tik 5 Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT

5

Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik

Ma te ma tik

Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se

I samarbete med arbetsgivarorganisationen

Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Så lyckas du med det nationella provet För att få ut så mycket som möjligt av kvällens mattekonvent vill vi uppmuntra dig att ställa många frågor till volontärerna. De finns på plats idag för din skull och de vill hjälpa till! Självklart kan du ställa vilka mattefrågor du vill; de behöver inte handla om en specifik uppgift på övningsprovet.

Här följer några pluggtips från oss på Mattecentrum: Rita upp problemet: Inget förklarar ett problem så bra som en figur och det mesta går att rita. Ska du räkna ut måtten på en hage? Rita hagen! Ska du lösa en trigonometrisk ekvation? Rita enhetscirkeln!

Ta problemet steg för steg: De flesta av oss kan inte hålla massor av steg i huvudet samtidigt så ha för vana att alltid skriva ner alla delar i din uträkning så blir det färre slarvfel och både du, läraren och volontärerna kan lättare följa med i hur du har tänkt.

Jobba med grundteknikerna: Inom matematiken bygger de mer avancerade metoderna ofta på grundtekniker som man har lärt sig i tidigare mattekurser eller kapitel så se till att öva lite extra på exempelvis prioriteringsreglerna, ekvationslösning och andra grundtekniker om de mer avancerade metoderna känns knepiga.

Prata matte: Hjälp dig själv och andra genom att diskutera problemen tillsammans. Genom att prata matte övar du på allt möjligt: din egen förståelse, hur problem kan attackeras på flera olika sätt, ditt matematiska språk och ditt mattesjälvförtroende. Kan du förklara en metod för en kompis så vet du att du själv behärskar den. Pratar du matte övar och förbereder du dig även inför det muntliga nationella provet!

Kvalitet istället för kvantitet: Tänk kvalitet istället för kvantitet. Ägna hellre en hel lektion åt att verkligen försöka förstå Pytaghoras sats än att räkna ut hypotenusan i 30 olika trianglar utan att förstå vad du faktiskt gör.

Tips för att lösa en specifik uppgift

1 2 3

Läs uppgiften noggrant! Förstår du uppgiften? Vad frågas det efter egentligen? Det kan vara något som ska räknas ut eller något som ska ställas upp för att sedan räknas ut. Om inte, vad är det du inte förstår? Är det vissa ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig att använda? Kolla upp de delar som du inte förstår genom att slå upp orden, bäddra bakåt i boken för att fräscha upp minnet eller fråga en volontär! Innan du börjar lösa uppgiften, ställ dig frågan: Förstår jag vilken metod som ska användas för att lösa uppgiften? Om inte, kolla upp liknande uppgifter och titta på hur lösningsmetoderna är där. När du vet vilken metod som ska användas till den uppgift du sitter med kan du ställa dig själv följande frågor: Förstår jag metoden som används? Förstår jag varför just denna metod används till denna typ av problem? Om inte, gå tillbaka till avsnittet med den metoden i boken och frächa upp minnet eller fråga en volontär. Räknat klart och svaret är galet? Då ska du felsöka svaret! Gå noggrant igenom uträkningarna för att se om du gjorde några räknefel och ställ dig än en gång frågorna i de första två punkterna för att försäkra dig om att du verkligen har förstått frågan och använt rätt räkneoperationer. Känns uträkningen och metoden fortfarande rätt, räkna om uppgiften på en helt ny sida utan att tjuvkika på den gamla uträkningen! Fortfarande fel svar och svaret är detsamma som du fick första gången du räknade? Då har du troligtvis inte gjort ett slarvfel, utan använder fel metod. Gå tillbaka och kolla hur liknande uppgifter har lösts. Känner du att du ändå inte kommer vidare på egen hand, fråga en volontär!

Läs mer ingående tips på matteboken.se!

