Université de Carthage

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Mars 2014

Concours de réorientation Epreuve de mathématiques Exercice l. Une urne contient trois boules vertes portant le numéro 0, deux boules rouges portant le numéro 5 et une boule noire portant le numéro a (a est un entier naturel non nul, différent de 5 et de 10). Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Un joueur tire simultallément trois boules de ['urne. 1. Quelle est la probabilité pour qu'il tire: a) trois boules de la même couleur, b) trois boules de couleurs différ~ntes, c) deux boules et deux seulement de la même couleur. 2. Le joueur reçoit, en dinarss, la somme des numéros marqués sur les boules tirées. a) Quels sont les gains possibles du joueur. b) Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, déterminer la loi de probabilité de

X. c) Calculer l'espérance mathématique de X en fonction de a. d) Calculer a pour que l'espérance de gain du joueur soit de 20 dinars. Exercice

2.

1. Soit 9 la fonction définie sur JO,+oo[ par:

g(r) = ct + (r - 2) lnx. 1.

r-l

a) Montrer que g'(x) = 2--

x

+ ln r.

b) En déduire que: - si x > 1 alors g'(x) > D et - si a < x < 1 alors g'(x) < O. 2.

a) Etudier les variations de g. b) En déduire que, pour tout réel x strictement positif, on a g(x) 2: 1.

II. Soit / la fonction définie sur JO,+oo[ par: /(:1") = 1 + xlnx 1. a) Vérifier que f'(x)

- (Inx)2

= g(r) et étudier les variations de f-

x b) En déduire que / admet une fonction réciproque que l'on précisera.

/-1

définie sur un intervalle J

2. Soit C la courbe représentative de / dans le plan rapporté à un repère orthonormé (uni té: 2cm )

a) Ecrire une équation 1. b) Etudier

cartésienne

le sens de variation

de la tangente

(T) à la courbe C au point d'abscisse

de la fonction h définie sur JO,+oo[ par h(x) =

l -

1 - ln

I.

En déduire le signe de h(x) c) Montrer que j(J:) - x = (ln x - l)h(r) rapport à sa tangente T. 3.

et en déduire la position de la courbe C par

a) Tracer la combe C. b) Tracer. dans le même repère. la courbe

4. Calculer

les intégrales:

l,

= l'

xlnxdx

C' représentative

et 12

= l'(lnx)2dx.

de la fonction

j-1