Ultraschall-Tomographie

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung • von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“ zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen • dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen • parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie • heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin • findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen • risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen, z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

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Ultraschall in der Natur und Industrie

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Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne Ultraschall (US) • Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen • mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten • Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B. elektromagnetische Schwingungen Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

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Ultraschall in der Natur • Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse, Delphine oder Wale

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Echoorientierung der Fledermäuse Impuls-Echo Prinzip • besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung • 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären, wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der Fledermaus-Orientierung auf

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Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot ! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren ! • 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu entwickeln • Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der Meeresboden reflektierte ausreichend stark • 1913: Behm entwickelt den Echolot Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

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Einsatzgebiete des Ultraschalls Metallurgie • Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall Elektronik und Mikroelektronik • Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop Leistungsultraschall • bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder Ultraschallzahnsteinentfernung Medizin • Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

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Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt • Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und elektrischer Spannung bestimmter Kristalle • direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche • inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen einer elektrischen Spannung

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Erzeugung von Ultraschall • Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts • Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

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Ultraschall in der Medizin

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Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete • Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen • Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe • Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe • Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

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Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie • bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin • Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin • aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen • Echokardiographie Ultraschalluntersuchung des Herzens • Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, … • Schwangerschaftsvorsorge • Beurteilung des Blutflusses Dopplersonographie • …

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Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie • Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit • Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur • Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

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Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s) maßstabsgetreue Abbildung möglich

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Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion • Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien Akustische Impedanz • Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt • Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

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A - Scan Mode • A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips • Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt • Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen und gute räumliche Vorstellung • heute nahezu keine Bedeutung mehr

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B - Scan Mode • B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode • jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

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M - Scan Mode • M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

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Dopplerverfahren Doppler-Effekt • Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger Doppler-Verfahren • Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der Blutgefäße sowie Herzfehler

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Mathematische Analyse der Ultraschall-Tomographie

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Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und Empfänger

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Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich • Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate • Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

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Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit umgeben • Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein • Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

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Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich • Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich • Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich • Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

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Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich • sei • Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

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durch

liefert

, ergibt

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Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten • Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

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Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten • hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von • erfasster Frequenzbereich von •

durch die Reflexionsdaten bestimmt ist im Bild rechts abgebildet

und sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der Elementarwelle

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Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B. eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit • nur außerhalb der Kugeln um mit dem Radius bestimmbar • Rekonstruktion von nicht eindeutig bestimmt • Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der Nullumgebung konzentriert • Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte vorliegen

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Reflektoren in der Ultraschall-Tomographie

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Motivation

Bildgebung in der Seismik • Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben • Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung • Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

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CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen Idee • Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor Aufbau • Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben • Brust zwischen den Platten fixiert • obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen • untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B. eine einfache Metalplatte

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Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren • Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung • Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

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Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren • Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

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Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile • auch in den beiden Kreisen um mir dem Radius bestimmbar • Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

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bandbeschränkte

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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

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