TRIANGLES 1. Pour prendre un bon départ • Ce triangle s`appelle

TRIANGLES 1. Pour prendre un bon départ

A

• Ce triangle s’appelle ABC ou ACB ou BAC ou BCA ou CBA ou CAB. A, B et C sont ses trois sommets. [AB] , [BC] , [CA] sont ses trois côtés. BAC, CBA, et ACB sont ses trois angles.

B

L’angle ABC peut se noter aussi CBA ou B.

• A est le sommet opposé au côté [BC]. A est l’angle opposé au côté [BC]

C

B et C sont les angles adjacents au côté [BC] • Je trace un triangle ABC tel que AB = 5 cm AC = 4 cm BC = 2 cm

C 4

A

4,75

B

5

ABC est un triangle quelconque. ( Les côtés ne sont pas égaux, les angles non plus et il n’y a pas d’angle droit ) • Je trace un triangle ABC tel que AB = 5 cm AC = 5 cm BC = 3 cm C

2

2

• Je trace un triangle ABC tel que A = 90 ° AB = 5 cm AC = 3 cm B

5 3

3

A 5

ABC est un triangle isocèle. A est son sommet principal. B et C sont les angles à la base. Ils sont égaux. B = C

B

• Je trace un triangle ABC tel que AB = 3 cm AC = 3 cm BC = 3 cm C

2,85

A

4,

5

C 2,85 ABC est un triangle rectangle. [BC] est l’hypoténuse. ( le plus long des côtés ) • Je trace un triangle ABC tel que A = 90° AB = 3 cm AC = 3 cm. B

3

3 3

A

A 3

B

ABC est un triangle équilatéral.

3

3

C

ABC est un triangle rectangle isocèle.

2. Construction d’un triangle. A) On connaît un côté et les deux angles adjacents à ce côté Exemple : EFG tel que EF = 7 cm, E = 30° et F = 40° G

30

E

40 7

3,8

F

B) On connaît deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés. 5,7

Exemple : RST tel que SRT = 120° , RS = 4 cm et RT = 3 cm R 3

3,8

T 120

4

4,75

S

5,7

C) On connaît les trois côtés Exemple : MNP tel que MN = 5 cm , MP = 3 cm et NP = 6 cm M 5

1,9

3

6

N

3,8

P

D) Remarque 1 Construisons un triangle MNP tel que NP = 6 cm , MN = 2 cm et MP = 3 cm

3

2

N

6

P

On ne peut pas obtenir le sommet M. En effet : 2 cm + 3 cm < 6 cm et les deux cercles ne se coupent pas. Propriété : Dans un triangle, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres. Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire.

E) Remarque 2 Construisons un triangle MNP tel que NP = 6 cm , MN = 2 cm et MP = 4 cm

4

2

M

N

P

6

Ce triangle est “applati ” : Le point M est sur le segment [NP] Explication : 2 cm + 4 cm = 6cm A Propriété : Si N, M et P sont 3 points alignés dans cet ordre ALORS NP = NM + MP 3. Angles d’un triangle A) Rappel C B Dans un triangle quelconque, les 3 angles sont différents. Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux. Dans un triangle équilatéral, les 3 angles sont égaux. B B

A

B

A

A A

C

C

B

C

C quelconque

isocèle

équilatéral

B) Propriété des angles d’un triangle — manipulation et collage

105,5 33,0

105,5 ° 41,5

41,5 °

33,0 °

33 ° + 105,5° + 41,5° = 180°

— Propriété :

Dans un triangle, la somme des trois angles est égal à 180°.

C) Conséquence pour le triangle équilatéral D’après la propriété précédente, on a A + B + C = 180° Or, les angles d’un triangle équilatéral sont égaux : A = B = C donc A + A + A = 180° 3 x A = 180° A = 180° : 3 A = 60° Finalement A = B = C = 60° Propriété :

Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux à 60 °.

D) Conséquence pour le triangle rectangle B

A

C

D’après la propriété des angles d’un triangle, on a A + B + C = 180° 90° + B + C = 180° B + C = 180° – 90° B + C = 90° Propriété :

Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit sont aigus et complémentaires.