TS4 à noter à la suite du cours : 3)Lois exponentielles : a

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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TS4 à noter à la suite du cours : 3)Lois exponentielles : a)introduction : Soit N(t) le nombre d’atomes radioactifs d’une substance, à l’instant t (t  0). On sait que Error! = – 𝜆𝑁(𝑡)où 𝜆 est une constante positive dépendant de la substance. Ainsi on a : N(t) = C𝑒 −𝜆𝑡 avec C  I; R ; puis si N(0) = N0 alors on peut écrire N(t) = N0 𝑒 −𝜆𝑡 Soit X la durée de vie d’une particule radioactive prise au hasard. Pout tout réel t  0 , P(X < t)  proportion d’atomes désintégrés avant l’instant t

=

𝑁0 −𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 𝑁0

= 1 – 𝑒 −𝜆𝑡

Or , si f est la fonction densité associée à la loi de X , on a : P(X < t) = Error! = [F(x)]t0 = F(t) – F(0) On a donc : F(t) – F(0) = 1 – 𝑒 −𝜆𝑡 pour tout t [0 ; + [. En dérivant chacun des membres de cette égalité , on obtient f (t) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 pout tout t [0 ; + [. b)définition : La loi exponentielle de paramètre 𝜆 (𝜆 > 0) admet pour densité la fonction f , définie sur [0 ; + [ , par f (x) = 𝝀𝒆−𝝀𝒙 . Si la variable X suit une loi exponentielle, pour tout réel positif t , on a : P ( X < t ) =Error! = 1 – 𝑒 −𝜆𝑡 P ( X > t ) = 1 – P( X < t) = 1 – (1 – 𝑒 −𝜆𝑡 ) = 𝑒 −𝜆𝑡 Remarque :L’aire sous la courbe de la fonction densité f , sur [0 ; +[ est égale à 1 : En effet : Error!x = Error!Error! = Error!1 – 𝑒 −𝜆𝑡 = 1

Exercice 1 : Liban mai 2006 à chercher pour lundi 23/05/11 La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ , avec λ > 0. 1. Déterminer λ , arrondi À 10−1 prés, pour que la probabilité P ( X > 6 ) soit égale à 0,3. Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,2 . 2. À quel instant t , à un mois prés, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ? 3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e −0,4. 4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10 −2 prés, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ? 5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins deux robots qui n’aient pas eu de panne au cours des deux premières années.

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