + ∞) et une loi de probabilité de densité f avec f(t) = λt-2. Déterminer λ. Il s’agit d’illustrer la notion de var continue et le lien « densité - calcul de probabilité ». Solution :

•

On vérifie que P(I) =

1

∫0 4t 3dt

cherche ensuite m ∈ I, tel que

•

On vérifie que P(I) =

+∞

∫0

= 1 et P[0,25 ; 0,75] = m

∫0

0,75

∫0,25

4t 3dt = 0,5 ñ m4 = 0,5 ñ m ≈ 0,8409. +∞

2e −2tdt = [ −e −2t ]0

= 1. P([n, n+1]) = e-2n – e-2n-2. P([0 ; m])

= 0,5 ñ 1 – e-2m = 0,5 ñ e-2m = 0,5 ñ -2m = -ln2 ñ m =

• •

λ  −λ 10 10 9 = dt   = λ× =1ñλ= . ∫1 t 2 9 10 t  1 +∞ λ  −λ  +∞ = = λ = 1. dt   P(I) = ∫1 t2  t 1

P(I) =

10

0,75

4t 3dt = [ t 4 ]0,25 = 0,3125. On

ln2 . 2