1(8)

Formler till nationellt prov i matematik, kurs 5 Algebra Regler

(a b) 2

a 2 2ab b 2

(a b)3

a 3 3a 2b 3ab2

b3

(a b)2

a 2 2ab b2

(a b)3

a3

b3

a3

b3

(a b)(a 2

ab b2 )

a3

b3

(a b)(a 2

ab b2 )

(a b)(a b)

a 2 b2

x2

Andragradsekvationer

p 2

x

n

( a b) n

Binomialsatsen

k 0

ax 2 bx c

0

px q

p 2

3a 2b 3ab2

2

q

n n k k a b k

n n a 0

b 2 4ac 2a

b 2a

x

0

n n 1 a b 1

n n 2 2 a b ... 2

n n b n

Aritmetik Prefix

T

G

M

k

tera

giga

mega

kilo

12

9

10

Potenser

10

x y

a a

a

x x

Absolutbelopp

15-10-19

10

x y

10

ax ay

(ab)

a b Logaritmer

6

x

ax b

x

h hekto

3

10

ax

a b

2

d

c

m

deci

centi

milli

-1

-2

-3

10

y

(a x ) y

x

1 an

y 10 x

x lg y

y

lg x lg y

lg xy

lg x lg y

a

a

om a

0

a om a

0

10

ex

10

mikro

10

a xy

n

x

ln y

lg

x y

-6

n

p

nano

piko

-9

10-12

10

a

x

1 ax

a0 1

a

lg x p

p lg x

© Skolverket

2(8)

Funktioner Räta linjen

y

kx m

ax by c

Andragradsfunktioner

k

y2 x2

y

y1 x1

a

0

0 , där inte både a och b är noll

Potensfunktioner

y

ax 2 bx c

Exponentialfunktioner

C xa

y

C ax

a 0 och a 1

Statistik och sannolikhet Standardavvikelse för ett stickprov

s

( x1 x ) 2

( x2

x ) 2 ... ( xn n 1

x)2

Lådagram

Normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

15-10-19

f ( x)

1 e 2

1 x 2

2

© Skolverket

3(8)

Differential- och integralkalkyl Derivatans definition

Derivator

f (a)

lim

h

0

f ( a h) h

x

a

f ( x) f ( a ) x a

Derivata

x n där n är ett reellt tal

nx n

ax ( a > 0)

a x ln a

ln x ( x 0 )

1 x

ex

ex

e kx

k ekx

1 x

1

1

x2

cos x

cos x

sin x

tan x

1 tan 2 x

k f (x)

k f (x)

f (x) g (x)

f (x) g (x)

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

15-10-19

lim

Funktion

sin x

Kedjeregeln

f (a)

( g ( x)

0)

1 cos 2 x

( g ( x))2

Om y f ( z) och z g ( x) är två deriverbara funktioner så gäller för y f ( g ( x)) att dy dy dz y f ( g ( x)) g ( x) eller dx dz dx

© Skolverket

4(8)

Primitiva funktioner

Funktion

Primitiva funktioner

k

kx C

x n (n

xn 1 C n 1

1)

1 x

ln x C

ex

ex

e kx

e kx k

C

ax ln a

C

a x (a

0, a 1)

sin x

(x

0)

C

cos x C

cos x

sin x C

Komplexa tal

Representation

z

Argument

arg z

Absolutbelopp

z

x iy

x2

r

Om z

Räknelagar

z1z2

15-10-19

r (cos v i sin v) där i 2

tan v

v

Konjugat

de Moivres formel

reiv

1

y x

y2

x iy så z

x iy

r1r2 (cos(v1 v2 ) i sin(v1 v2 ))

z1 z2

r1 (cos(v1 v2 ) i sin(v1 v2 )) r2

zn

(r (cos v i sin v))n

r n (cos nv i sin nv) © Skolverket

5(8)

Geometri Triangel

Parallellogram

A bh

bh 2

A

Parallelltrapets

h( a b) 2

A

Cirkel

A πr 2 O

Cirkelsektor

b

v 2πr 360

A

v πr 2 360

2πr

πd 2 4 πd

Prisma

V

Bh

br 2

Cylinder

Pyramid

V πr 2h Mantelarea

V

Bh 3

A 2πrh

Kon

Klot

πr 2 h 3 Mantelarea V

A πrs

V

4πr 3 3

A 4πr 2

Likformighet

Skala

Trianglarna ABC och DEF är likformiga.

Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3

a d

b e

15-10-19

c f

© Skolverket

6(8)

Topptriangel- och transversalsatsen

Bisektrissatsen

Om DE är parallell med AB gäller DE AB

CD AC

CD AD

CE BE

AD BD

AC BC

CE och BC

Vinklar

u v 180

Sidovinklar

w v

Vertikalvinklar

L1 skär två parallella linjer L2 och L3

v

w

Likbelägna vinklar

u

w

Alternatvinklar

Kordasatsen

Randvinkelsatsen

ab

u

cd

2v

Pythagoras sats

a 2 b2

c2

Avståndsformeln

d

( x2 x1)2 ( y2

15-10-19

Mittpunktsformeln

y1)2

xm

x1 x2 och ym 2

y1

y2 2

© Skolverket

7(8)

Trigonometri Definitioner

a c b c a b

sin v

cos v tan v

Enhetscirkeln sin v

y

cos v

x

tan v

y x

Sinussatsen

sin A a

sin B b

Cosinussatsen

a2

b2

Areasatsen

T

ab sin C 2

Trigonometriska formler

sin C c

c 2 2bc cos A

sin 2 v cos 2 v 1 sin(u v) sin u cos v cos u sin v sin(u v) sin u cos v cos u sin v

cos(u v) cos u cos v sin u sin v cos(u v) cos u cos v sin u sin v sin 2v

2 sin v cos v

cos 2 v sin 2 v (1) cos 2v

a sin x Cirkelns ekvation

15-10-19

2 cos 2 v 1

(2)

1 2 sin 2 v

(3)

b cos x

( x a)2 ( y b)2

c sin( x

v) där c

a 2 b 2 och tan v

b a

r2

© Skolverket

8(8)

Exakta värden

Vinkel v (grader)

0

(radianer)

0

sin v

0

cos v

1

tan v

0

30 π 6 1 2

45 π 4 1

60 π 3 3 2 1 2

2 1

3 2 1

2 1

3

90 π 2

120 2π 3 3 2 1 2

1 0

3 Ej def.

3

135 3π 4 1

2 1 2

150 5π 6 1 2

3 2 1

1

3

180

π 0 1

0

Mängdlära A

B

A\B

xx

A och x B

A

A och x B

xx

B

AC

xx

A eller x B

x x G och x

A

Talteori a b(mod c) om differensen a b är delbar med c

Kongruens

Om a1 b1 (mod c) och a2 b2 (mod c) gäller att 1. a1 a2 b1 b2 (mod c) 2. a1 a2 b1 b2 (mod c) Om a b (mod c) gäller att 3. m a m b (mod c) för alla heltal m 4.

an

b n (mod c) för alla heltal n 0

Aritmetisk summa

sn

n

a1 an där an 2

Geometrisk summa

sn

a1

kn 1 där an k 1

a1 (n 1) d a1 k n

1

Kombinatorik Permutationer

P(n, k )

Kombinationer

C (n, k )

15-10-19

n (n 1) (n 2) ... (n k 1)

n k

P(n, k ) k!

n! där 0 k (n k ) !

n! där 0 k k!(n k )!

n

n

© Skolverket

!

! !

!

!

Kursprov!Matte!5!!

! Det! här! provet! är! gjort! av! Mattecentrum! på! grund! av! att! denna! kurs! är! så! ny! att! inga! gamla! kursprov! finns.! Därför! reflekterar!innehållet!inte!nödvändigtvis!hur!det!riktiga!provet!blir!att!se!ut.!! Se!istället!detta!som!en!möjlighet!att!repetera!och!upptäckta!vad!du!behöver!träna!mer!på.!Inga!poäng!är!utsatta.!Istället! är!vissa!uppgifter,!som!kanske!tar!mer!tid!än!andra,!markerade!med!(#).! Lycka&till!&

Uppgift!1! a)!Ange!alla!delare!till!talet!30.! b)!Vilka!av!dessa!är!triviala!delare?! c)!Vilka!av!talen!är!primtal?!

Uppgift!2! Bestäm!det!minsta!naturliga!talet!!!som!uppfyller! 37 + ! ≡ 4'()*+'5)! !

Uppgift!3!(#)! Bevisa,!med!hjälp!av!induktion,!att!summan!av!de!!!första!udda!talen!är!lika!med!!. .!Med!andra!ord!att:! 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 2! − 1 = !. !

Uppgift!4! Låt!mängden!A!vara!definierad!som!4 = ℕ ∩ 7: 7 ≤ 5 .! Mängden!ℕ!representerar!mängden!av!alla!naturliga!tal!0,1,2,3,4,5, …! Ange!sant!eller!falskt!för!följande!påståenden:! .

a)! ∈ 4! >

b)!{2,3} ⊆ 4! c)!−1 ∈ 4! d)! 4 = 5! e)!∅ ⊆ 4! 1!(12)!

!

!

! !

