TS. Évaluation 9 -Correction 1 ( 3,5 points ) On note X la variable

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TS. Évaluation 9 -Correction

1 ( 3,5 points ) On note X la variable aléatoire correspondant à la durée d’attente, en minutes, au guichet d’une banque. On admet que X suit la loi exponentielle de paramètre λ. 1. Déterminer une valeur approchée de λ à 10−4 près sachant que la probabilité qu’un client attende moins de 8 minutes est égale à 0, 7. Z 8 h i8 P(X < 8) = 0, 7 ⇐⇒ λe−λx dx = 0, 7 ⇐⇒ −e−λx = 0, 7 0

0

P(X < 8) = 0, 7 ⇐⇒ 1 − e−8λ = 0, 7 ⇐⇒ e−8λ = 0, 3 ⇐⇒ −8λ = ln(0, 3) ⇐⇒ λ =

ln(0, 3) ' 0, 1505 −8

2. Pour toute la suite de l’exercice, on prendra λ = 0, 15 et tous les résultats seront arrondis à 10−2 près. Calculer la probabilité qu’un client attende : a. plus de 5 minutes ; ³ ´ P(X > 5) = 1 − P(X 6 5) = 1 − 1 − e−5λ = e−5λ = e−0,75 ' 0, 47

b. entre 15 et 20 minutes. Z 20 h i20 λe−λx dx = −e−λx = e−15λ − e−20λ ' 0, 06 P(15 < X < 20) = 15

15

3. Déterminer la probabilité qu’un client attende plus de 13 minutes sachant qu’il attend déjà depuis 5 minutes. On recherche PX>5 (X > 13) = PX>5 (X > 5 + 8) = P(X > 8) car X suit une loi exponentielle et vérifie donc la propriété de durée de vie sans vieillissement. PX>5 (X > 13) = P(X > 8) = e−8λ = 0, 30 4. Déterminer la durée moyenne d’attente pour un client. µ ¶ 1 1 100 2 E(X) = = = = 6+ minutes. λ 0, 15 15 3 La durée moyenne d’attente pour un client est donc de 6 minutes et 40 s. 5. Par définition, la médiane de X est la valeur a telle que P(X 6 a) = 0, 5. Déterminer la médiane de X et interpréter ce résultat. P(X 6 a) = 0, 5 ⇐⇒ 1 − e−aλ = 0, 5 ⇐⇒ e−aλ = 0, 5 ⇐⇒ −aλ = ln(0, 5) ⇐⇒ a =

ln(0, 5) ' 4, 62 −λ

Cela signifie que 50% des clients attendent moins de 4 minutes et 37 secondes et 50% des clients attendent plus de 4 minutes et 37 secondes. 6. On interroge au hasard 10 clients de cette banque. Y est la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant attendu plus de 5 minutes au guichet. On admet que Y suit la loi binomiale de paramètre n = 10 et p = P(X > 5). a. Calculer p à 10−2 près. p = P(X > 5) ' 0, 47

d’après la question 2. a.

b. Calculer P(Y = 6). Ã ! 10 P(Y = 6) = × (0, 47)6 × (0, 53)4 ' 0, 18 6 c. Quelle est la probabilité qu’au moins 8 clients attendent plus de 5 minutes ? P(Y > 8) = P(Y = 8) + P(Y = 9) + P(Y = 10) = 1 − P(Y < 8) = 1 − P(Y 6 7) ' 0, 04 Attention : Y est ici une variable aléatoire discrète donc les événements (Y < 8) et (Y 6 7) sont égaux ! Et il faut se rappeler que la calculatrice permet de calculer les valeurs P(Y 6 k) pour k entier entre 0 et 10. d. Déterminer l’espérance de Y et interpréter ce résultat. E(Y) = np = 10 × 0, 47 = 4, 7 Cela signifie qu’en moyenne, sur 10 clients sélectionné au hasard, il y a entre 4 et 5 clients qui attendent plus de 5 minutes.

