Tiempo continuo: Ecuaciones diferenciales 0 . Introducción

Tiempo continuo: Ecuaciones diferenciales 0 . Introducción Ya conoceis el problema básico: Hallar y(t) tal que

cuyas infinitas soluciones (bajo los supuestos precisos) vienen dadas por

en la que se ha explicitado la constante arbitraria C de integración La ecuación se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuya solución general es la familia de curvas paralelas La curva (única) de la familia que pasa por un punto dado (t0, y(t0)) se llama solución (o integral) particular de la ecuación para la condición inicial dada y(t0) 5.1. Ecuación diferencial de una familia de curvas Sea una familia de curvas dependientes de un parámetro:

Por derivación, podemos eliminar el parámetro C y obtener una ecuación diferencial, que se llama ecuación diferencial de la familia

EJEMPLOS: Obtener la EDO de las siguientes familias de curvas 1) 2)

1

3)

4) (Boletín) 5) (Boletín) En los ejemplos anteriores podemos ver cómo cada ecuación diferencial expresa determinadas propiedades geométricas de las curvas de la familia que la genera Los ejemplos pueden hacer también pensar que puesto que a toda familia de curvas podemos hacerle corresponder una ecuación diferencial, a toda ecuación diferencial le podríamos hacer corresponder una familia de curvas como solución . . . . PERO NO 5.2 Definiciones básicas. Solución general, soluciones particulares y soluciones singulares 5.2.1 Ecuaciones diferenciales En general, se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO en adelante) de orden p a toda ecuación de la forma que relaciona la variable independiente t (el tiempo para nosotros) con una función desconocida de la misma y(t) y las sucesivas derivadas de ésta hasta el orden p Cuando F es lineal, la ecuación se llama lineal Ejemplos:

5.2.2 Solución Se llama solución de la ecuación a toda función tal que (al sustituir en la ecuación se obtiene una identidad) Ejemplo: Comprobar que es solución de la ecuación 5.2.3 Solución general. Soluciones particulares y soluciones singulares 2

5.2.3.1 Se llama solución general de EDO de orden p

a toda solución de la misma que contenga p constantes arbitrarias Ejemplos: 1) Hallar la solución general de 2) Comprobar que es la solución general de la ecuación 5.2.3.2 Se llaman soluciones particulares de la EDO a todas aquellas soluciones que se obtienen a partir de la solución general para valores particulares de la o las constantes arbitrarias que figuren en la solución general Ejemplos: Halle soluciones particulares para las ecuaciones 1) 2) 3) Ejercicio 4 del boletín: 5.2.3.3 El Problema del valor inicial (PVI): Consiste en: Dada una EDO, hallar la solución particular y(t) tal que para t = t0 (normalmente t = 0), se tiene y(t0) = y0 (conocido) Ejemplos: 1) Hallar la solución particular que cumple la condición (inicial) y(0) = 4 para la ecuación 2) Ejercicio 7 del boletín 5.2.3.4 Soluciones singulares: En ocasiones una EDO puede tener soluciones que no están contenidas en la solución general (no corresponden a valores particulares de las constantes). Tales soluciones se llaman soluciones singulares Ejemplo: Ejercicio 2 del boletín: es la solución general de la ecuación

son soluciones singulares ya no se obtienen para valores particulares de la constante C 3

5.3 Ecuaciones de primer orden Son de la forma general Cuando la variable t no figure explícitamente en la ecuación, la llamaremos autónoma: Cuando sea posible despejar y' de la ecuación diremos que es explícita: La ecuación es explícita y autónoma Ejemplos: A proponer 5.3.1 Existencia y unicidad de la solución para el problema del valor inicial (PVI) en las ecuaciones de primer orden explícitas. Aproximación de Euler. Diagramas de fase Antes de enunciar el teorema de existencia y unicidad (uno de ellos) de la solución de la ecuación para el PVI, consideremos la siguiente aproximación intuitiva que de hecho fundamenta la prueba formal Aproximación: La poligonal de Euler Consideremos la ecuación Propongámonos hallar la solución particular que verifica una determinada condición inicial Debe ser Para valores de t suficientemente próximos a , podremos aproximar la función solución y = y(t) de la ecuación por la recta tangente en cuya pendiente es Considerando ahora el punto con h lo suficientemente pequeño, podemos obtener Aproximaríamos ahora la solución y(t) de la ecuación en el intervalo desde t0 a t0+ h por el segmento de tangente Repitiendo el proceso obtendremos una poligonal (poligonal de Euler) que aproximará la solución de la ecuación Parece natural que el límite cuando conduzca a la solución y(t) de la ecuación Un teorema de existencia y unicidad Puede probarse que: Dada la ecuación

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Si y son ambas continuas en un rectángulo R centrado en , entonces existe una única función y = y(t) (solución de la ecuación) que verifica la condición

El teorema da una condición suficiente (no necesaria) de existencia y unicidad de la solución de que cumpla para el PVI Naturalmente, supuesto que pueda asegurarse la existencia y unicidad de la solución, tenemos otras dificultades Por ejemplo: Las ecuaciones ; ;

son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser resueltas (integradas) mediante el cálculo elemental de primitivas La ecuación es un ejemplo de ecuación de primer orden para la cual la integración (búsqueda de solución) ya no es tan sencillo, pero posible No ya difícil, sino imposible (en términos de funciones elementales), es el caso de ecuaciones como

o , para cuya resolución hay que recurrir a desarrollos en serie u otros métodos numéricos de aproximación Por ello, como en el caso de las EDF más que resolver la ecuación en sí, interesa en la práctica mucho más a veces, predecir cómo se comportaría la solución. En particular interesa estudiar el comportamiento de las soluciones a largo plazo o sea cuando y hablar de estabilidad o inestabilidad de los puntos de equilibrio También como en el caso de las EDF, para las EDO autónomas del tipo disponemos de un método gráfico de fácil aplicación: Los diagramas de fase Diagramas de fase: Si dibujamos la gráfica de y' = f(y) en el plano y y' Los puntos de equilibrio (para los que la solución y(t) es constante) corresponderán a los puntos y* para los 5

que (cortes al eje horizontal) Supongamos por ejemplo el caso básico de f lineal Para y>y* la derivada de la solución y'>0, lo que significa que y(t) crece con t y remarcamos este hecho con una flecha dirigida de izquierda a derecha sobre la gráfica Para y < y* la derivada y'