Uppgift!5! Lotto!är!ett!spel!där!du!ska!välja!7!tal!av!35.!Om!du!får!alla!rätt!(de!behöver!inte!vara!i!någon!specifik!ordning)!vinner! du!högsta!vinsten.! A.! Hur!många!olika!lottorader!finns!det?! ! På!stryktipset!ska!du!istället!välja,!för!13!matcher,!om!de!slutar!med:!att!lag!A!vinner,!att!lag!B!vinner,!eller!om!det!blir! oavgjort.!Tre!alternativ!för!varje!match.!Här!spelar!alltså!ordningen!roll.! B.! Är!det!störst!sannolikhet!att!få!7!rätt!på!lotto!eller!13!rätt!på!stryktipset?!

Uppgift!6! Förklara!vad!som!menas!med!följande!grafteoretiska!begrepp:! A.! Vandring! B.! Väg! C.! Eulerväg! D.! Stig! E.! Hamiltonstig! F.! Hamiltoncykel!

Uppgift!7! Rita!en!graf!med!minst!5!noder!som!har!en!Eulerkrets.!

Uppgift!8! Lös!differentialekvationen!!!

DE DF

= 37 + 2!med!villkoret!G(0) = 1.!

Uppgift!9!(#)! Hitta!den!allmänna!lösningen!till!den!inhomogena!differentialekvationen!!!G H − 8G = 67.!Svara!exakt.!

Uppgift!10! Nedan!finns!två!rekursivt!definierade!talföljder.!Beräkna!några!element!i!följden!och!avgör!om!det!är!en!aritmetisk! eller!geometrisk!talföljd.!Beräkna!sedan!summan!av!de!10!första!talen.! a)!KL = 2,''''''KM = KMNL + 3! b)!KL = 3,''''''KM = 2KMNL !

2!(12)!

!

!

! !

Uppgift!11! För!att!se!om!ett!tal!är!delbart!med!6!räcker!det!med!att!bekräfta!att!det!är!delbart!med!2!och!3.!Förklara!varför!det!är! så.!

Uppgift!12! Om!K ≡ 13'()*+'14),!och!O ≡ 11'()*+'14),!bestäm!minsta!positiva!heltal!!!som!uppfyller:! KO' ≡ !'()*+'14)!

Uppgift!13!(#)! Bevisa!att!!> − !'är!delbart!med!3!för!alla!! ∈ ℕ.!

Uppgift!14!(#)! Anta!att!en!tjuv,!som!försöker!knäcka!ditt!Facebook\lösenord,!kan!testa!100!000!olika!lösenord!varje!sekund.! A.! Om!ditt!lösenord!bara!består!av!siffrorna!0\9,!hur!långt!måste!det!vara!för!att!tjuven!inte!ska!kunna!hinna! testa!alla!möjligheter!inom!en!rimlig!tid?!En!säker!”rimlig!tid”!kan!till!exempel!vara!10!år!eller!längre.! ! B.! Om!lösenordet!får!bestå!av!siffror,!våra!29!stora!bokstäver!och!våra!29!små!bokstäver,!hur!långt!behöver!då! lösenordet!vara!för!att!tjuven!inte!ska!hinna!testa!alla!möjligheter!inom!en!rimlig!tid?! En!säker!”rimlig!tid”!kan!till!exempel!vara!10!år!eller!längre.!

Uppgift!15! En!människa!har!mellan!0!och!200!000!hårstrån!på!huvudet.!Förklara!vad!Dirichlets!lådprincip!är,!och!använd!den!för! att!bevisa!att!minst!två!personer!på!jorden!har!lika!många!hårstrån!på!huvudet.!

Uppgift!16! Bestäm!en!partikulärlösning!till!differentialekvationen! G H + '7G = sin 7 + cos 7 + 1! ! ! ! ! ! ! !

3!(12)!

!

!

! !

Uppgift!17!(#)! Newtons!avsvalningslag!ser!ut!som!följer:! +U +V

= W(U − U0 )!

Där!U!är!ett!föremåls!temperatur!efter!V!minuter,!UX !är!omgivningens!temperatur!och!W!är!en!konstant.!Låt!i!det!här! fallet!W = −0,07.! ! A.! En!pizza!tas!ut!ur!ugnen!och!är!då!175!grader.!Den!ställs!på!ett!bord!i!ett!22!grader!varmt!rum.!Hur!lång! tid!tar!det!innan!pizzan!är!75!grader!varm?!! ! B.! Anta!att!rummet!alltid!har!samma!temperatur.!Förklara!i!ord!vad!uttrycket!betyder:!! lim ](V) = U0 ! V→∞

