théorème de Gauss

THÉORÈME DE GAUSS

Propriété : théorème de Gauss Soit a, b et c trois nombres entiers non nuls. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c.

dém : Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. On multiplie les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c. Or a divise acu et a divise bc par hypothèse, donc a divise bcv ; on en déduit que a divise acu + bcv, c’est-à-dire c.

Exemple : Soit a et b deux entiers tels que 3a = 4b. 4 divise le produit 3a, les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux donc 4 divise a. Corollaires : 1) Si un entier n est divisible par des entiers a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit ab. 2) Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b. dém : 1) Comme n divisible par a et b, il existe deux entiers k et k’ tels que : n = ka = k’b. Cette égalité montre que a divise k’b ; comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que a divise k’, donc il existe un entier q tels que k’ = qa. On en déduit : n = qab, donc n est divisible par ab. 2) Soit p un nombre premier divisant le produit ab. Si p divise a, la conclusion est assurée. Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux ; comme p divise ab, alors p divise b d’après le théorème de Gauss.

Exemple : Soit n un entier. L’entier A = 5n(5n + 1) est divisible par 10, car il est divisible par 2 et par 5, avec 2 et 5 premiers entre eux.