TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

1/1

Föreläsningar 1 2• 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet

Inledning, grundläggande begrepp. Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. Specifikationer. Rotort. Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. Tidsdiskreta system. Specifikationer i frekvensplanet. Kompensering i bodediagram. Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.

2/1

Repetition: Reglerproblemet

3/1

Exempel: Temperaturreglering En enkel modell av temperaturen i ett hus:

Välj styrsignalen u(t) så att systemet S (enligt mätsignalen y(t)) beter sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots inverkan av störningar v(t).

cy(t) ˙ = u(t) − d(y(t) − v(t))

v Här är

u

Här tittar vi i första hand på linjära, dynamiska system.

S

y

y(t) = temperaturen i huset [grader C eller K] u(t) = värmeelementens effekt [W] v(t) = utomhustemperaturen [grader C eller K] c = husets värmekapacitet [J/K] d = värmeövergångstalet för väggarna [W/K]

4/1

Repetition: Öppen styrning & P-reglering

5/1

Repetition: P-reglering: Normal utomhustemp. Temperaturreglering, P−reglering (r=20, v=0, d=200) 20 Öppen styrning Kp=1000 Kp=5000

18

Öppen styrning (styrning utan hjälp av mätningar):

P-reglering u(t) = KP (r(t) − y(t)):

• Fungerar skapligt och kan t.ex. göra systemet snabbare. • Ger ofta ett stationärt fel.

• Om detta fel ska bli litet måste KP vara stort (stora styrsignaler krävs).

Temperatur (grader C)

16

• Är känslig för störningar och modellfel.

14 12 10 8 6 4 2 0 0

10

20

30

40 Tid (h)

50

60

70

6/1

PI-reglering: Normal utomhustemperatur

7/1

PI-reglering: Låg utomhustemperatur

Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=0, d=200)

Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=−10, d=200)

25

25 Öppen styrning Kp=600, Ki=100

Öppen styrning Kp=600, Ki=100 20 Temperatur (grader C)

Temperatur (grader C)

20

15

10

5

0 0

15

10

5

10

20

30

40 Tid (h)

50

60

70

0 0

10

20

30

40 Tid (h)

50

60

70

8/1

PI-reglering: Normal utomhustemperatur

9/1

PI-reglering

Temperaturreglering, PI−reglering (r=20, v=0, d=200) 30 Öppen styrning Kp=600, Ki=600

Temperatur (grader C)

25

I-delen:

20

• Eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel. • Kan göra systemet mer oscillativt.

15

10

5

0 0

10

20

30

40 Tid (h)

50

60

70

80

10 / 1

PID-reglering: Normal utomhustemperatur

11 / 1

PID-reglering

Temperaturreglering, PID−reglering (r=20, v=0, d=200) 30 Öppen styrning Kp=600, Ki=600 Kp=600, Ki=600, Kd=4000

Temperatur (grader C)

25

D-delen: 20

• Minskar ofta överslängen i stegsvaret.

• Gör systemet mer känsligt för mätbrus.

15

• Kan inte implementeras exakt. 10

5

0 0

10

20

30

40 Tid (h)

50

60

70

80

12 / 1

Stegsvar och rampsvar

13 / 1

Inställningsregler för PID-regulatorer Man kan ställa in PID-regulatorer även om man inte har en matematisk modell eller förkunskaper om systemet:

Ett systems stegsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är ett steg: ( 0, t < 0 u(t) = 1, t ≥ 0

1. Bestäm en enkel modell m.h.a. ett experiment: • •

Ett systems rampsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är en ramp: ( 0, t < 0 u(t) = t, t ≥ 0

Stegsvarsexperiment Självsvängningsexperiment (P-reglering med så stort KP att systemet självsvänger)

2. Ställ in PID-parametrarna genom att använda någon inställningsregel, t.ex.: • •

Ziegler-Nichols Åström-Hägglund

14 / 1

Två typer av reglerproblem

15 / 1

Instabilitet Ett försök till PI-reglering av en satellits position: 15

10

• Servoproblemet: Systemets utsignal ska följa en given referenssignal så bra som möjligt. (T.ex.: Industrirobotar) • Regulatorproblemet: Systemets utsignal ska hållas konstant trots att det finns störningar som påverkar systemet. (T.ex.: Nivåreglering i en tank)

5

0

−5

−10

−15

−20 0

2

4

6

8

10

16 / 1

Stabilitet

17 / 1

Laplacetransformen

Ett alternativ till att arbeta direkt med differentialekvationer är att använda laplacetransformen: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal.