Uppgift!18!(#)! En!art!fåglar!är!utrotningshotade!och!biologer!är!därför!intresserade!av!att!försöka!förstå!hur!många!av!den!fågelarten! som!kommer!finnas!i!framtiden.! A.! Enkelt!uttryckt!observerar!de!följande:!ju!fler!fåglar!som!finns,!desto!fler!föds.!Alltså!är!tillväxthastigheten! proportionell!mot!antalet!fåglar.!Ställ!upp!en!differentialekvation!som!beskriver!detta.! B.! Bestäm!den!allmänna!lösningen!till!ovanstående!(homogena)!differentialekvation.! C.! Låt!tidsvariabeln!V!representera!antal!år!efter!2004.!Utgå!från!tiden!V = 0!år!2004,!då!det!fanns!30!fåglar.!!År! 2014!fanns!det!200!av!dessa!fåglar.!Bestäm!en!lösning!till!differentialekvationen!som!uppfyller!dessa!villkor.! D.! Enligt!denna!modell,!hur!många!fåglar!kommer!det!finnas!år!2024?! E.! Enligt!denna!modell!kommer!det!år!2204!finnas!] 200 = 955'677'952'713'412'736,!alltså!nästan!en! triljon,!fåglar.!Är!det!rimligt?!Varför/varför!inte?!

Uppgift!19! Utveckla!uttrycket! 27 + 2G _ !med!hjälp!av!binomialsatsen.!

Uppgift!20! Talet!12!har!delarna!1, 2, 3, 4, 6, 12.!Summan!av!alla!delare!till!ett!tal!kan!skrivas!med!funktionen!`(!)!som!uttalas! ”sigma!n”.!I!det!här!fallet!är! ` 12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28! ! Vi!ser!alltså!att!` 12 > 12.! ! A.! Förklara!varför!det!alltid!gäller!att!` ! ≥ !.! B.! Det!är!inte!alltid!sant!att!` ! − ! ≥ !.!Hitta!ett!motexempel!som!visar!det.!

4!(12)!

!

!

! !

Lösningsförslag!och!facit! Uppgift'1' A.! Delarna!är:!1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30! B.! Triviala!delare!är!1!och!talet!självt,!alltså:!1, 30! C.! 2, 3, 5.!(Kom!ihåg!att!1!inte!är!ett!primtal.)!

Uppgift'2' Vi!kan!räkna!ut!att!37 ≡ 2'()*+'5),!så!vi!kan!skriva!uppgiften!som:! 37 + ! ≡ 2 + ! ≡ 4'()*+'5)! Och!från!2 + ! ≡ 4'()*+'5)'ser!vi!att!! = 2.!

Uppgift'3' Vårt!basfall!är!! = 1,!för!vilket!vi!får!1 = 1.! Vår!induktionshypotes:!Anta!att!påståendet!är!sant!för!ett!heltal!! = c:! def = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2c − 1) = c . = gef ! ! Induktionssteget!(! = c + 1):! ! defhL = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2c − 1 + 2 c + 1 − 1 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2c − 1 + (2c + 1)' fi

gefhL = c + 1

.

.

= c + 2c + 1!

! Från!induktionshypotesen!vet!vi!att:! defhL = c . + (2c + 1)! Vilket!ju!är!precis!lika!med!gefhL .!Alltså!är!påståendet!bevisat!för!alla!heltal!! ≥ 1.!

Uppgift'4' Mängden!4 = {0,1,2,3,4,5}.! A.! Falskt,!4!innehåller!endast!heltal.! B.! Sant,!{2,3}!är!en!delmängd.! C.! Falskt,!4!innehåller!inga!negativa!tal.! D.! Falskt,!det!finns!6!element!i!4.! E.! Sant,!den!tomma!mängden!är!en!delmängd!till!alla!mängder.!

5!(12)!

!

!

! !

Uppgift'5' a)!Antalet!möjliga!Lottorader!är!en!kombination!av!7!tal!från!35!möjliga:!

>_ j

= 6'724'520!

b)!Antalet!möjliga!stryktipsrader:!3L> = 1'594'323.! Eftersom!6724520' > '1594323!betyder!det:! k e*VV*lm!nV =

1 1 < = k pVqGWVmcnlm!nV ! 6724520 1594323

! Så!sannolikheten!är!större!att!vinna!på!stryktipset.! Dessutom,!eftersom!det!finns!mer!information!tillgänglig!vid!stryktipsets!matcher!(information!om!lagen,!spelarna,! deras!senaste!matcher!etc.)!så!kan!oddsen!vara!ännu!bättre.!I!Lotto!finns!ingen!sådan!information!att!tillgå.!

