TS Cours - CONDITIONNEMENT - INDEPENDANCE

Cours

C O N DI TI O NN E ME NT - IN DE PE ND AN C E

I - ACTIVITES ♦ Activité 1 : Dans l’étude d’une certaine maladie, on voudrait savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant. On dispose de la statistique ci-dessous concernant une population de 20 000 personnes. Dire qu’une personne est saine ici signifie seulement qu’elle ne souffre pas de la maladie étudiée. Soient les événements : F : " la personne est fumeur " M : " la personne est malade ".

Fumeurs Non-fumeurs

Malades 400 600

Sains 4 600 14 400

On choisit au hasard une personne de cette population. 1°) a) Quelle est la probabilité qu’elle soit malade, c’est-à-dire P (M) ? b) Si l’on sait que c’est un fumeur, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? Cette probabilité se note PF ( M ) et appelée PROBABILITE CONDITIONNELLE . se lit : " Probabilité de M sachant F " ( sachant que F est réalisé ) . c) Si l’on sait que ce n’est pas un fumeur, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? autrement dit : calculer P ( M ) F

d) Quelle conclusion peut-on tirer de ces résultats ? 2°) a) Quelle est la probabilité pour qu’une personne choisie au hasard fume ? b) Quelle est la probabilité pour qu’une personne choisie au hasard fume et soit malade ? c) Comparer P (M) et F

P(F ∩ M ) . P(F )

♦ Activité 2 : A l’aide d’un test, on procède au dépistage d’une maladie affectant 2% d’une population. Le laboratoire qui fabrique le test, fournit les informations suivantes : « Le test est positif chez 96 % des individus malades et négatif chez 99 % des individus sains ». On considère les événements suivants : M : « L’individu est malade » S : « L’individu est sain » P : « Le test est positif » N : « Le test est négatif » 1°) Construire un arbre pondéré schématisant la situation. 2°) Mettre en évidence ( colorier en rouge par exemple ) la branche dont la valeur est la probabilité conditionnelle P (N), c’est-à-dire la probabilité que le test soit négatif sachant S

que l’individu est sain. 3°) Mettre en évidence ( colorier en vert par exemple ) qui réalise l’événement M∩P, puis calculer la probabilité de ce dernier. 4°) Calculer la probabilité de l’événement « Le test est négatif ».

II - DEFINITION Soit H un événement tel que P (H) ≠ 0. On définit une nouvelle probabilité sur Ω appelée PROBABILITE CONDITIONNELLE : " Probabilité de A sachant que H est réalisé " :

Remarque :

P (A) = ………………….. A

P H

( A) =

P(A∩ H ) P (H )

( compléter )

Exemple 1 : Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Un témoin l’informe que le 6 n’est pas sorti. Calculer, de deux façons différentes, la probabilité que le numéro sorti soit pair. On notera les évènements A : « le résultat du dé est différent de 6 » et B: « Le numéro est pair ».

III - PROPRIETE DE L'INTERSECTION En utilisant la définition précédente, compléter : P (A) = ………………….. donc P ( A ∩ B ) = ………………….. B P (B) = ………………….. donc P ( A ∩ B ) = ………………….. A

Propriété :

P ( A ∩ B ) = PB ( A ) × P ( B ) = PA ( B ) × P ( A ) Exemple 2 : Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire au hasard et sans remise deux boules. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ? On notera les évènements A : « la première boule est rouge » et B: « la deuxième boule est rouge ». Et on pourra s’aider d’un arbre pondéré.

IV - FORMULE DES PROBABILITES TOTALES TOTALES A]

TRAVAIL SUR UN EXEMPLE - Activité 3 :

On choisit au hasard une urne U , U ou U schématisées ci-dessous , et on tire une boule dans 1

2

3

cette urne. On cherche la probabilité que la boule extraite soit noire.





U : 1 noire et 5 blanches 1



U : 3 noires et 1 blanche 2

U : 1 noire et 2 blanches 3

On note les événements : U : " l’urne choisie est U " pour i ∈ 1,2,3 i

i

et N : " la boule tirée est noire ". 1°) Traduire les hypothèses sous forme de probabilités.

2°) Calculons la probabilité pour que la boule tirée soit noire, en utilisant deux méthodes : a) Utilisation d’un arbre pondéré Construire un arbre pondéré adapté à la situation, puis déterminer P ( N ) en utilisant cet arbre.

b) Formule des probabilités totales Les événements U1 , U 2 et U 3 ont les propriétés suivantes : ♦ ils sont deux à deux incompatibles, On dit que U1 , U 2 et U 3 forment ♦ leur réunion forme l’univers, une partition de l’univers. ♦ la probabilité de chacun est non nulle . L’événement N est alors la réunion disjointe des événements N ∩ U1 , N ∩ U 2 et N ∩ U 3 . U 1

U

2

U

Soit :

3

 blanches  noires

la

N = ( N ∩ U1 ) ∪ ( N ∩ U 2 ) ∪( N ∩ U 3 ).

formule des probabilités totales

est :

P( N ) = P( N ∩ U1 ) + P( N ∩ U 2 ) + P( N ∩ U 3 )

En utilisant la formule des probabilités totales, retrouver P (N).

3°) On sait que la boule est noire. Calculer la probabilité qu'elle provienne de U . 2

B] CAS GENERAL 1°) Formule simple des probabilités totales :

P( H ) = P( H ∩ A) + P( H ∩ A) 2°) Formule généralisée des probabilités totales : A1

A2

Soient A1 , A2 , . . . , An des évènements formant une partition de Ω , c’est-à-dire tels que :

An

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = Ω

H

V - PROPRIETE

et

Ai ∩ Aj = ∅ ( si i ≠ j )

P(H) = P(H∩A1) + P(H∩A2) + . . . + P(H∩An) P B ( A ) = 1 − P B (A )

VI - INDEPENDANCE DE DEUX EVENEMENTS ♦ Activité 4 : Une urne contient 4 boules indiscernables au toucher : Une rouge, une bleue, une jaune et la quatrième boule est des trois couleurs ( rouge, bleu et jaune ). On tire une boule au hasard. On considère les événements suivants : R : « On voit du rouge sur la boule tirée » B : « On voit du bleu sur la boule tirée » J : « On voit du jaune sur la boule tirée » 1°) Déterminer la probabilité de chacun de ces événements. 2°) Quelle est la probabilité de voir du bleu et du rouge sur la boule ? 3°) Quelle est la probabilité de voir du bleu sachant que l’on voit du rouge ? 4°) Montrer que P (R ∩ B) = P (R) × P (B) et vérifier que P (B) = P ( B ). R

De tels événements sont dits indépendants

1°) Définition: A et B sont indépendants si et seulement si PB ( A ) = P ( A ) ou PA ( B ) = P ( B ) A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.

2°) Conséquence : A et B sont indépendants ⇔ P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )

3°) Propriété : A et B sont indépendants ⇔ A et B sont indépendants