2 ( 4 points ) Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à 10−3 près. 1. Une coopérative de fruits doit calibrer sa production de cerise pour un fabricant de fruits confits. Le diamètre des ¡ ¢ cerises, en millimètre, est une variable aléatoire, notée D, qui suit la loi normale N 22 ; 1, 62 . Pour effectuer le tri, les cerises sont placées sur un tapis roulant à travers deux calibreuses : la première ne laisse passer que les cerises de diamètre inférieur à 23 mm et la seconde est réglée pour laisser passer les cerises de diamètres inférieurs à 21 mm . Les cerises acceptées sont celles qui passent le premier calibre et sont rejetées par le second calibre. a. Quelle est la probabilité qu’une cerise soit acceptée ? Une cerise est acceptée si et seulement si elle est à la fois d’un diamètre inférieur à 23 mm et d’un diamètre supérieur à 21 mm . On obtient à l’aide de la calculatrice : P(21 6 D 6 23) ' 0, 468 La probabilité qu’une cerise soit acceptée est d’environ 0, 468. b. Quelle est la probabilité qu’une cerise ne passe pas le premier calibre ? Une cerise ne passe pas le premier calibre si et seulement si son diamètre est supérieur à 23 mm P(D > 23) = 0, 5–P(22 6 D 6 23) = 0, 5–0, 234 ' 0, 266 La probabilité qu’une cerise ne passe pas le premier calibre est d’environ 0, 266. c. Quelle est la probabilité qu’une cerise qui a passé le premier calibre, passe le second calibre ? Il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle : P((D < 23) ∩ (D < 21)) P(D < 21) 0, 5 − P(21 < D < 22) 0, 266 = = ' ' 0, 362 P(D < 23) P(D < 23) 0, 5 + P(22 < D < 23) 0, 734 La probabilité qu’une cerise qui a passé le premier calibre passe le second est de 0, 362. P(D d mi n ) = 0, 1, ce qui équivaut à P (D 6 d mi n ) = 0, 9. On trouve avec la fonction inverse normale de la calculatrice d mi n ' 24, 05 ce qui signifie que 10% des cerises auront un diamètre supérieur ou égal à 24, 05 mm . b. Les cerises qui ne sont pas sélectionnées ni pour le confisage ni pour la congélation sont gardées pour la fabrication de fruits au sirop. Donner sous forme d’intervalle les diamètres de ces cerises. Une cerise de diamètre inférieur à 21 mm est rejetée car son diamètre est insuffisant pour les fruits confits. D’autre part, les cerises de diamètre compris entre 23 et 24, 05 mm sont de diamètre trop gros pour les fruits confits, sans pour autant faire partie des 10% des cerises sélectionnées pour les surgelés. Les cerises qui sont gardées pour les fruits au sirop sont celles dont le diamètre est dans l’ensemble : E = [0 ; 21] ∪ [23 ; 24, 05] 3. On admet que la coopérative vend chaque année à ses différents commanditaires un nombre X de cerises, exprimé ¡ ¢ en tonnes. X suit la loi normale N µ ; σ2 . La probabilité que ce nombre soit inférieur à 11 000 est de 0, 1 et la probabilité que ce nombre soit supérieur à 21 000 est de 0, 2. ½ µ − 1, 282σ = 11 000 a. Justifier que les paramètre µ et σ vérifient le système (S) puis résoudre (S) . µ + 0, 842σ = 21 000 ¡ ¢ X−µ Si X suit la loi normale N µ ; σ2 , alors la variable aléatoire centrée et réduite associée à X : Z = suit σ ¡ ¢ 2 la loi normale N 0 ; 1 . µ ¶ µ ¶ 11 000 − µ 21 000 − µ P(X 6 11 000) = 0, 1 ⇐⇒ P Z 6 = 0, 1 et P(X > 21 000) = 0, 2 ⇐⇒ P Z > = 0, 8. σ σ À l’aide de la calculatrice on trouve P(Z 6 −1, 282) ' 0, 1 , et de même P(Z > 0, 842) ' 0, 8 d’où l’on déduit que les paramètres µ et σ sont solutions du système (S).  11 000−µ  ½ = −1, 282  σ µ − 1, 282σ = 11 000 ⇐⇒ (S)  µ + 0, 842σ = 21 000  21 000−µ = 0, 842 σ ©¡ ¢ª Ce système a pour solution S = µ0 ; σ0 avec µ0 ' 17035, 782 et σ0 ' 4708, 098 ¡ ¢ b. On suppose maintenant que X suit la loi normale N 17 036 ; 4 7082 . Chaque tonne vendue rapporte 120 € à la coopérative. Les charges annuelles à payer par la coopérative sont de 1 500 000 €. Calculer la probabilité que l’entreprise ne fasse pas de perte cette année. Soit B le bénéfice algébrique de la coopérative, on a B = 120X − 1 500 000. B > 0 ⇐⇒ 120X − 1 500 000 > 0 ⇐⇒ X > 12 500 P(X > 12 500) = 0, 5 + P(12 500 6 X 6 17 036) ' 0, 832 La probabilité que l’entreprise ne fasse pas de perte cette année est d’environ 0, 832.

3 ( 2,5 points ) Un skieur doit traverser un glacier en suivant une piste de longueur 6 km . Il y a sur ce glacier une seule crevasse dont la localisation n’est pas connue du skieur. La probabilité qu’il rencontre cette crevasse sur son chemin est p. Si cette crevasse est sur le chemin du skieur, on admet que sa répartition suit une loi uniforme sur [0 ; 6]. À la distance d du point de départ (0 < d < 6) se trouve un refuge. On considère les événements : • C : « la crevasse se situe sur le chemin parcouru par le skieur » ; • A : « la crevasse se situe entre le départ et le refuge » ; • B : « la crevasse se situe entre le refuge et l’arrivée ». 1. Interpréter les probabilités PC (A), PC (B) et P(C ∩ A), puis exprimer ces probabilités en fonction de p et de d . • PC (A) est la probabilité que « la crevasse se situe entre le départ et le refuge sachant qu’elle se situe sur le chemin parcouru par le skieur » ; d PC (A) = 6 • PC (B) est la probabilité que « la crevasse se situe entre le refuge et l’arrivée sachant qu’elle se situe sur le chemin parcouru par le skieur » ; 6−d PC (B) = 6 • P(C∩A) est la probabilité que « la crevasse se situe sur le chemin parcouru par le skieur et se situe entre le départ et le refuge ». d pd P(C ∩ A) = PC (A) × P(C) = × p = 6 6 2. Construire un arbre de probabilités faisant intervenir C, C, A et B. Calculer alors P(A) et P(B) en fonction de p et d . A d 6

C 1 − d6

p •

B 1−p C

P(A) = P(A ∩ C) =

pd 6

et

µ ¶ d pd P(B) = P(B ∩ C) = p × 1 − =p− 6 6

3. Sachant que le skieur est parvenu sans rencontrer de crevasse au refuge, quelle est la probabilité qu’il rencontre une crevasse sur la suite du parcours ? Combien vaut cette probabilité si p = 1 ? Interpréter le résultat. PA (B) =

P(A ∩ B) P(A)

pd

=

p− 6 P(B) 6p − pd = = pd 1 − P(A) 1 − 6 − pd 6

Si p = 1, alors PA (B) = 1. En effet, si la crevasse est toujours sur le chemin parcouru par le skieur et qu’il est parvenu sans la rencontrer au refuge, alors il est certain qu’il la rencontrera sur la suite du parcours.