Uppgift'6' A.! Vandring:!En!förflyttning!i!en!graf!från!hörn!till!hörn!längs!en!eller!flera!kanter.! B.! Väg:!En!vandring!där!ingen!kant!passeras!mer!än!en!gång.! C.! Eulerväg:!En!väg!som!passerar!var!och!en!av!kanterna!i!grafen!exakt!en!gång.! D.! Stig:!En!vandring!där!inget!hörn!passeras!mer!än!en!gång.! E.! Hamiltonstig:!En!stig!där!varje!hörn!i!grafen!besöks!exakt!en!gång.! F.! Hamiltoncykel:!En!Hamiltonstig!som!påbörjas!och!avslutas!i!samma!hörn.!

Uppgift'7' En!Eulerkrets!är!en!Eulerväg!som!börjar!och!slutar!i!samma!hörn.!Här!är!ett!exempel!med!sex!hörn!hämtat!från! matteboken.se,!men!det!finns!oändligt!många!möjligheter:!!

! Det!viktigaste!är!att!alla!hörn!har!jämn!grad.!

6!(12)!

!

!

! !

Uppgift'8' Genom!att!integrera!båda!sidor!får!vi! G 7 ='

37 + 2 +7 =

37 . + 27 + r! 2

Sedan!kan!vi!beräkna:! G 0 =

3 ∙ 0. + 2 ∙ 0 + r = r! 2

Eftersom!vi!vet!G 0 = 1!vet!vi!alltså!att!r = 1!och!svaret!är:! G 7 =

37 . + 27 + 1! 2

Uppgift'9' Den!homogena!lösningen!är!Gt = ru vF .! Ansätt!partikulärlösningen!till!Gf = 47 + w,!derivatan!blir!då!G′f = 4.!Insättning!i!ekvationen!ger:! 4 − 8 47 + w = 67! 4 − 847 − 8w = 67! Vilket!ger!följande!två!ekvationer:! −84 = 6! 4 − 8w = 0! Detta!ger!4 =

N> y

!och!w =

N> >.

!

Fullständig!allmän!lösning!ges!då!av:! 3 3 G = Gt + Gf = ru vF − 7 − ! 4 32 där!r!är!en!konstant.!!

Uppgift'10' A.!Detta!är!en!aritmetisk!talföljd,!eftersom!differensen!mellan!varje!element!till!nästa!är!konstant!3.! Första!elementet:!KL = 2.! För!att!få!fram!värdet!på!ett!element!kan!vi!använda!följande!formel:!KM = KL + (! − 1)+!! Tionde!elementet!är!då:!KLX = 2 + 9 ⋅ 3 = 29! Summan!av!en!aritmetisk!talföljd!fås!av!följande!formel:! nM =

M {| h{} .

nLX = ! ! !

7!(12)!

!

!!

! KL + KLX 10(2 + 29) = = 155! 2 2

!

! !

B.!Detta!är!en!geometrisk!talföljd,!eftersom!kvoten!mellan!varje!element!och!det!föregående!är!konstant!2.! Första!elementet:!KL = 3.! Kvoten:!W = 2.! Summan!av!en!geometrisk!talföljd!fås!av!följande!formel:! nM =

KL (W M − 1) ! W−1

nLX =

KL (W M − 1) 3(2LX − 1) = = 3069! W−1 2−1

!

Uppgift'11' Ett!tal!som!är!delbart!med!2!och!3!är!också!delbart!med!2 ∙ 3 = 6.!! Vi!kan!också!skriva!det!mer!matematiskt!utförligt!såhär:! Om!talet!!!är!delbart!med!2!betyder!det!att!!!är!en!multipel!av!2,!alltså!! = 2K!för!något!tal!K.! På!samma!sätt,!om!!!är!delbart!med!3,!betyder!det!att!! = 2K!är!en!multipel!av!3.!Eftersom!2!självklart!inte!är!delbart! med!3,!måste!det!vara!K!som!är!delbart!med!3,!och!kan!skrivas!K = 3O!för!något!tal!O.! Alltså!kan!vi!skriva!talet!!!som:! ! = 2 ∙ 3 ∙ O = 6O! Detta!är!en!multipel!av!6!och!därför!är!!!delbart!med!6,!med!andra!ord:! ! ≡ 0'()*+'6)!