Y (s) = L[y(t)](s) =

Z

∞

y(t)e−st dt

0

(s = σ + iω) Fördel: Underlättar många beräkningar som t.ex. derivering, integrering och faltning.

18 / 1

Laplacetransformen. . .

19 / 1

Överföringsfunktion

Några egenskaper: L{af (t) + bg(t)} = aF (s) + bG(s) d L{ f (t)} = sF (s) − f (0) dt Z t 1 L{ f (τ ) dτ } = F (s) s 0 L{

Z

0

t

Betrakta en differentialekvation dn dn−1 dm y(t) + a1 n−1 y(t) + . . . + an y(t) = b0 m u(t) + . . . + bm u(t) n dt dt dt Laplacetransformering ger (om alla initialvillkor är noll)

L{f (t − L)} = e−sL F (s)

f (t − τ )g(τ ) dτ } = F (s)G(s)

Slutvärdesteoremet (om f (t) konvergerar): lim f (t) = lim sF (s)

t→∞

s→0

Y (s) =

b0 sm + . . . + bm U (s) sn + a1 sn−1 + . . . + an

där G(s) =

b0 sm + . . . + bm sn + a1 sn−1 + . . . + an

är systemets överföringsfunktion.

20 / 1

Poler och nollställen

Stabilitet

Överföringsfunktion:

Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal.

m

G(s) =

21 / 1

sn

b0 s + . . . + bm B(s) = n−1 + a1 s + . . . + an A(s)

Ett system med proper överföringsfunktion G(s) är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla poler till G(s) har strikt negativa realdelar.

Systemets poler: Rötterna till A(s) = 0 Systemets nollställen: Rötterna till B(s) = 0

(proper = nämnarpolynomets gradtal ≥ täljarpolynomets gradtal)

22 / 1

Poler och stegsvar

23 / 1

Tidskonstant 1

Stegsvar från första ordningens system

0.9

Parametern T i

0.8 0.7

1 sT + 1

G(s) =

0.6

är ett mått på systemets snabbhet och kallas för tidskonstant.

0.5

Tidskonstanten är den tid det tar för stegsvaret att nå 63% av slutvärdet. (Denna definition gäller även för system av högre ordning.)

0.4

• T =1 • T =2 • T =3

0.3 0.2 0.1 0 0

1 sT + 1

2

4

6

8

10

24 / 1

Poler och stegsvar. . .

25 / 1

Poler och stegsvar. . . 1

0

0.9 0.8

Stegsvar från andra ordningens system

0.7

Stegsvar från andra ordningens system

0.6

−5000

0.5

2 (s + 1)(s + 2)

−2 (s − 1)(s + 2)

0.4 0.3

−10000

0.2 0.1 0 0

2

4

6

8

−15000 0

10

2

4

6

8

26 / 1

Poler och stegsvar. . .

27 / 1

Poler och stegsvar. . . 1.6

Stegsvar från andra ordningens system ω02 s2 + 2ζω0 s + ω02

400

1.4 300

Stegsvar från andra ordningens system

1.2 1

ω02 s2 + 2ζω0 s + ω02

0.8

• ζ=1

• ζ = 0.6

• ζ = 0.2

(ω0 = 1)

10

0.6

200

100

0

(ω0 = −3, ζ = 0.2)

0.4

−100

0.2 0 0

2

4

6

8

10

−200 0

2

4

6

8

10

28 / 1

Poler och stegsvar – Sammanfattning

• En pol (eller flera) i högra halvplanet ger ett instabilt system. • Alla poler i vänster halvplan ger ett stabilt system.

29 / 1

Sammanfattning

• P-, PI- och PID-reglering

• I-delen eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel men kan göra

systemet mer oscillativt

• De poler som är närmast origo dominerar (oftast) dynamiken. (De långsammaste polerna bestämmer mest.)

• D-delen har en dämpande inverkan men kan göra systemet mer känsligt

• Dominerande poler långt från origo ger ett snabbt system.

• Insignal-utsignalstabilitet

• Dominerande poler med stor imaginärdel (jämfört med realdelen) ger ett oscillativt (slängigt) system.

för mätbrus

• Överföringsfunktioner • Nollställen

• Poler och deras koppling till stegsvaret

www.liu.se