Trigonométrie

Maths 4e!

prgm 2007

Trigonométrie 1. Cosinus d’un angle aigu Définition : Dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent à cet angle par l’hypoténuse du triangle rectangle. Dans le triangle HOM rectangle en H on a :



 OH côté adjacent cos MOH = = OM hypoténuse

Remarque : le cosinus d’un angle est un nombre sans unité, toujours inférieur à 1 (car l’hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle rectangle).

2. Calcul d’un côté inconnu Si on connaît un angle aigu et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, alors on peut calculer les longueurs des deux autres côtés. Pour calculer le cosinus d’un angle il faut utiliser la touche cos de la calculatrice (attention : il est important que la calculatrice soit configurée en degrés).  Exemple 1 : Dans MOH rectangle en H, si MOH = 37° et OM = 4 , on peut calculer

OH et MH :  OH OH Calcul de OH : cos MOH = , soit cos 37° = , d’où OH = 4 × cos37° ≈ 3,19  ; OM 4

puis MH  : on sait que les angles aigus d’un triangle rectangle sont   complémentaires donc OMH = 90° − MOH = 90° − 37° = 53° , alors  MH MH , soit cos 53° = , d’où MH = 4 × cos 53° ≈ 2, 41 . cos OMH = OM 4

Remarque : Pythagore permet de calculer MH dans MOH rectangle en H.  Exemple 2 : Dans MOH rectangle en H, si MOH = 52° et MH = 3 , on peut calculer

OM et OH :    Calcul de OM : OMH et MOH étant complémentaires OMH = 90° − 52° = 38° ,

 MH 3 3 alors : cos OMH = , soit cos 38° = , d’où OM = ≈ 3, 81 ; OM OM cos 38°  OH 3 3 puis OH : cos MOH = , avec OM = d’où OH = × cos 52° ≈ 2, 34 . OM cos 38° cos 38°

Remarque : Pythagore permet de calculer OH dans MOH rectangle en H. F.Bonomi!

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3. Calcul d’un angle inconnu Si on connaît deux des côtés d’un triangle rectangle, alors on peut calculer les mesures des deux angles aigus. Pour calculer la mesure d’un angle connaissant son cosinus il faut utiliser la touche

arc cos de la calculatrice (utiliser la touche de couleur avec la touche cos ). Exemple : Dans un triangle RST rectangle en R, on sait que ST = 17 et SR = 9.   Calculer les mesures des angles RST et RTS .  Calcul de RST  :dans le triangle RST rectangle en R on peut écrire : ⎛ 9⎞  SR   9 , donc cos RST = et RST = arc cos ⎜ ⎟ ≈ 58° cos RST = ST 17 ⎝ 17 ⎠    Calcul de RTS  : les angles RST et RTS sont complémentaires,   donc RTS = 90° − RST ≈ 90° − 58° = 32° .

Remarque : on peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle RST  rectangle en R pour calculer le côté RT, puis calculer l’angle RTS en utilisant son cosinus ; cependant cette méthode est plus longue et plus compliquée.

F.Bonomi!

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