Uppgift'12' Enligt!räknereglerna!för!kongruenser!kan!vi!skriva:! K ∙ O ≡ 13 ∙ 11'()*+'14)! Vi!kan!räkna!ut!13 ∙ 11 = 143:! KO ≡ 143'()*+'14)! Eftersom!143 ≡ 3'()*+'14)!är!rätt!svar!! = 3.!

Uppgift'13' Vi!bevisar!detta!med!induktion.!Uppenbarligen!är!1> − 1 = 1 − 1 = 0!delbart!med!3,!eftersom!0!är!delbart!med!alla! tal.!Det!utgör!vår!induktionsbas.! Induktionshypotes:!Anta!att!påståendet!gäller!för!något!tal!! = c:! 3'|'c > − c! Induktionssteg:!Låt!! = c + 1!och!förenkla!parenteserna:!

8!(12)!

!

!

! ! c+1

>

− c + 1 = c > + 3c . + 3c + 1 − c − 1!

Termerna!+1!och!−1!tar!ut!varandra,!och!genom!att!flytta!om!termerna!får!vi:! c > − c + 3c . + 3c! Från!induktionshypotesen!vet!vi!att!c > − c!är!delbart!med!3.!Dessutom!är!de!andra!termerna!multipler!av!3!och! därmed!också!delbara!med!3.! Alltså,!eftersom!varje!term!är!delbar!med!3,!är!hela!uttrycket!delbart!med!3,!och!påståendet!är!bevisat!för!alla!heltal! ! ≥ 1.!

Uppgift'14' ”Rimlig!tid”!låter!vi!här!vara!minst!10!år,!alltså!60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365 ∙ 10 = 315'360'000!sekunder.! Vi!kan!låta!U(!)!vara!en!funktion!som!ger!tiden!U!beroende!av!längden!på!lösenordet,!alltså!antal!tecken,!!.! a)!I!det!här!fallet!är! U ! =

10M 100'000

=

10M = 10MN_ ! 10_

Vi!vill!hitta!!!så!att!U > 315'360'000:! 10MN_ > 315'360'000! ! − 5 > log'(315'360'000)! ! > log 315'360'000 + 5 ≈ 13,5! Alltså!behöver!lösenordet!vara!minst!14!tecken!långt.! b)!I!det!här!fallet!finns!det!29 + 29 + 10 = 68!möjliga!tecken,!så!vi!har! U ! =

68M ! 10_

Med!samma!olikhet,!U > 315'360'000!får!vi!uträkningen:! 68M > 315'360'000! 10_ !' ⋅ log 68 > log'(315'360'000 ⋅ 10_ )! !>

log'(315'360'000 ⋅ 10_ ) = 7,4! log 68

Alltså!behöver!lösenordet!nu!endast!vara!minst!8!tecken!långt.! (Att!det!tar!minst!10!år!att!testa!alla!möjligheter!betyder!dock!inte!att!lösenordet!nödvändigtvis!är!säkert,!förmodligen! behöver!inte!alla!möjligheter!testas!innan!ditt!lösenord!kommer!upp.)!

9!(12)!

!

!

! !

Uppgift'15' Dirichlets!lådprincip:!Om!)!föremål!ska!placeras!i!!!lådor,!och!) > !,!så!kommer!minst!en!låda!att!innehålla!mer!än! ett!föremål.! I!det!här!fallet!utgörs!”lådorna”!av!antalet!hårstrån!på!huvudet.!Det!finns!alltså!! = 200'000!lådor.!”Föremålen”!är! alltså!antalet!människor,!som!är!) ≈ 7 ⋅ 10Å .!Eftersom!) > !!måste!det!finnas!minst!ett!antal!hårstrån!som!flera! människor!har.!

Uppgift'16' En!korrekt!ansättning!är:!Gf = 4 sin 7 + w cos 7 + r! för!konstanter!4, w, r.!Dess!derivata!är:!G′f = 4 cos 7 − w sin 7! Insättning!i!differentialekvationen!ger:! 4 cos 7 − w sin 7 + 7 4 sin 7 + w cos 7 + r = sin 7 + cos 7 + 1! 4 cos 7 − w sin 7 + 74 sin 7 7w cos 7 + 7r = sin 7 + cos 7 + 1! 74 − w sin 7 + 4 + 7w cos 7 + 7r = sin 7 + cos 7 + 1! Genom!att!matcha!koefficienter!i!vänster\!och!högerled!får!vi!följande!ekvationer:! 74 − w = 1! 4 + 7w = 1'! 7r = 1'! Vilket!ger!följande!lösningar:! 4=

4 3 1 ''''w = '''r = '! 25 25 7

En!partikulärlösning!är!alltså:! Gf =

4 3 1 sin 7 + cos 7 + ! 25 25 7

Uppgift'17' a)!Vi!har!att!UX = 22!och!W = −0,07!och!sätter!in!värdena!i!differentialekvationen:! +U +V

= −0,07(U − 22)!

Förenkling!ger:! U H + 0,07U = 1,54! En!korrekt!ansättning!till!partikulärlösningen!är!Uf = 4,!och!derivatan!är!U′f = 0.!Insättning!i!ekvationen!ger:!!! 0 + 0.074 = 1,54! 10!(12)!

!

!

! !

Med!lösningen:! 4 = 22! Den!homogena!lösningen!är!Ut = ru NX,XjÇ .!Lösningen!blir!alltså:! U V = ru NX,XjÇ + 22! Villkoret!U 0 = 175!ger!r = 153.! Vi!ska!lösa!U V = 75:! 153u NX,XjÇ + 22 = 75! u NX,XjÇ =

V=

É!

53 ! 153

53 153

−0,07 ≈ 15!

Svar:!Det!tar!cirka!15!minuter!för!pizzan!att!svalna!till!75!grader.! b)!När!tiden!går!mot!oändligheten!så!kommer!pizzans!temperatur!närmare!och!närmare!omgivningens!temperatur.!

Uppgift'18' I!det!här!fallet!representerar!](V)!antalet!fåglar!vid!tiden!V!och!r!är!en!konstant.! a)!

DÑ DÇ

= r ∙ ](V)!

b)!Ekvationen!ovan!skrivs!om!till!] H V − r] V = 0!vilket!är!en!linjär!homogen!differentialekvation!av!första! ordningen!och!därför!har!lösningen!] V = wu ÖÇ !för!konstanter!w!och!r.! c)!Den!data!vi!har!är!alltså!] 0 = 30!och!] 10 = 200:! ] 0 = wu Ö⋅X = w = 30! ] 10 = 30u Ö⋅LX = 200! u Ö⋅LX =

200 ! 30

ln'

200 30

r=

10 ≈ 0,19!

Lösningen!är:! ] V = 30u X,LÅÇ ! d)!År!2024!är!20!år!efter!2004,!och!därmed!ska!vi!beräkna!] 20 :! ] 20 = 30u X,LÅ⋅.X ≈ 1341! e)!Nej,!det!är!inte!rimligt.!En!matematisk!modell!som!gäller!för!vissa!omständigheter!och!tidsskalor!behöver!inte!alltid! gälla.!Förmodligen!börjar!det!bli!ont!om!mat!för!dessa!enormt!många!fåglar!då!i!så!fall!föds!det!nog!inte!lika!många.!En! annan!differentialekvation,!en!mer!sofistikerad!modell,!behövs.! 11!(12)!

!

!

! !

Uppgift'19' Enligt!binomialsatsen!är!utvecklingen:! 5 0 + !

27 5 4

= 27

_

27

_

X

+

2G

y

2G L

2G

X

5 1 +

+ 5 27

27 5 5 y

y

27

2G

2G X

L

L

+

5 2

27

>

2G

.

2G

.

+

5 3

27

.

2G > '

2G _ !

+ 10 27

>

+ 10 27

.

2G

>

+ 5 27

L

2G

y

+ 27

X

2G _ !

= 327 _ + 5 ⋅ 167 y ⋅ 2G + 10 ⋅ 87 > ⋅ 4G . + 10 ⋅ 47 . ⋅ 8G > + 5 ⋅ 27 ⋅ 16G y + 32G _ ! = 327 _ + 1607 y G + 3207 > G . + 3207 . G > + 1607G y + 32G _ !

Uppgift'20' a)!Eftersom!!!och!1!är!delare!till!varje!tal,!så!är!summan!av!alla!delare!åtminstone!! + 1!vilket!är!större!än!!.! b)!Ett!primtal!c!är!bara!delbart!med!1!och!c,!så!vi!får:!` c − c = 1 + c − c = 1! vilket!definitivt!är!mindre!än!c.!Det!finns!också!gott!om!motexempel!som!inte!är!primtal,!till!exempel!16:! ` 16 − 16 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 − 16 = 15 ≱ 16! (Symbolen!≱!utläses!”inte!större!än!eller!lika!med”)!

12!(12)!

!